Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій

Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій

Введемо поняття монотонної функції. Нехай на числовій множині $𝕏$ задана деяка функція $y = f (x)$ .
Функція $y = f (x)$ називається спадаючою на множині $𝕏_{0} \subseteq 𝕏$ , якщо для довільних $x_{1}, x_{2} \in 𝕏_{0}$ , таких, що $x_{1} < x_{2}$ , виконується нерівність: $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ . При строгій нерівності функція $y = f (x)$ називається строго спадаючою.
Функція $y = f (x)$ називається зростаючою на множині $𝕏_{0} \subseteq 𝕏$ , якщо для довільних $x_{1}, x_{2} \in 𝕏_{0}$ , таких, що $x_{1} < x_{2}$ , виконується нерівність: $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ . При строгій нерівності функція $y = f (x)$ називається строго зростаючою.
Якщо $y = f (x)$ є спадаючою, зростаючою, строго спадаючою або строго зростаючою на деякій числовій множині, то говорять, що вона монотонна на цій множині.
Розглянемо означення тригонометричних функцій (5)-(6) та одиничне коло.

Нехай кут $ϕ$ пробігає множину значень від $0$ до $π$ . Тоді абсциса відповідного вектора зменшується, тобто зменшується значення косинуса кута $ϕ$ . Як бачимо, функція $y = c o s x$ спадає на проміжку $[0; π]$ . Якщо ж кут $ϕ$ пробігає множину значень від $π$ до $2 π$ , то абсциса відповідного вектора збільшується, тобто на цьому проміжку функція $y = c o s x$ зростає. Врахувавши періодичність функції $y = c o s x$ , маємо:
Теорема 2. Функція $y = c o s x$ монотонно зростає на проміжках $[(2 n + 1) π; 2 (n + 1) π], n \in ℤ$ , та монотонно спадає на проміжках $[2 n π; (2 n + 1) π], n \in ℤ$ .
Провівши подібне дослідження для функції $y = s i n x$ , отримаємо
Теорема 3. Функція $y = s i n x$ монотонно зростає на проміжках $[(2 n - \frac{1}{2}) π; (2 n + \frac{1}{2}) π], n \in ℤ$ , та монотонно спадає на проміжках $[(2 n + \frac{1}{2}) π; (2 n + \frac{3}{2}) π], n \in ℤ$ .
Проміжки монотонності функцій $y = t g x$ та $y = c t g x$ визначте самостійно.
Розглянемо питання про неперервність тригонометричних функцій.
Будемо вважати функцію $y = f (x)$ неперервною в точці $x_{0} \in 𝕏$ , якщо вона визначена в цій точці та на деякому проміжку, якому дана точка належить, і якщо при незначній зміні аргументу значення функції також незначно змінюється.
Зміну аргументу позначимо $Δ ϕ = ϕ_{2} - ϕ_{1}$ і будемо називати приростом аргументу. Відповідну зміну функції позначимо $Δ f = f (ϕ_{2}) - f (ϕ_{1})$ і будемо називати приростом функції.
Функція $y = c o s ϕ$ , згідно означення (6), визначена для будь-якого кута $ϕ$ , оскільки вираз $\frac{x}{r}$ має зміст при будь якому додатному $r$ . Розглянемо приріст аргумента $Δ ϕ = ϕ_{2} - ϕ_{1}$ . Як видно з малюнка (до теореми 2), при наближення кута $ϕ_{2}$ до кута $ϕ_{1}$ приріст $Δ ϕ$ необмежено зменшується, а з ним зменшується і різниця $x_{2} - x_{1}$ . Поклавши, що $r = 1$ (коло – одиничне), маємо необмежене зменшення за абсолютною величиною і приросту функції $Δ f = c o s ϕ_{2} - c o s ϕ_{1}$ , тобто функція $y = c o s ϕ$ неперервна для всіх аргументів $ϕ \in ℝ$ .
Розглянувши функцію $y = s i n ϕ$ , прийдемо до висновку, що вона теж неперервна.

