Зовнішня кривина

Означення нового тензора

Порівняємо дві формули для тензора Рімана. Перша виражається через скалярні добутки векторів повної кривини:

$(1)R_{ijkl}=({𝐛}_{ik}\cdot {𝐛}_{jl})-({𝐛}_{il}\cdot {𝐛}_{jk})$

Друга виражається через симетричний тензор внутрішньої кривини:

$(2)R_{ijkl}=\frac{1}{3}(S_{ikjl}-S_{iljk})$

Ці формули наводять на думку розглянути детальніше різницю:

$(3)X_{ijkl}=({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})-\frac{1}{3}{S}_{ijkl}=({𝐛}_{ik}\cdot {𝐛}_{jl})-\frac{1}{3}(R_{ikjl}+R_{iljk})=$

$=\frac{1}{3}(3({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})-(({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})-({𝐛}_{il}\cdot {𝐛}_{jk}))-(({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})-({𝐛}_{ik}\cdot {𝐛}_{jl})))=\frac{1}{3}(({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})+({𝐛}_{il}\cdot {𝐛}_{jk})+({𝐛}_{ik}\cdot {𝐛}_{jl}))$

Формула для кривини геодезичної лінії

Із формули (3) легко бачити, що тензор $X_{ijkl}$ симетричний по всіх індексах. Маємо такий розклад скалярного добутку векторів повної кривини:

$(4)({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})=X_{ijkl}+\frac{1}{3}{S}_{ijkl}$

Для вектора кривини $𝐤$ геодезичної лінії з одиничним напрямним вектором дотичної $\mathit{\tau }$ ми мали таку формулу:

$(5)𝐤={𝐛}_{ij}{\tau }^i{\tau }^j$

Піднесемо (5) до квадрата:

$(6){𝐤}^2=({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl}){\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l=X_{ijkl}{\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l+\frac{1}{3}{S}_{ijkl}{\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l$

Останній доданок у формулі (6) перетворюється на нуль внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі для симетричного тензора внутрішньої кривини:

$(7)S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}=0$

Остаточно знаходимо, що квадрат кривини геодезичної лінії обчислюється наступною формою четвертого степеня:

$(8){𝐤}^2=X_{ijkl}{\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l$

Оскільки у внутрішній геометрії многовида геодезична лінія має нульову кривину, то формула (8) відноситься виключно до зовнішньої геометрії. Це дає підставу називати тензор $X_{ijkl}$ тензором зовнішньої кривини.

Зміна кривини геодезичної лінії

Ми можемо, рухаючись вздовж по геодезичній лінії, взяти похідну від формули (8) по натуральному параметру $s$. Враховуючи формулу для похідної одиничного напрямного вектора:

$(9)\frac{d{\tau }^i}{ds}=-{\mathrm{\Gamma }}_{ps}^i{\tau }^p{\tau }^s$

Одержуємо після диференціювання добутку правої частини (8), і перейменування індексів в одержаних доданках:

$(10)\frac{d{𝐤}^2}{ds}=\left({\mathrm{\nabla }}_p{X}_{ijkl}\right){\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l$

Підрахунок кількості лінійно незалежних компонент

Для формули (4) ми можемо написати як кількість лінійно незалежних компонент скалярних добутків векторів повної кривини розпадається на два доданки:

$(11)C_{\frac{n(n+1)}{2}}^2=C_{n+3}^4+\frac{n^2(n^2-1)}{12}$

Перший доданок відповідає кількості лінійно незалежних компонент симетричного тензора зовнішньої кривини, а другий — тензора внутрішньої кривини.

Нерівності

Скалярні добутки векторів задовольняють нерівності, які виражають невід'ємність визначників Грамма. Із них слідують такі нерівності за участю тензорів зовнішньої та внутрішньої кривин:

Координатні (компонентні) нерівності

Невід'ємність скалярного квадрата вектора дає (в цій та наступній формулах однакові індекси не підсумовуються):

$(12)({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{ij})=X_{ijij}+\frac{1}{3}{S}_{ijij}=X_{iijj}+\frac{1}{3}{R}_{ijij}\ge 0$

Для визначника Грамма другого порядку маємо складнішу нерівність:

$(13)\left|\begin{array}{cc}({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{ij})& ({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})\\ ({𝐛}_{kl}\cdot {𝐛}_{ij})& ({𝐛}_{kl}\cdot {𝐛}_{kl})\end{array}\right|=(X_{iijj}+\frac{1}{3}{R}_{ijij})(X_{kkll}+\frac{1}{3}{R}_{klkl})-{(X_{ijkl}+\frac{1}{3}{S}_{ijkl})}^2\ge 0$

і аналогічно можна писати нерівності для визначників Грамма вищих порядків, до порядку $N=\frac{n(n+1)}{2}$ включно. Визначники порядку більше $N$ тотожно дорівнюють нулю, оскільки пари індексів в рядках і стовпцять будуть повторюватися.

