Синтаксис Wolfram Alpha

Wolfram|Alpha — пошукова система, яка відповідає на пошуковий запит (створений за допомогою її ж самої), а не посилається на сайти в інтернеті, як це роблять інші пошуковики. Це принципово нова пошукова система, яка може «розуміти» практично будь-які запити користувача і давати на них досить грунтовну й вичерпну відповідь. Вона спроможна вирішувати доволі широкий спектр математичних задач, але, через специфіку подібного роду запитів, користувачу цієї пошукової системи варто ознайомитись з синтаксисом математичних запитів, саме цьому і присвячена дана стаття.

Основні операції

Операція	Позначення
Додавання $a+b$	Шаблон:Text
Віднімання $a-b$	Шаблон:Text
Множення $a\cdot b$	Шаблон:Text
Ділення   $\frac{a}{b}$	Шаблон:Text
Піднесення в степінь $a^b$	Шаблон:Text

Приклади

314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
(a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки порівняння

Операція	Позначення
Менше $<$	Шаблон:Text
Більше $>$	Шаблон:Text
Рівно $=$	Шаблон:Text або Шаблон:Text
Менше або рівно $\le$	Шаблон:Text
Більше або рівно $\ge$	Шаблон:Text

Логічні символи

Операція	Позначення
І: $\wedge$	Шаблон:Text
АБО: $\vee$	Шаблон:Text
НЕ: $\mathrm{\neg }$	Шаблон:Text

Основні константи

• Число $\pi$: Pi
• Число $e$: E
• Безмежність $\mathrm{\infty }$: Infinity або inf

Основні функції

Операція	Позначення
$(a=\mathrm{const})$	Шаблон:Text
$x^a$	Шаблон:Text
$|x|$	Шаблон:Text
$\sqrt{x}$	Шаблон:Text
$\sqrt[n]{x}$	Шаблон:Text
$a^x$	Шаблон:Text
${\log }_{a}x$	Шаблон:Text
$\ln x$	Шаблон:Text
$\cos x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\sin x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{tg}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{ctg}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\sec x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{cosec}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\arccos x$	Шаблон:Text
$\arcsin x$	Шаблон:Text
$\mathrm{arctg}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{arcctg}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{arcsec}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{arccosec}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{ch}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{sh}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{th}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{cth}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{sech}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{cosech}x$	Шаблон:Text Шаблон:Text
$\mathrm{areach}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{areash}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{areath}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{areacth}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{areasech}x$	Шаблон:Text
$\mathrm{areacosech}x$	Шаблон:Text

Розв’язування рівнянь

Щоб отримати розв’язок рівняння виду $f(x)=0$ достатньо записати в рядку Wolfram|Alpha: f[x]=0, при цьому Ви отримаєте деяку додаткову інформацію, що генеруєтся автоматично. Якщо ж Вам необхідно тільки рішення, то потрібно ввести: Solve[f[x]=0, x].

Приклади

Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x];     або   Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
Solve[x^5+x^4+x+1=0,x]                 або   x^5+x^4+x+1=0;
Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x]   або   Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.

Якщо Ваше рівняння містить декілька змінних, то запис: f[x, y,…,z]=0 дасть доволі різноманітний набір відомостей, таких як розв’язок в цілих числах, часткові похідні функции $f$ и т. д. Щоб отримати розв’зок рівняння виду $f(x,y,...,z)=0$ по якійсь одній змінній, варто написати в рядку: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], де $j$ — та змінна значення якої ви хочете знайти.

Приклади

Cos[x+y]=0;     або    Solve[Cos[x+y]=0,x];    або    Solve[Cos[x+y]=0,y];
x^2+y^2-5=0;    або    Solve[x^2+y^2-5=0,x];   або    Solve[x^2+y^2-5=0,y];
x+y+z+t+p+q=9.

Розв’язок нерівностей

Розв’язок в Wolfram Alpha нерівностей типу $f(x)>0$, $f\left(x\right)⩾0$ повністю аналогічно розв’язку рівнянь $f(x)=0$. Потрібно написати в рядку WolframAlpha: f[x]>0 або f[x]>=0 або Solve[f[x]>0, x] або Solve[f[x]>=0,x].

Приклади

Cos[10x]-1/2>0;    або    Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
x^2+5x+10>=0;      або    Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Якщо Ваша нерівність містить декілька змінних, то запис: f[x, y,…,z]>0 як і для рівнянь дасть доволі різноманітний набір відомостей, таких як розв’язок в цілих числах, часткові похідні функции $f$ и т. д. Щоб отримати розв’зок нерівності виду $f(x,y,...,z)>0$ по якійсь одній змінній, варто додати її через кому таким чином: Solve[f[x, y, …, z]>0, j], де $j$ — та змінна значення якої ви хочете знайти.

Приклади

Cos[x+y]>0;     або    Solve[Cos[x+y]>0,x]    або    Solve[Cos[x+y]>0,y];
x^2+y^3-5<0;    або    Solve[x^2+y^3-5<0,x]   або    Solve[x^2+y^3-5<0,y];
x+y+z+t+p+q>=9

Розв’язок різноманітних систем рівнянь та нерівностей

Розв’язок систем рівнянь в Wolfram Alpha виконується дуже просто. Досить набрати рівняння і нерівності Вашої системи, точно так, як це описано вище в пунктах 7. і 8., з'єднуючи їх сполучником «І», який в Wolfram Alpha має вигляд &&.

Приклади

x^3+y^3==9 && x+y=1;
x+y+z+p==1 && x+y-2z+3p=2 && x+y-p=-3;
Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4 && x+y²=1;
Log[x+5]=0 && x+y+z<1.