Що ж до функцій $y = t g ϕ$ , $y = c t g ϕ$ , $y = s e c ϕ$ та $y = c o s e c ϕ$ , то вони визначені не для всякого кута $ϕ$ . Тангенс і секанс в силу означень (7) та (9) визначені лише для тих кутів, косинуси яких відмінні від нуля, а котангенс та косеканс в силу (8) і (10) – для тих кутів, синуси яких відмінні від нуля. Якщо $c o s ϕ = \frac{x}{r} = 0$ , то $x = 0$ . Це може бути лише тоді, коли вектор $\vec{O A_{2}}$ перпендикулярний до осі абсцис. У цьому випадку кут $ϕ$ може набувати значень $\pm \frac{π}{2}$ , $\pm \frac{3}{2} π$ , $\pm \frac{5}{2} π$ , $\pm \frac{7}{2} π$ . Всі ці значення можна записати однією формулою $ϕ = \frac{π}{2} (2 n + 1)$ , $n \in ℤ$ .
Таким чином, тангенс і секанс визначені для всіх кутів $ϕ$ , крім кутів $ϕ = \frac{π}{2} (2 n + 1)$ , $n \in ℤ$ . Для кутів, де тангенс і секанс визначені, неперервність цих функцій випливає неперервності функцій синус та косинус. Отже, функції $y = t g ϕ$ та $y = s e c ϕ$ неперервні у всіх точках, крім $ϕ = \frac{π}{2} (2 n + 1)$ , $n \in ℤ$ .
Неперервність функцій $y = c t g ϕ$ та $y = c o s e c ϕ$ у всіх точках, крім $ϕ = π n$ , $n \in ℤ$ , доведіть самостійно.

Графіки тригонометричних функцій

Як випливає з формул зведення, поведінка тригонометричних функцій при всіх значеннях аргумента цілком визначається їх поведінкою при $0 \leq ϕ \leq \frac{π}{2}$ . Тому ми насамперед побудуємо графіки саме на цьому проміжку.
Побудуємо графік $y = s i n x$ . Для цього розглянемо одиничне коло. Першу чверть кола поділимо на $n$ рівних частин і через точки поділу проведемо прямі, паралельні осі $O X$ . Ординати точок поділу кола являють собою синуси відповідних кутів. Перша чверть кола відповідає кутам від $0$ до $\frac{π}{2}$ . Тому на осі $O X$ візьмемо відрізок $[0; \frac{π}{2}]$ і поділимо його на $n$ рівних частин. З точок поділу поставимо перпендикуляри до перетину з раніше проведеними горизонтальними прямими. Точки перетину сполучимо плавною лінією (див. мал. Побудова синусоїди).
Тепер звернемось до інтервалу $\frac{π}{2} \leq ϕ \leq π$ (див. мал. Побудова синусоїди1). Кожне значення аргументу $ϕ$ з цього відрізка можна подати у вигляді $ϕ = \frac{π}{2} + ϕ_{0}$ , де $0 \leq ϕ_{0} \leq \frac{π}{2}$ . За формулами зведення $s i n (\frac{π}{2} + ϕ = c o s ϕ = s i n (\frac{π}{2} - ϕ)$ .
Точки осі $O X$ з абсцисами $\frac{π}{2} + ϕ$ та $\frac{π}{2} - ϕ$ симетричні одна одній відносно точки осі $O X$ з абсцисою $\frac{π}{2}$ і синуси в цих точках однакові. Це дає можливість побудувати графік функції $y = s i n x$ на відрізку $[\frac{π}{2}; π]$ простим симетричним відображенням графіка цієї функції на інтервалі $[0; \frac{π}{2}]$ відносно прямої $x = \frac{π}{2}$ .
Тепер, використавши непарність функції $y = s i n x$ , легко побудувати графік цієї функції на проміжку $[- π; 0]$ (див. мал. Побудова синусоїди2).

Функція $y = s i n x$ періодична з періодом $2 π$ . Тому для побудови всього графіка цієї функції досить побудовану частину продовжити вліво і вправо періодично з періодом $2 π$ . Знайдена в результаті цього крива називається синусоїдою.
Щодо графіка функції $y = c o s x$ , то, як ми знаємо, $c o s x = s i n (\frac{π}{2} + x)$ . Тому якщо функція $y = c o s x$ набуває якогось значення $a$ при $x = x_{0}$ , то при $x = x_{0} + \frac{π}{2}$ такого самого значення набуває і функція $y = s i n x$ . Звідси можна зробити висновок, що графік функції $y = c o s x$ можна дістати за допомогою зсуву графіка функції $y = s i n x$ вздовж осі абсцис вліво на відстань $\frac{π}{2}$ .
Іноді цю криву називають косинусоїдою.

