Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Зміст Наступна

Формули добутку тригонометричних функцій

З’ясуємо, чи можна добутки тригонометричних функцій замінити сумами (різницями) тригонометричних функцій такого ж степеня інших аргументів. Для цього використаємо формули суми і різниці двох аргументів. Додамо почленно співвідношення (29) та (30). Отримаємо:

$sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )=2\cdot sin\alpha \cdot cos\beta$, (48)

або

$sin\alpha \cdot cos\beta =\frac{1}{2}\cdot (sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta ))$. (48′)

Якщо додамо почленно співвідношення (27) і (28), матимемо:

$cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )=2\cdot cos\alpha \cdot cos\beta$, (49)

тому

$cos\alpha \cdot cos\beta =\frac{1}{2}\cdot (cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta ))$.  (49′)

Коли ми почленно віднімемо від співвідношення (28) співвідношення (27), то:

$cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )=2\cdot sin\alpha \cdot sin\beta$, (50)

тобто

$sin\alpha \cdot sin\beta =\frac{1}{2}\cdot (cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta ))$. (50′)

Віднявши почленно від (29) співвідношення (30), маємо:

$sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )=2\cdot cos\alpha \cdot sin\beta$, (51)

звідки

$cos\alpha \cdot sin\beta =\frac{1}{2}\cdot (sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta ))$. (51′)

Для знаходження формул для добутку тангенсів і котангенсів використаємо інший підхід.
Маємо:
$tg\alpha +tg\beta =tg\alpha (1+\frac{tg\beta }{tg\alpha })=tg\alpha \cdot tg\beta \cdot (\frac{1}{tg\alpha }+\frac{1}{tg\beta })==tg\alpha \cdot tg\beta \cdot (ctg\alpha +ctg\beta )$, звідки

$tg\alpha \cdot tg\beta =\frac{tg\alpha +tg\beta }{ctg\alpha +ctg\beta }$. (52)

Аналогічно можна отримати співвідношення

$ctg\alpha \cdot ctg\beta =\frac{ctg\alpha +ctg\beta }{tg\alpha +tg\beta }$, (53)
$tg\alpha \cdot ctg\beta =\frac{tg\alpha +ctg\beta }{ctg\alpha +tg\beta }$. (54)

Доведіть співвідношення (53)-(54) самостійно.

Вправи

44. Доведіть, що:

1. $sinx\cdot siny\cdot sinz=\frac{1}{4}\cdot (sin(x+y-z)+sin(y+z-x)+sin(z+x-y)-sin(x+y+z))$
2. $sinx\cdot cosy\cdot cosz=\frac{1}{4}\cdot (sin(x+y-z)-sin(y+z-x)+sin(z+x-y)+sin(x+y+z))$
3. $sinx\cdot siny\cdot cosz=\frac{1}{4}\cdot (-cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)-cos(x+y+z))$
4. $cosx\cdot cosy\cdot cosz=\frac{1}{4}\cdot (cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)+cos(x+y+z))$

45. Доведіть, що:

1. $tgx\cdot tgy=-\frac{tgx-tgy}{ctgx-ctgy}$
2. $ctgx\cdot ctgy=-\frac{ctgx-ctgy}{tgx-tgy}$
3. $tgx\cdot ctgy=-\frac{tgx-ctgy}{ctgx-tgy}$

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Розглянемо співвідношення (48)-(51). Виконаємо в них заміну $\alpha +\beta =x$, $\alpha -\beta =y$. Тоді й $\alpha =\frac{x+y}{2}$, $\beta =\frac{x-y}{2}$. Звідси маємо:

$sinx+siny=2\cdot sin\frac{x+y}{2}\cdot cos\frac{x-y}{2}$, (55)
$cosx+cosy=2\cdot cos\frac{x+y}{2}\cdot cos\frac{x-y}{2}$, (56)
$cosx-cosy=-2\cdot sin\frac{x+y}{2}\cdot sin\frac{x-y}{2}$, (57)
$sinx-siny=2\cdot cos\frac{x+y}{2}\cdot sin\frac{x-y}{2}$. (58)

Розглянемо суму тангенсів:
$tgx+tgy=\frac{sinx}{cosx}+\frac{siny}{cosy}=\frac{sinx\cdot cosy+cosx\cdot siny}{cosx\cdot cosy}=\frac{sin(x+y)}{cosx\cdot cosy}$, тобто

$tgx+tgy=\frac{sin(x+y)}{cosx\cdot cosy}$. (59)

Аналогічно можна довести співвідношення для різниці тангенсів:

$tgx-tgy=\frac{sin(x-y)}{cosx\cdot cosy}$. (60)

Доведіть це самостійно. Виведемо формулу для суми котангенсів:
$ctgx+ctgy=\frac{cosx}{sinx}+\frac{cosy}{siny}=\frac{cosx\cdot siny+sinx\cdot cosy}{sinx\cdot siny}=\frac{sin(x+y)}{sinx\cdot siny}$, тобто

$ctgx+ctgy=\frac{sin(x+y)}{sinx\cdot siny}$. (61)

Аналогічно можна довести, що:

$ctgx-ctgy=-\frac{sin(x-y)}{sinx\cdot siny}$. (62)

Доведіть це самостійно.

Вправи

46. Доведіть, що:

1. $secx+secy=\frac{2\cdot secx\cdot secy}{sec\frac{x+y}{2}\cdot sec\frac{x-y}{2}}$
2. $cosecx+cosecy=\frac{2\cdot cosecx\cdot cosecy}{cosec\frac{x+y}{2}\cdot sec\frac{x-y}{2}}$

Зміст Наступна