Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Зміст Наступна

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кута

Насамперед відмітимо уже відомі нам тотожності:

1. $\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{\sin \phi }{\cos \phi }$
2. $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{\cos \phi }{\sin \phi }$
3. $\sec \phi =\frac{1}{\cos \phi }$
4. $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\phi =\frac{1}{\sin \phi }$

Ці співвідношення є означеннями відповідних тригонометричних функцій. Доведемо ще декілька співвідношень:

5. $\mathrm{t}\mathrm{g}\phi \cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =1$ (13)

Дійсно, перемноживши почленно співвідношення (7) і (8), отримаємо (13).

6. $si{n}^2\varphi +co{s}^2\varphi =1$ (14)

До доведення основної тригонометричної тотожності

Нехай $\varphi$ – довільний кут. Відмітимо на одиничному колі точку $B$, що відповідає кінцевій стороні кута $\varphi$. Розглянемо прямокутний трикутник $OAB$ ($\mathrm{\angle }A=90$ °). У ньому $OA=cos\varphi$, $AB=sin\varphi$, $OB=1$. За теоремою Піфагора $O{A}^2+A{B}^2=O{B}^2$. Підставивши відповідні значення у цю рівність, отримаємо (14).
Співвідношення (14) називають основною тригонометричною тотожністю.

7. $1+t{g}^2\varphi =se{c}^2\varphi$ (15)

Для того, щоб отримати дане співвідношення, потрібно (14) почленно розділити на $co{s}^2\varphi$ і врахувати (7) і (9).

8. $1+ct{g}^2\varphi =cose{c}^2\varphi$ (16)

Доведіть останнє співвідношення самостійно.

Значення тригонометричних функцій деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій деяких кутів.

Кут І четверті

1. Нехай вектор одиничної довжини $\overrightarrow{OA}$ утворює з віссю абсцис кут $\varphi =0$. Тоді його координати $x$ і $y$ дорівнюють відповідно $1$ і $0$. Але, як ми показали раніше, ці координати дорівнюють косинусу та синусу кута $\varphi$. Отже, $sin0=0$, $cos0=1$. Врахувавши означення (7)-(10), маємо: $tg0=\frac{sin0}{cos0}=\frac{0}{1}=0$, $ctg0=\frac{cos0}{sin0}$– не визначений, $sec0=\frac{1}{cos0}=\frac{1}{1}=1$, $cosec0=\frac{1}{sin0}$ – не визначений.
2. Якщо $\varphi =\frac{\pi }{2}$, то координати вектора $\overrightarrow{OA}$ будуть такі: $x=0$, $y=1$. Отже, $sin\frac{\pi }{2}=1$, $cos\frac{\pi }{2}=0$, $tg\frac{\pi }{2}=\frac{sin\frac{\pi }{2}}{cos\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{0}$ – не визначений, $ctg\frac{\pi }{2}=\frac{cos\frac{\pi }{2}}{sin\frac{\pi }{2}}=\frac{0}{1}=0$, $sec\frac{\pi }{2}=\frac{1}{cos\frac{\pi }{2}}$ – не визначений, $cosec\frac{\pi }{2}=\frac{1}{sin\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{1}=1$.