Для побудови графіка функції $y = t g x$ на півінтервалі $[0; \frac{π}{2})$ використаємо геометричну побудову, аналогічну до тієї, яку ми використали для побудови графіка функції $y = s i n x$ . Ми не будемо докладно спинятись на цій побудові, а обмежимось лише тим, що наведемо малюнок (див. мал. Побудова тангенсоїди).
Тепер, використовуючи графік функції $y = t g x$ на проміжку $[0; \frac{π}{2})$ , можна побудувати графік цієї функції і на півінтервалі $(- \frac{π}{2}; 0]$ . Для цього використаємо тотожність $t g (- ϕ) = - t g ϕ$ . Вона вказує на те, що графік функції $y = t g x$ симетричний відносно початку координат. Звідси відразу ж дістаємо ту частину графіка, яка відповідає значенням $- \frac{π}{2} < ϕ \leq 0$ (див. мал. Побудова тангенсоїди1).

Функція $y = t g x$ періодична з періодом $π$ . Тепер для побудови її графіка нам потрібно лише продовжити періодично криву, яку ми отримали, вліво і вправо з періодом $π$ . В результаті дістаємо криву, яку називають тангенсоїдою.
Для побудови графіка функції $y = c t g x$ слід використати тотожність $c t g x = - t g (x + \frac{π}{2})$ .
Вона вказує на такий порядок побудови графіка:
I. Тангенсоїду $y = t g x$ треба зсунути вліво по осі абсцис на віддаль $\frac{π}{2}$ ;
II. Знайдену криву відобразити симетрично відносно осі абсцис.
В результаті отримаємо криву, зображену на малюнку Котангенсоїда.

Приклад 1. За графіком функції $y = s i n x$ визначити всі числа, синус яких дорівнює $\frac{1}{2}$ .
Розв’язання. Побудуємо синусоїду та пряму $y = \frac{1}{2}$ . Ці два графіки функцій перетинатимуться в точках, абсциси яких матимуть матимуть координати $x$ , для яких $s i n x = \frac{1}{2}$ . Розглянемо проміжок $[0; 2 π]$ . На ньому графіки функцій перетинаються в двох точках – $C$ і $F$ (див. мал. До прикладу 1). З таблиць відомо, що на розглядуваному проміжку є всього два кути $ϕ$ , для яких $s i n ϕ = \frac{1}{2}$ . Це кути $\frac{π}{6}$ та $\frac{5}{6} π$ . Отже, врахувавши періодичність функції синус, шукані числа матимуть вигляд $\frac{π}{6} + 2 π n$ та $\frac{5}{6} π + 2 π k$ , де $n, k \in ℤ$ .

Вправи

27. За графіком функції $y = s i n x$ визначити приблизно:

$s i n 2$
$s i n (- 3)$

28. За графіком функції $y = c o s x$ визначити всі числа, косинус яких дорівнює $\frac{1}{2}$ .
29. При малих за абсолютною величиною значеннях $x$ синусоїда $y = s i n x$ має такий самий вигляд, як і пряма $y = x$ (зробіть малюнок). Тому для мали значень $x$ : $s i n x \approx x$ . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:

$s i n 0, 03$
$s i n 1^{\circ}$ (переведіть у радіани!)
$s i n (- 2^{\circ} 3 0^{'})$

30. При малих за абсолютною величиною значеннях х косинусоїда $y = c o s x$ має такий самий вигляд, як і парабола $y = 1 - \frac{x^{2}}{2}$ (зробіть малюнок). Тому для малих значень $x$ : $c o s x \approx 1 - \frac{x^{2}}{2}$ . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:

$c o s 1^{\circ}$
$c o s 0, 05$
$c o s (- 2^{\circ} 3 0^{'})$

31. Користуючись графіками функцій $y = t g x$ та $y = c t g x$ , знайти найменші додатні корені рівнянь (приблизно):

$t g x = - 3$
$t g x = 2$
$c t g x = - 3$
$c t g x = 2$

Зміст Наступна

Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій