Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення

Зміст Наступна

Парність і непарність тригонометричних функцій

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай $f(x)$ задана на симетричній множині $X$, тобто, якщо $x\in X$, то й $(-x)\in X$.
Парною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=f(x)$.  (17)

Непарною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=-f(x)$.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути $\varphi$ і $-\varphi$ утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони $\overrightarrow{O{A}_1}$ та $\overrightarrow{O{A}_2}$ цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів $\overrightarrow{O{A}_1}=(x_1,y_1)$ та $\overrightarrow{O{A}_2}=(x_2,y_2)$ задовольняють співвідношення $x_2=x_1$, $y_2=-y_1$. Тому $cos(-\varphi )=cos\varphi$, $sin(-\varphi )=-sin\varphi$. Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: $tg(-\varphi )=\frac{sin(-\varphi )}{cos(-\varphi )}=\frac{-sin\varphi }{cos\varphi }=-tg\varphi$, $ctg(-\varphi )=\frac{cos(-\varphi )}{sin(-\varphi )}=\frac{cos\varphi }{-sin\varphi }=-ctg\varphi$. Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.

Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута $-\frac{\pi }{3}$.
Розв’язання.Враховуючи, що $tg(-\varphi )=-tg\varphi$ і $tg\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, отримаємо, що $tg(-\varphi )=-\sqrt{3}$.

Вправи

18. Обчислити значення синуса кута $-\frac{\pi }{3}$.
19. Обчислити значення косинуса кута $-\frac{\pi }{6}$.

Періодичність тригонометричних функцій

Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію $f(x)$, $x\in X$. Функція $f(x)$ називається періодичною, якщо разом з довільним $x\in X$ одночасно і $(x+T)\in X$, а також $f(x+T)=f(x)$, де $T\ne 0$. Число $T$ називається періодом функції $f(x)$.
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число $\tau =nT$, теж є періодом функції $f(x)$. Дійсно,

$f(x+\tau )=f(x+nT)=f(x+(n-1)T+T)=f(x+(n-1)T)=...=f(x+T)=f(x)$.

Тригонометричне коло

Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції $y=sin\varphi$ та $y=cos\varphi$. Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор $\overrightarrow{OA}$, який утворює з віссю абсцис кут $\varphi$. Якщо зробити повний оберт вектора $\overrightarrow{OA}$ навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут $\varphi +2\pi$. Але вектор $\overrightarrow{OA}$ при цьому займе первісне положення, а тому його координати $x$ і $y$ не зміняться. Отже, $y=sin\varphi =sin(\varphi +2\pi )$, $x=cos\varphi =cos(\varphi +2\pi )$.
При $n$ повних обертах вектора $\overrightarrow{OA}$ проти годинникової стрілки утвориться кут $\varphi +2\pi n$, $n\in \mathbb{N}$, а за годинниковою стрілкою – кут $\varphi -2\pi n$, $n\in \mathbb{N}$. У кожному з цих випадків координати $x$ і $y$ вектора не змінюються, а тому $y=sin\varphi =sin(\varphi +2\pi n)$, $x=cos\varphi =cos(\varphi +2\pi n)$, $n\in \mathbb{Z}$.
Як бачимо, $T=2\pi$ є періодом функцій синус та косинус. Чи є він найменшим додатнім періодом? Припустимо, що для функції $y=sin\varphi$ $\mathrm{\exists }{T}_0\ne 0$ і $T_0$ – додатній період. Маємо, що $sin\varphi =sin(\varphi +T_0)$. Зокрема, при $\varphi =0$, маємо $sin{T}_0=sin0=0$. Але нулю дорівнюють синуси лише тих кутів, які кратні $\pi$ радіанів (переконайтесь у цьому за допомогою тригонометричного кола). Якщо $T_0=\pi$, то $sin(\varphi +\pi )=sin\varphi$. Зокрема, при $\varphi =\frac{\pi }{2}$, $sin\frac{3}{2}\pi =sin\frac{\pi }{2}$, тобто $-1=1$. А це не так. Отже, найменшим додатнім періодом функції $y=sin\varphi$ є число $2\pi$.
Аналогічно можна довести, що найменшим додатнім періодом функції $y=cos\varphi$ також є число $2\pi$. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Лінія тангенсів

