Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних. Однорідні тригонометричні рівняння. Розв’язування вправ

Зміст Наступна

Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних

Часто вдається виразити всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, через одну і зробити заміну, яка зведе дане рівняння до квадратного.
Приклад 1. Розв’язати рівняння ${\sin }^{2}x+\cos x+1=0$.
Розв’язання. Використавши основну тригонометричну тотожність, маємо: ${\cos }^{2}x-\cos x-2=0$. Позначимо $y=\cos x$. Отримаємо квадратне рівняння $y^2-y-2=0$, яке має два корені: $y_1=-1$, $y_2=2$. Другий корінь не підходить, так як $\cos x\le 1<2$ при будь-якому значенні $x$. Розв’язуючи рівняння $\cos x=-1$, знаходимо, що $x=(2n+1)\pi$, $n\in \mathbb{Z}$.
Приклад 2. Розв’язати рівняння $ctg2x+tgx+1=0$.
Розв’язання. Використовуючи (43), виразимо $ctg2x$ через $tgx$. Отримаємо рівняння: $\frac{1-t{g}^{2}x}{2tgx}+tgx+1=0$. На множині $tgx\ne 0$, $\cos x\ne 0$ воно рівносильне рівнянню $1-t{g}^{2}x+2t{g}^{2}x+2tgx=0$, або $t{g}^{2}x+2tgx+1=0$. Виконаємо заміну $y=tgx$. Маємо: $y^2+2y+1=0$, або ${(y+1)}^2=0$. Звідси $y=-1$, тобто $tgx=-1$. Відповідно, $x=arctg(-1)+\pi n=\frac{4n-1}{4}\pi$, $n\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння.
81. $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$.
82. $t{g}^{3}x+2t{g}^{2}x+3tgx=0$.
83. $4{\sin }^{4}x+\cos 4x=1+12{\cos }^{4}x$.
84. $6{\cos }^{2}x+\cos 3x=\cos x$.
85. $2{\sin }^{2}x+7\cos x=5$.
86. $\cos x+tgx=0$.
87. $t{g}^{2}x+2tgx-3=0$.
88. $2{\cos }^{2}x+5\cos x=3$.
89. $2{\cos }^{2}x=\sin x$.
90. ${\cos }^{2}x-1=cos(\frac{\pi }{2}-x)$.
91. $2{\sin }^{2}x=2+5\cos x$.
92. $\sin x+\cos 2x=2$.
93. $\cos 2x-2{\sin }^{2}x=-3$.

Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до них

Рівняння вигляду $a_0{\sin }^{n}x+a_1{\sin }^{n-1}x\cos x+a_2{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}x+a_3{\sin }^{n-3}x{\cos }^{3}x+...+a_n{\cos }^{n}x=0$, де $a_i$ – дійсні числа і сума показників степенів при $\sin x$ та $\cos x$ у кожному доданку дорівнює $n$, називається однорідним відносно $\sin x$ та $\cos x$. Такі рівняння при $\cos x\ne 0$ рівносильні рівнянням $a_{0}t{g}^{n}x+a_{1}t{g}^{n-1}x+a_{2}t{g}^{n-2}x+a_{3}t{g}^{n-3}x+...+a_n=0$. За допомогою тотожних перетворень деякі тригонометричні рівняння можна звести до однорідних.
Приклад 3. Розв’язати рівняння $3{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x+8{\cos }^{2}x=2$.
Розв’язання. Для того, щоб звести дане рівняння до однорідного, використаємо основну тригонометричну тотожність (14). Маємо: $3{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x+8{\cos }^{2}x=2\cdot ({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$. Після зведення подібних членів отримуємо: ${\sin }^{2}x-5\sin x\cos x+6{\cos }^{2}x=0$. Розділивши обидві частини рівняння на ${\cos }^{2}x\ne 0$, переходимо до еквівалентного рівняння $t{g}^{2}x-5tgx+6=0$, яке звідне до квадратного рівняння. Зробимо заміну $y=tgx$, тоді $y^2-5y+6=0$, звідки $y_1=2$, $y_2=3$. Врахувавши це, маємо розв’язки:
$x_1=arctg2+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$,
$x_2=arctg3+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.
Приклад 4. Розв’язати рівняння $\sin x=\cos x$.
Розв’язання. Перенесемо $\cos x$ у ліву частину і поділимо обидві частини рівняння на $\cos x$. Маємо: $\sin x-\cos x=0$, $tgx-1=0$, звідси $x=arctg1+\pi k=\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
94. ${\cos }^{2}x-\sin x\cos x=0$.
95. $\sin x\cos x=0,5$.
96. $3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$.
97. $2\cos x-\sqrt{2}\sin x=0$.
98. $3\sin x+5\cos x=0$.
99. ${\sin }^{2}x-(1+\sqrt{3})\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$.
100. ${\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=0$.
101. $\sqrt{3}{\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$.
102. $2\sin x-\sin x\cos x=0$.
103. $\sqrt{3}\cos x+\sin x\cos x=0$.
104. $\sin x\cos x=\frac{1}{\sqrt{3}}{\cos }^{2}x$.
105. ${\cos }^{2}x-3\sin x\cos x+1=0$.
106. ${\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=\frac{5-\sqrt{3}}{2}$.
107. $\sin x\cos x=-0,25$.
108. $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$.
109. $2\sin x\cos x+5{\cos }^{2}x=4$.
110. $8\sin 2x-3{\cos }^{2}x=4$.
111. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\sin 2x-0,5$.
112. ${\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x={\sin }^{2}2x$.
113. Знайти розв’язки рівняння ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=a({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)$ для всіх $a\in ℝ$.

Зміст Наступна