Формули подвійного і половинного аргументів тригонометричних функцій

Зміст Наступна

Формули подвійного аргументу

Розглянемо тригонометричні функції суми двох однакових аргументів. Для виведення формули косинуса подвійного аргументу використаємо співвідношення (27):
$cos2\alpha =cos(\alpha +\alpha )=cos\alpha \cdot cos\alpha -sin\alpha \cdot sin\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha$, тобто

$cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha$. (35)

Використавши основну тригонометричну тотожність (14), отримаємо:

$cos2\alpha =1-2\cdot si{n}^2\alpha$, (36)

або

$cos2\alpha =2\cdot co{s}^2\alpha -1$. (37)

Ще одну формулу отримаємо так:
$cos2\alpha =\frac{cos2\alpha }{1}=\frac{co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha }{co{s}^2\alpha +si{n}^2\alpha }=\frac{1-t{g}^2\alpha }{1+t{g}^2\alpha }$. Тут ми використали основну тригонометричну тотожність та розділили чисельник і знаменник дробу на $co{s}^2\alpha \ne 0$. Отримали:

$cos2\alpha =\frac{1-t{g}^2\alpha }{1+t{g}^2\alpha },\alpha \ne \frac{\pi }{2}+n\pi ,n\in \mathbb{Z}$. (38)

Розглянемо формулу для синуса суми двох однакових аргументів:
$sin2\alpha =sin(\alpha +\alpha )=sin\alpha \cdot cos\alpha +cos\alpha \cdot sin\alpha =2sin\alpha cos\alpha$, тобто

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$. (39)

Перетворимо співвідношення (39), використовуючи основну тригонометричну тотожність та поділивши отримані чисельник і знаменник на $co{s}^2\alpha \ne 0$: $sin2\alpha =\frac{sin2\alpha }{1}=\frac{2sin\alpha cos\alpha }{co{s}^2\alpha +si{n}^2\alpha }=\frac{2tg\alpha }{1+t{g}^2\alpha }$. Маємо:

$sin2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1+t{g}^2\alpha }$. (40)

Використавши співвідношення (31), отримаємо: $tg2\alpha =tg(\alpha +\alpha )=\frac{tg\alpha +tg\alpha }{1-tg\alpha tg\alpha }=\frac{2tg\alpha }{1-t{g}^2\alpha }$, тобто

$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-t{g}^2\alpha }$. (41)

Формулу подвійного аргументу для котангенса виведемо із співвідношення (33): $ctg2\alpha =ctg(\alpha +\alpha )=\frac{ctg\alpha ctg\alpha -1}{ctg\alpha +ctg\alpha }=\frac{ct{g}^2\alpha -1}{2ctg\alpha }$, звідки

$ctg2\alpha =\frac{ct{g}^2\alpha -1}{2ctg\alpha }$, (42)

або

$ctg2\alpha =\frac{1-t{g}^2\alpha }{2tg\alpha }$. (43)

Вправи

37. Довести формули подвійного аргументу:

1. $sec2x=\frac{1+t{g}^{2}x}{1-t{g}^{2}x}$
2. $cosec2x=\frac{1+t{g}^{2}x}{2tgx}$

38. Вивести формулу подвійного кута для тангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

39. Вивести формулу подвійного кута для котангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

40. Вивести формулу подвійного кута для котангенса (42), використовуючи співвідношення (41).

41. Довести, що:

1. $sin3x=3sinx-4si{n}^{3}x$
2. $cos3x=4co{s}^{3}x-3cosx$
3. $sin4x=8co{s}^{3}xsinx-4cosxsinx$
4. $cos4x=8co{s}^{4}x-8co{s}^{2}x+1$
5. $tg3x=\frac{3tgx-t{g}^{3}x}{1-3t{g}^{2}x}$
6. $ctg3x=\frac{ct{g}^{3}x-3ctgx}{3ct{g}^{2}x-1}$
7. $tg4x=\frac{4tgx-4t{g}^{3}x}{1-6t{g}^{2}x+t{g}^{4}x}$
8. $ctg4x=\frac{ct{g}^{4}x-6ct{g}^{2}x+1}{4ct{g}^{3}x-4ctgx}$

Формули половинного аргументу

Покладемо у співвідношенні (36) кут $\alpha =\frac{x}{2}$. Отримаємо: $cosx=1-2\cdot si{n}^2\frac{x}{2}$, звідки

$sin\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$. (44)

Аналогічно, поклавши у співвідношенні (37) кут $\alpha =\frac{x}{2}$, маємо тотожність:

$cos\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$, (45)

(переконайтесь у цьому самостійно). Використаємо співвідношення (44) та (45) для отримання формули половинного аргументу тангенса: $tg\frac{x}{2}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}$, тобто

$tg\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}$. (46)

Використавши до (46) співвідношення (13), отримуємо:

$ctg\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}$. (47)

У співвідношеннях (44)-(47) знак перед радикалом (+ чи -) вибирається у відповідності з тим, в якій четверті знаходиться кут – аргумент $\frac{x}{2}$. Наприклад, $sin\frac{\pi }{12}=+\sqrt{\frac{1-cos\frac{\pi }{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

Вправи

42. Обчислити:

1. $cos\frac{\pi }{12}$
2. $tg\frac{\pi }{12}$
3. $sin\frac{7}{12}\pi$
4. $ctg\frac{5}{12}\pi$

43. Довести, що:

1. $tg\frac{x}{2}=\frac{sinx}{1+cosx}$
2. $tg\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{sinx}$
3. $ctg\frac{x}{2}=\frac{sinx}{1-cosx}$
4. $ctg\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{sinx}$

Зміст Наступна