Дослідимо на періодичність функції $y=tg\varphi$ та $y=ctg\varphi$.
Ми знаємо, що тангенс кута $\varphi$ дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута $\varphi$ з лінією тангенсів. При повороті вектора $\overrightarrow{OA}$, що утворює з віссю абсцис кут $\varphi$, на $\pi$ радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка $B$ на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному $\varphi$ маємо, що $tg(\varphi +\pi )=tg\varphi$. Це означає, що функція $y=tg\varphi$ є періодичною з періодом $T=\pi$. Але чи буде число $\pi$ найменшим додатнім періодом цієї функції?
Припустимо, що найменший додатній період функції $y=tg\varphi$ дорівнює $T$. Тоді для всіх допустимих значень $\varphi$ повинно бути $tg(\varphi +\pi )=tg\varphi$. Зокрема, при $\varphi =0$, дістаємо: $tgT=tg0=0$. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при $T=\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,$ і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за $\pi$, не може бути періодом функції $y=tg\varphi$. Залишається визнати, що періодом (найменшим додатнім) функції $y=tg\varphi$ є число $\pi$.
Аналогічно можна довести, що періодом функції $y=ctg\varphi$ також є число $\pi$. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Формули зведення

До формул зведення

Теорема 1. Для будь-якого кута $\varphi$ виконується тотожність

$sin(\frac{\pi }{2}+\varphi )=cos\varphi$. (19)

Доведення. Якщо кут $\varphi$ закінчується в I квадранті, то кут $\frac{\pi }{2}+\varphi$ повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути $\varphi$ та $\frac{\pi }{2}+\varphi$ на одиничному колі (див. мал. До формул зведення). Зрозуміло, що $sin(\frac{\pi }{2}+\varphi )=BD$, $cos\varphi =OC$. Але $\mathrm{△}AOC=\mathrm{△}BOD$ – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому $BD=OC$. А це означає, що виконується тотожність (19).
Аналогічно можна розглянути випадки, коли кут $\varphi$ закінчується в II, III, IV квадрантах. Тотожність (19) легко перевірити і тоді, коли кінцева сторона кута $\varphi$ лежить на будь-якій осі координат. Розгляньте ці випадки самостійно.
З доведеної тотожності (19) випливає ряд інших важливих тотожностей. Замінивши в (19) $\varphi$ на $-\varphi$, отримаємо: $sin(\frac{\pi }{2}-\varphi )=cos(-\varphi )$. Врахувавши парність косинуса, маємо:

$sin(\frac{\pi }{2}-\varphi )=cos\varphi$. (20)

Якщо ми замінимо $\varphi$ на $\frac{\pi }{2}-\varphi$, то з (20) отримаємо: $sin(\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{2}-\varphi ))=cos(\frac{\pi }{2}-\varphi )$, звідки

$cos(\frac{\pi }{2}-\varphi )=sin\varphi$. (21)

З (20) та (21) маємо, що $tg(\frac{\pi }{2}-\varphi )=\frac{sin(\frac{\pi }{2}-\varphi )}{cos(\frac{\pi }{2}-\varphi )}=\frac{cos\varphi }{sin\varphi }=ctg\varphi$, тобто

$tg(\frac{\pi }{2}-\varphi )=ctg\varphi$. (22)

Аналогічно

$ctg(\frac{\pi }{2}-\varphi )=tg\varphi$. (23)