Побудова графіків функції

Сервіс Wolfram Alpha підтримує можливість побудови графіків функцій як виду $f(x)$, так і виду $f(x,y)$. Для того, щоб побудувати графік функції $f(x)$ на відрізку $x\in \left[a,b\right]$ потрібно написати в рядку Wolfram Alpha: Plot[f[x],{x,a,b}]. Якщо Ви хочете, щоб діапазон зміни ординати $y$ був більш конкретним, наприклад $y\in \left[c,d\right]$, потрібно ввести: Plot[f[x],{x, a, b},{y, c, d}].

Приклади

Plot[x^2+x+2, {x,-1,1}];
Plot[x^2+x+2, {x,-1,1},{y,-1,5}];
Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E}];
Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}].

Якщо Вам потрібно побудувати відразу декілька графіків на одному малюнку, то перерахуйте їх, використовуючи сполучник «І»:

Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],{x, a, b}].

Приклади

* Plot[x&&x^2&&x^3, {x,-1,1},{y,-1,1}];
* Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], {x,-5,5}].

Для того, щоб побудувати графік функції $f(x,y)$ на прямокутнику $x\in \left[a,b\right],y\in \left[c,d\right]$, потрібно написати в рядку Wolfram Alpha: Plot[f[x, y], {x, a, b}, {y, c, d}]. На жаль, діапазон зміни аплікати $z$ поки що не можна зробити конкретним. Тим не менш, варто відзначити, що при побудові графіка функції $f(x,y)$ Ви отримаєте не тільки поверхню, яку вона визначає, але і «контурну карту» поверхні (лінії рівня).

Приклади

Plot[Sin[x^2+y^2],{x,-1,-0.5},{y,-2,2}];
Plot[xy,{x,-4,4},{y,-4,4}].

Математичний аналіз

Сервіс Wolfram Alpha здатний знаходити границі функцій, послідовностей, різні похідні, визначені і невизначені інтеграли, знаходити розв’язок диференціальних рівнянь та їх систем і багато багато іншого.

Границі

Для того, щоб знайти границю послідовності $\left\{x_n\right\}$ потрібно написати в рядку Wolfram Alpha:Limit[x_n, n -> Infinity].

Приклади

Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Знайти границю функції $f(x)$ при $x\to a$ можна абсолютно аналогічно: Limit [f[x], x->a].

Приклади

Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Похідні

Для того, щоб знайти похідну функції $f(x)$ потрібно написати в рядку WolframAlpha: D[f[x], x]. Якщо Вам потрібно знайти похідну n-го порядку, то слід написати: D[f[x], {x, n}]. У тому випадку, якщо Вам потрібно знайти частинну похідну функції $f(x,y,z,...,t)$ напишіть у вікні сервісу: D[f[x, y, z, ..., t ], j], де $j$ - змінна, що вас цікавить. Якщо потрібно знайти частинну похідну по деякої змінної порядку n, то слід ввести: D[f[x, y, z,..., t], {j, n}], де $j$ означає теж, що і вище.

Важливо підкреслити, що Wolfram Alpha видає покрокове знаходження похідної при натисканні на «Show Steps» в правому верхньому відповіді.

Приклади

D[x*E^x, x];
D[x^3*E^x, {x,17}];
D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
D[x/(x+y^4), {x,6}].

Інтеграли

Для того, щоб знайти невизначений інтеграл від функції $f(x)$ потрібно написати в рядку WolframAlpha: Integrate f[x], x. Знайти визначений інтеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ так само просто: Integrate[f[x], {x, a, b}] або Integrate f(x), x = a .. b.

Важливо підкреслити, що Wolfram Alpha видає покрокове знаходження інтеграла при натисканні на «Show Steps» в правому верхньому куті відповіді.

Приклади

Integrate[Sin[x]/x², x];
Integrate[x^10*ArcSin[x], x];
Integrate[(x+Sin[x])/x, {x,1,100}];
Integrate[Log[x^3+1]/x^5, {x,1,Infinity}].

Диференціальні рівняння та їх системи

Щоб знайти загальний розв’язок диференціального рівняння $F(x,y,y^{/},y^{//},...,y^{(n)})=0$ потрібно написати в рядку WolframAlpha: F[x,y,y',y'',...] (при k-й похідній y ставиться k штрихів).

Якщо Вам потрібно вирішити задачу Коші, то напишіть: F[x,y,y',y'',...], y[s]== A, y'[s]== B,.... Якщо потрібно знайти розв’язок крайової задачі, то крайові умови, так само перераховуються через кому, причому вони повинні мати вигляд y[s]==S.

Розв’язок систем диференціальних рівнянь знаходиться також дуже просто, достатньо написати: {f_1, f_2,..., f_n}, де f_1, f_2, ..., f_n - диференціальні рівняння, що входять в систему. На жаль, розв’язок задач Коші та крайових задач для систем диференціальних рівнянь поки-що не підтримується.

Приклади

y'+y''+y=Sin[x];
y+y'+y''=ArcSin[x];
y''+y+y^2=0;
y=y'',y'[0]=4, y[0]=0 ;
y+x*y'=x, y[6]=2;
y-3y'[x]+2y''[x]+y'''[x]=x, y[0]=1, y[1]=2, y'[1]=2;
{x'+y'=2, x'-2y'=4}.

Джерела та література

• Приклади запитів WolframAlpha

Посилання

• WolframAlpha(вікі)
• Приклади запитів WolframAlpha(eng)
• Стаття про Wolfram Alpha (wikipedia)