Середня кривина многовида у точці

Середня арифметична кривина

Усереднюючи формулу (1) в декартовій системі координат, маємо:

$(3)<𝐤>={\widetilde{𝐛}}_{ij}<{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^j>$

Якщо $i\ne j$, то середнє значення добутку $<{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^j>$ дорівнюватиме нулю, оскільки при фіксованій координаті ${\tilde{\tau }}^i$, координата ${\tilde{\tau }}^j$ (на одиничній сфері) в однаковій мірі набуває додатніх і від'ємних значень. Якщо ж $i=j$, то при всіх індексах $i$ середнє значення довутку дорівнює одному й тому ж числу: $\alpha =<{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^i>$ (в цій формулі нема додавання по індексах). Тепер ми можемо обчислити формулу (3):

$(4)<𝐤>={\widetilde{𝐛}}_{ij}\alpha {\delta }^{ij}=\alpha {\widetilde{𝐛}}_{ij}{\tilde{g}}^{ij}$

Постійну $\alpha$ знаходимо, взявши до уваги, що вектор ${\tilde{\tau }}^i$ одиничний (формула (2)):

$(5){\tilde{g}}_{ij}<{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^j>={\delta }_{ij}\alpha {\delta }^{ij}=n\alpha =1$

$(6)\alpha =\frac{1}{n}$

Тепер, враховуючи інваріантність (відносно заміни координат) тензорної операції згортки по індексам, маємо середню арифметичну кривину многовида:

$(7)𝐇=<𝐤>=\frac{1}{n}{\tilde{g}}^{ij}{\widetilde{𝐛}}_{ij}=\frac{1}{n}{g}^{ij}{𝐛}_{ij}=\frac{1}{n}{𝐛}_i^i$

Середня квадратична кривина

Піднесемо вираз (1) до квадрата, при цьому зробимо заміну індексів, щоб не повторювались, і результат усереднимо:

$(8)<𝐤\cdot 𝐤>=<{𝐛}_{ij}{\tau }^i{\tau }^j\cdot {𝐛}_{kl}{\tau }^k{\tau }^l>=({𝐛}_{ij}\cdot {𝐛}_{kl})<{\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l>$

Обчислення робимо в спеціальній (декартовій) системі координат. Якщо якийсь індекс $i$ входить в добуток ${\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^j{\tilde{\tau }}^k{\tilde{\tau }}^l$ непарну кількість разів (один раз або три рази), то при усередненні (як і раніше) ми одержимо нуль. Маємо дві серії ненульових довутків, які ми позначимо буквами $\beta ,\gamma$:

$(9)\beta =<{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^i>=<({\tilde{\tau }}^i{)}^4>$

$(10)\gamma =<{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^j{\tilde{\tau }}^j>=<({\tilde{\tau }}^i{)}^2({\tilde{\tau }}^j{)}^2>,(i\ne j)$

Ми можемо встановити зв'язок між $\beta$ і $\gamma$, помітивши, що $\beta$ є усередненням четвертої степені від проекції точок одиничної сфери на одну з координатних осей. Але сфера є симетричною фігурою стосовно поворотів, тому ця властивість буде і щодо проекції на будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат.
Знайдемо проекцію точки з координатами ${\tilde{\tau }}^1,{\tilde{\tau }}^2,...{\tilde{\tau }}^n$ на бісектрису кута між двома (одиничними і ортогональними) напрямними векторами осей координат ${\widetilde{𝐫}}_i,{\widetilde{𝐫}}_j$. Напрямний вектор цієї бісектриси дорівнює:

$(11)\widetilde{𝐧}=\frac{{\widetilde{𝐫}}_i+{\widetilde{𝐫}}_j}{|{\widetilde{𝐫}}_i+{\widetilde{𝐫}}_j|}=\frac{1}{\sqrt{2}}({\widetilde{𝐫}}_i+{\widetilde{𝐫}}_j)$

Звідси вже легко обчислити проекцію (позначимо буквою $\xi$) точки одиничної сфери $\tau$ на цю бісектрису:

$(12)\xi =\widetilde{𝐧}\cdot \mathit{\tau }=\frac{1}{\sqrt{2}}({\tilde{\tau }}^i+{\tilde{\tau }}^j)$

Середнє четвертої степені проекції $\xi$ також дорівнює $\beta$:

$(13)\beta =<{\xi }^4>=\frac{1}{4}<({\tilde{\tau }}^i+{\tilde{\tau }}^j{)}^4>=$

$=\frac{1}{4}(<({\tilde{\tau }}^i{)}^4>+4<({\tilde{\tau }}^i{)}^3{\tilde{\tau }}^j>+6<({\tilde{\tau }}^i{)}^2({\tilde{\tau }}^j{)}^2>+4<{\tilde{\tau }}^i({\tilde{\tau }}^j{)}^3>+<({\tilde{\tau }}^j{)}^4>)=\frac{1}{4}(\beta +6\gamma +\beta )$

З останньої рівності знаходимо:

$(14)\beta =3\gamma$

Враховуючи (9), (10), (14), а також рівність нулю усереднень з непарними степенями, ми можемо записати у нашій спеціальній системі координат:

$(15)<{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^j{\tilde{\tau }}^k{\tilde{\tau }}^l>=\gamma ({\delta }^{ij}{\delta }^{kl}+{\delta }^{ik}{\delta }^{lj}+{\delta }^{il}{\delta }^{jk})$

В останній сумі в дужках індекс $i$ лишається на місці, а індекси $j,k,l$ — циклічно переставляються.

Оскільки середнє значення тензорних величин є тензором, то в довільній системі координат маємо:

$(16)<{\tau }^i{\tau }^j{\tau }^k{\tau }^l>=\gamma (g^{ij}{g}^{kl}+g^{ik}{g}^{lj}+g^{il}{g}^{jk})$

Знайдемо тепер коефіцієнт $\gamma$, згорнувши рівняння (16) по індексам ($ij$), ($kl$). З одного боку рівняння:

$(17)<g_{ij}{\tau }^i{\tau }^j{g}_{kl}{\tau }^k{\tau }^l>=<1\cdot 1>=1$

З іншого боку рівняння (16), враховуючи перші дві формули із статті Прості обчислення диференціальної геометрії:

$(18)g_{ij}{g}_{kl}\gamma (g^{ij}{g}^{kl}+g^{ik}{g}^{lj}+g^{il}{g}^{jk})=\gamma ((g_{ij}{g}^{ij})(g_{kl}{g}^{kl})+(g_{ij}{g}^{jl}{g}_{lk}{g}^{ki})+(g_{ij}{g}^{jk}{g}_{kl}{g}^{li}))=$

$=\gamma (n\cdot n+n+n)=\gamma n(n+2)$

Отже знаходимо:

$(19)\gamma =\frac{1}{n(n+2)}$

Зібравши до купи рівняння (8), (16) і (19), обчислюємо:

$(20)<k^2>=\frac{1}{n(n+2)}(({𝐛}_i^i{)}^2+2({𝐛}_i^j\cdot {𝐛}_j^i))=\frac{3n^2<𝐤{>}^2-2R}{n(n+2)}$

В останній формулі буквою $R$ позначено скалярну внутрішню кривину:

$R=({𝐛}_i^i{)}^2-({𝐛}_i^j\cdot {𝐛}_j^i)$