Відмітимо, що у випадку гіперповерхні вектори ${𝐛}_{ij}$ для всіх пар індексів паралельні між собою, а тому нерівність (13) перетворюється на рівняння. Аналогічно ми одержимо рівняння третього степеня між внутрішньою та зовнішньою кривинами, якщо розмірність охоплюючого евклідового простору буде на два більша за розмірність многовида, і так далі…

Скалярні нерівності

Усереднимо формулу (8) по всіх напрямках одиничних векторів $\mathit{\tau }$. Скористаємося обчисленнями із статті Середня кривина многовида у точці — середнє значення добутку чотирьох компонент одиничного вектора дорівнює:

$(14)<{\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l>=\frac{1}{n(n+2)}(g^{ij}{g}^{kl}+g^{jk}{g}^{il}+g^{ki}{g}^{jl})$

Тоді усереднення формули (8) дає:

$(15)<{𝐤}^2>=\frac{1}{n(n+2)}{X}_{ijkl}(g^{ij}{g}^{kl}+g^{jk}{g}^{il}+g^{ki}{g}^{jl})=\frac{3}{n(n+2)}X$

де ми позначили

$(16)X=g^{ij}{g}^{kl}{X}_{ijkl}$

Отже з формули (15) слідує перша скалярна нерівність:

$(17)X\ge 0$

причому рівність досягається тільки на плоских многовидах (афінних підпросторах). Зазначимо принагідно, що метричний тензор зявився в формулі (14) внаслідок усереднення ${\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l$ по гіперсфері в дотичному до многовиду лінійному просторі. Якщо ж проводити усереднення по еліпсоїду, що еквівалентно вибору іншого метричного тензора $a_{ij}$ — довільної додатньо-визначеної матриці, то одержимо наступний результат: квадратична форма

$(18)X_{ijkl}{a}^{ij}{a}^{kl}\ge 0$

невід'ємна на множині додатньо-визначених матриць $a^{ij}$.

Тепер перейдемо до усереднення визначника Грамма другого порядку. Нехай ми маємо два одиничних вектора ${\tau }^i,{\tilde{\tau }}^i$. Відповідні вектори кривини геодезичних дорівнюють:

$(19)𝐤={𝐛}_{ij}{\tau }^i{\tau }^j,\widetilde{𝐤}={𝐛}_{ij}\widetilde{{\tau }^i}\widetilde{{\tau }^j}$

З цих векторів складаємо (невідємний) визначник Грамма:

$(20)\left|\begin{array}{cc}{𝐤}^2& (𝐤\cdot \widetilde{𝐤})\\ (\widetilde{𝐤}\cdot 𝐤)& {\widetilde{𝐤}}^2\end{array}\right|={𝐤}^2{\widetilde{𝐤}}^2-(𝐤\cdot \widetilde{𝐤}{)}^2=(X_{ijkl}{X}_{pqrs}-({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{pq})({𝐛}_{kl}\cdot {𝐛}_{rs})){\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l{\tilde{\tau }}^p{\tilde{\tau }}^q{\tilde{\tau }}^r{\tilde{\tau }}^s\ge 0$

Тепер усереднимо нерівність (20) спочатку по ${\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l$, а потім по ${\tilde{\tau }}^p{\tilde{\tau }}^q{\tilde{\tau }}^r{\tilde{\tau }}^s$. Скориставшись фомулами (4) і (14) після деяких обчислень приходимо до формули:

$(21){(X+\frac{2}{3}R)}^2+(X_{ij}+\frac{2}{3}{R}_{ij})(X^{ij}+\frac{2}{3}{R}^{ij})+4X_{ijkl}{X}^{ijkl}+\frac{4}{3}{R}_{ijkl}{R}^{ijkl}\le 9X^2$

З цієї формули зокрема видно, що при нульовій зовнішній кривині внутрішня кривина також дорівнює нулю.