Тотожності (20)-(23) іноді називають формулами доповняльного кута. Це пов’язано з тим, що кути $\frac{\pi }{2}-\varphi$ та $\varphi$ доповнюють один одного до прямого кута. Ці формули дуже легко запам’ятати: функція змінюється на кофункцію (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс). Наприклад, $sin\frac{\pi }{6}=cos\frac{\pi }{3}$, $tg\frac{\pi }{5}=cos\frac{3\pi }{10}$.
Тепер виведемо формули для кута $\frac{\pi }{2}+\varphi$. Одну таку формулу ми вже отримали – це тотожність (19). Інші тотожності легко знаходимо з формул доповняльного кута і властивості парності (непарності) тригонометричних функцій. Маємо:
$cos(\frac{\pi }{2}+\varphi )=cos(\frac{\pi }{2}-(-\varphi ))=sin(-\varphi )=-sin\varphi$, тобто

$cos(\frac{\pi }{2}+\varphi )=-sin\varphi$. (24)

Аналогічно отримуємо:

$tg(\frac{\pi }{2}+\varphi )=-ctg\varphi$, (25)
$ctg(\frac{\pi }{2}+\varphi )=-tg\varphi$, (26)

Співвідношення (19)-(26) називаються формулами зведення для кутів $\frac{\pi }{2}\pm \varphi$.
Формули зведення для кутів $\pi \pm \varphi$, $\frac{3}{2}\pi \pm \varphi$, $2\pi \pm \varphi$ легко отримати із співвідношень (19)-(26). Наведемо повну таблицю потрібних нам формул:

Кут $x$	$sinx$	$cosx$	$tgx$	$ctgx$
$\varphi$	$sinx$	$cosx$	$tgx$	$ctgx$
$\frac{\pi }{2}-\varphi$	$cosx$	$sinx$	$ctgx$	$tgx$
$\frac{\pi }{2}+\varphi$	$cosx$	$-sinx$	$-ctgx$	$-tgx$
$\pi -\varphi$	$sinx$	$-cosx$	$-tgx$	$-ctgx$
$\pi +\varphi$	$-sinx$	$-cosx$	$tgx$	$ctgx$
$\frac{3}{2}\pi -\varphi$	$-cosx$	$-sinx$	$ctgx$	$tgx$
$\frac{3}{2}\pi +\varphi$	$-cosx$	$sinx$	$-ctgx$	$-tgx$
$2\pi -\varphi$	$-sinx$	$cosx$	$-tgx$	$-ctgx$
$2\pi +\varphi$	$sinx$	$cosx$	$tgx$	$ctgx$

У формулах зведення спостерігаються такі закономірності:
I. Якщо у формулі містяться кути $\pi$ або $2\pi$, то назва функції не змінюється; якщо ж у формулі містяться кути $\frac{\pi }{2}$ або $\frac{3}{2}\pi$, то назва функції змінюється на назву кофункції;
II. Щоб визначити знак у правій частині формули (+ чи -), досить, вважаючи кут $\varphi$ гострим, визначити знак виразу, що стоїть у лівій частині формули.

Вправи

20. Довести, що $sin\frac{37}{9}\pi =sin\frac{\pi }{9}$.
21. Довести, що кут $3\pi$ є одним з періодів функції $y=cos2x$.
22. Спростити вираз:

1. $sin(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )$
2. $cos(\pi -\alpha )+ctg(\pi +\alpha )$
3. $si{n}^2(\pi +1)+co{s}^2(\pi -1)$

23. $tgx=3$. Чому дорівнює тангенс доповняльного кута?
24. $sin\varphi =0,6$. Чому дорівнює синус доповняльного кута?
25. Довести тотожність:

1. $cos(\frac{\pi }{4}+\alpha )=sin(\frac{\pi }{4}-\alpha )$
2. $tgx\cdot tg(\frac{\pi }{2}-x)=1$
3. $tg{1}^{\circ }\cdot tg{2}^{\circ }\cdot tg{3}^{\circ }\cdot ...\cdot tg87^{\circ }\cdot tg88^{\circ }\cdot tg89^{\circ }=1$

26. Довести, що синус суми двох кутів трикутника дорівнює синусу третього кута.

Зміст Наступна