Алгебраїчні рівняння/Лінійні рівняння

Означення

Лінійне рівняння - рівняння вигляду $ax=b$, де:

• $a$ - коефіцієнт при змінній $x$;
• $b$ - вільний член.

Розв'язки

Проаналізуємо розв'язки лінійного рівняння. Якщо $a\ne 0$, то наше рівняння називатиметься рівнянням першого степеня з однією змінною. Його розв'язок $x=\frac{b}{a}$.

Якщо ж $a=0$, то матимемо два випадки:

• $b=0$. У цьому випадку наше лінійне рівняння виглядає так: $0x=0$. Розв'язків матимемо нескінченно багато.
• $b\ne 0$. Утворене рівняння $0x=b$ коренів не має, оскільки на нуль ділити не можна.

Рівняння, що зводяться до лінійних

Такі рівняння, як

$7x-5=2x+10(1)$,

$\frac{23-5x}{2}=\frac{8-11x}{5}(2)$ ,

$|5x+10|=20(3)$

до лінійних не відносяться, але можуть такими стати. Розглянемо це на прикладах.

Приклад 1

Розв'язати рівняння $(1)$.

Розв'язання

Зведемо подібні доданки. Отримаємо рівняння $5x=15$. А таке рівняння має розв'язок $x=3$.

Відповідь. $x=3$

Приклад 2

Розв'язати рівняння $(2)$.

Розв'язання

Знайдемо НСК (2;5). НСК (2;5) = 2 • 5 = 10. Перший дріб помножимо на 5 (10 : 2 = 5), а другий - на 2. Отримаємо рівняння

$\frac{115-25x}{10}=\frac{16-22x}{10}$.

Прибираємо знаменники й отримуємо: $115x-25x=16-22x$. Далі розв'язуємо, як описано у прикладі 1.

$99=3x$

$x=33$

Відповідь. $x=33$.

Приклад 3

Розв'язати рівняння $(3)$

Розв'язання

Згідно з означенням модуля (а рівняння з модулем) ліва частина рівняння, узята без модуля, дорівнює або 20, або -20. Таким чином, треба розв'язати два лінійних рівняння.

1-е рівняння

$5x+10=20$

$5x=10$

$x=2$

2-е рівняння

$5x+10=-20$

$5x=-30$

$x=-6$

Відповідь. $x=2;x=-6$.

Розглянемо складніший випадок.

Завдання 4

Розв'язати рівняння: $|5x-4|=|17-2x|$.

Розв'язання

У цьому рівнянні можливі два випадки: або знаки обох сторін рівняння збігаються (в обох "плюс" або "мінус"), або різняться (в одному "плюс", а в іншому - "мінус", і навпаки). Отже, як і в прикладі 3, нам треба розв'язати два рівняння.

1-е рівняння

$5x-4=17-2x$

$7x=21$

$x=3$

2-е рівняння

$5x-4=-(17-2x)$

$5x-4=2x-17$

$3x=-13$

$x=-\frac{13}{3}$

Відповідь. $x=3;x=-4\frac{1}{3}$

Завдання

1. Розв'язати рівняння:

$5x-2x=25-4;$   $7x-2=3x;$   $6x+25=x;$   $7|x|=35;$

$|7-3x|=|5x+10|;$   $|3x-5|=25$

2. На обох причепах піску порівно. Коли з першого взяли 7 кг піску, а в другий насипали 13 кг, то на першому причепі стало у 5 разів менше піску, ніж на другому. По скільки кілограмів піску було на кожному причепі спочатку?

3. Я загадав два числа. Друге число у 5 разів менше від першого. Якщо до другого числа додати 13, то воно стане у півтора раза більше від першого. Які числа я загадав?

4. Зі сталою швидкістю автомобіль доїде з пункту А до пункту В за 1 год 15 хв. Якщо автомобіль їхатиме з тією ж швидкістю 2 год, то потрапить до пункту С, який знаходиться далі від В на 4,5 км. Визначте швидкість автомобіля.

5. Зараз брат старший від сестри на 5 років. 5 років тому він був старший від сестри у 3 рази. Скільки зараз років його сестрі?

6*. Батько старший від сина у стільки років, скільки батьку років. Скільки років сину?