Одиничне коло. Кут $\frac{\pi }{6}$

3. Нехай $\varphi =\frac{\pi }{6}$ (див. мал. Одиничне коло. Кут $\frac{\pi }{6}$). Відкладемо від осі абсцис такий самий кут в протилежному напрямку. Розглянемо утворений $\mathrm{△}ABO$. У ньому $\mathrm{\angle }O=\frac{\pi }{3}$, а прилеглі до цього кута сторони трикутника – рівні як радіуси кола. Тому $\mathrm{△}ABO$ – рівносторонній. Тоді й $AB=1$. Висота рівностороннього трикутника дорівнює $\frac{\sqrt{3}}{2}$, тому $OH=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так як висота рівностороннього трикутника є і його медіаною, то $AH=BH=\frac{1}{2}$. Як бачимо, точка А має координати $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{1}{2}$. Тоді $sin\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $cos\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Звідси маємо: $tg\frac{\pi }{6}=\frac{sin\frac{\pi }{6}}{cos\frac{\pi }{6}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\frac{\pi }{6}=\frac{1}{tg\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, $sec\frac{\pi }{6}=\frac{1}{cos\frac{\pi }{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $cosec\frac{\pi }{6}=\frac{1}{sin\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.
Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій і деяких інших кутів. Значення тригонометричних функцій кутів $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$ слід знати напам’ять. Наводимо таблицю цих значень:

$\varphi$	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$
$sin\varphi$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$cos\varphi$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg\varphi$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	не існує
$ctg\varphi$	не існує	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$
$sec\varphi$	$1$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	не існує
$cosec\varphi$	не існує	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$1$

Побудова кута за даними значеннями його тригонометричних функцій

Побудова кута, синус якого дорівнює заданому числу

Задача. Побудувати кут $\varphi$, синус якого дорівнює $a$.
I. Якщо $\left|a\right|>1$, то побудувати такий кут неможливо, так як $\left|sin\varphi \right|\le 1$.
II.Якщо $\left|a\right|\le 1$, то робимо так. Проводимо коло радіуса $1$ з центром у початку координат. На осі $OY$ відмічаємо точку $B(0,a)$, і проводимо через неї пряму, паралельну осі абсцис. Точки перетину цієї прямої з колом позначимо через $A_1$ та $A_2$. Вектори $\overrightarrow{O{A}_1}$ та $\overrightarrow{O{A}_2}$ мають одиничну довжину, а їх ординати дорівнюють $a$. Тому всі кути, для яких кінцеві сторони містять $\overrightarrow{O{A}_1}$ та $\overrightarrow{O{A}_2}$, мають синус, що дорівнює $a$.
Побудуйте самостійно кути, косинус, тангенс і котангенс яких дорівнює $a$.
Приклад 1. Знайти $sin\varphi \cdot cos\varphi$, якщо $sin\varphi -cos\varphi =a$.
Розв’язання. Піднесемо співвідношення $sin\varphi -cos\varphi =a$ почленно до квадрату. Отримаємо: $si{n}^2\varphi +co{s}^2\varphi -2\cdot sin\varphi \cdot cos\varphi =a^2$. Використавши основну тригонометричну тотожність, матимемо $1-2\cdot sin\varphi \cdot cos\varphi =a^2$, звідки $sin\varphi \cdot cos\varphi =\frac{1-a^2}{2}$.

Вправи

13. З’ясуйте, чи можуть синус і косинус кута $\varphi$ одночасно дорівнювати нулю.
14. Доведіть нерівність $\left|sec\varphi \right|\ge 1$.
15. Знайти $sin\varphi \cdot cos\varphi$, якщо $sin\varphi +cos\varphi =a$.
16. Побудувати кут $\varphi$ за такими даними:

1. $sin\varphi =\frac{1}{3}$
2. $cos\varphi =-\frac{1}{3}$
3. $sin\varphi =-0,5$
4. $cos\varphi =1$
5. $tg\varphi =3$
6. $ctg\varphi =5$
7. $sec\varphi =1,5$
8. $cosec\varphi =-2$

17. Обчислити:

1. $2\cdot sin\frac{\pi }{6}+3\cdot cos\frac{\pi }{6}-2\cdot tg\frac{\pi }{6}-4\cdot ctg\frac{\pi }{6}+sec\frac{\pi }{6}-cosec\frac{\pi }{6}$
2. $3\cdot sin0-5\cdot cos0+7\cdot tg0+sec0$
3. $sin\frac{\pi }{2}-6\cdot cos\frac{\pi }{2}+3\cdot ctg0+5\cdot cosec0$

Зміст Наступна