Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Зміст Попередня

Найпростіші тригонометричні нерівності

Найпростішими тригонометричними нерівностями будемо називати нерівності вигляду $\sin x>a$, $\sin x<a$, $\cos x>a$, $\cos x<a$, $tgx>a$, $tgx<a$, $ctgx>a$, $ctgx<a$.

Тригонометричне коло

Дослідимо наявність розв’язків нерівності $\sin x>a$.

Нехай $a>1$. Тоді нерівність розв’язків не має, оскільки $\sin x\le 1$.

Нехай $\left|a\right|<1$. Розглянемо тригонометричне коло. Як видно з малюнка, $\sin x$ буде приймати значення, більші за $a$, якщо кут $x$ буде лежати в межах від $x_1$ до $x_2$, або в проміжку від $x_1+2\pi$ до $x_2+2\pi$ і т.д. від $x_1+2\pi n$ до $x_2+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$. Залишилося з’ясувати, які значення мають $x_1$ та $x_2$. Для цього потрібно розв’язати відповідне рівняння $\sin x=a$, яке має корені: $x_1=\arcsin a+2\pi n$ та $x_2=\pi -\arcsin a+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$. Отже, нерівність $\sin x>a$ задовольняють кути $x$ з проміжку $(\arcsin a+2\pi n;\pi -\arcsin a+2\pi n)$, $n\in \mathbb{Z}$.

При $a<-1$ нерівність $\sin x>a$ задовольняє будь-яке число $x\in ℝ$, оскільки завжди $\sin x\ge -1$.

При $a=-1$ дана нерівність має розв’язком будь-яке дійсне число, крім чисел виду $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$ (поясніть це самостійно).

Дослідимо на наявність розв’язків нерівність $\sin x<a$.

Нехай $a>1$. Тоді нерівність має розв’язком будь-яке $x\in ℝ$ (поясніть це самостійно).

При $a=1$ нерівність матиме розв’язком будь-яке дійсне число $x$, крім чисел виду $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Нехай $\left|a\right|<1$. Розглянемо тригонометричне коло. Як видно з малюнка, $\sin x$ буде приймати значення, менші за $a$, якщо кут $x$ буде лежати в межах від $x_2+2\pi k$ до $x_1+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Зрозуміло, що за $x_2$ в цьому випадку потрібно взяти не $\pi -\arcsin a$, а $-\pi -\arcsin a$. Тоді множина розв’язків запишеться у вигляді: $(-\pi -\arcsin a+2\pi k;\arcsin a+2\pi k)$, $k\in \mathbb{Z}$.

При $a<-1$ нерівність коренів не має, позаяк при будь-якому $x\in ℝ$ $\sin x\ge -1$.

Аналогічно можна розв’язати й інші найпростіші тригонометричні нерівності. Залишимо це на самостійне опрацювання, наведемо лише таблицю розв’язків найпростіших тригонометричних нерівностей:

Вигляд нерівності	Множина розв’язків нерівності ($n\in \mathbb{Z}$)
$\sin x>a$, де $\left|a\right|<1$	$x\in (\arcsin a+2\pi n;\pi -\arcsin a+2\pi n)$
$\sin x<a$, де $\left|a\right|<1$	$x\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n;\arcsin a+2\pi n)$
$\cos x>a$, де $\left|a\right|<1$	$x\in (-\arccos a+2\pi n;\arccos a+2\pi n)$
$\cos x<a$, де $\left|a\right|<1$	$x\in (\arccos a+2\pi n;2\pi -\arccos a+2\pi n)$
$tgx>a$	$x\in (arctga+\pi n;\frac{\pi }{2}+\pi n)$
$tgx<a$	$x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n;arctga+2\pi n)$
$ctgx>a$	$x\in (\pi n;arcctga+\pi n)$
$ctgx<a$	$x\in (arcctga+\pi n;\pi +\pi n)$

Метод інтервалів

Відомо, що коли функція $F(x)$ є неперервна на проміжку $X$ і не перетворюється на ньому в нуль, то вона зберігає на цьому проміжку знак. На цій властивості неперервних функцій ґрунтується метод інтервалів – універсальний метод розв’язування різних видів нерівностей. Суть методу полягає в тому, щоб визначити нулі рівняння $F(x)=0$ на області визначення функції $F(x)$ та з’ясувати знаки, яких набуває функція на кожному з утворених проміжків.

При розв’язуванні тригонометричних нерівностей доцільно застосовувати алгоритм модифікованого методу інтервалів:

1. Звести нерівність до вигляду $F(x)>0$.
2. Встановити область визначення функції $F(x)$.
3. Знайти найменший додатній період функції $F(x)$ (він потрібний для запису розв’язку).
4. Знайти нулі функції $F(x)$, розв’язавши відповідне рівняння $F(x)=0$/
5. На одиничному колі (або числовій прямій) відмітити область визначення та нулі функції $F(x)$ в межах одного періоду.
6. Виділити інтервали знакосталості та встановити знак функції $F(x)$ на кожному з них.
7. Записати відповідь згідно знаку нерівності.

Приклад 1. Розв’язати нерівність $\cos 2x\le \cos 3x-\cos 4x$.

Розв’язання. Перенесемо всі доданки в ліву частину нерівності: $\cos 2x-\cos 3x+\cos 4x\le 0$. Так як всі доданки визначені при будь-якому $x$, то множина визначення виразу – $ℝ$. Щодо періодів, то $T_1=\pi ,T_2=\frac{2}{3}\pi ,T_3=\frac{\pi }{2}$. Найменший додатній період буде рівний найменшому спільному кратному цих чисел – $2\pi$. Щоб знайти нулі, розв’яжемо відповідне рівняння: $\cos 2x-\cos 3x+\cos 4x=0$. Звідси $2\cos 3x\cos x-\cos 3x=0$, тобто $\cos 3x(2\cos x-1)=0$. Зрозуміло, що множина розв’язків рівняння тотожна множині розв’язків сукупності

$\cos 3x=0$, звідки $x=\frac{\pi }{6}+\frac{n\pi }{3}$, $n\in \mathbb{Z}$ і одночасно

$\cos x=\frac{1}{2}$, звідки $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Зобразимо нулі виразу на одиничному колі (в межах одного періоду виразу).

Як бачимо, нашу нерівність задовольняють числа

$x\in [\frac{\pi }{6}+2\pi n;\frac{\pi }{3}+2\pi n]\cup [\frac{\pi }{2}+2\pi n;\frac{5}{6}\pi +2\pi n]\cup [\frac{7}{6}\pi +2\pi n;\frac{3}{2}\pi +2\pi n]\cup [\frac{5}{3}\pi +2\pi n;\frac{11}{6}\pi +2\pi n]$, $n\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’яжіть нерівність:

132. $\sin x>-\frac{1}{2}$.

133. $ctgx>-3$.

134. $\sin x^2\le \frac{1}{2}$.

135. $\cos (\sin x)>0$.

136. $tgx>2$.

137. $\sin (x-1)>-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

138. $\sin x+\cos x>-\sqrt{2}$.

139. $\sin (\cos x)\ge 0$.

140. $\cos x+\cos 2x+\cos 3x>0$.

141. $\sin x\sin 2x-\cos x\cos 2x>\sin 6x$.

142. $2\sin x\sin 2x\sin 3x<\sin 4x$.

143. $\sin x\sin 3x>\sin 5x\sin 7x$.

144. ${\cos }^{3}x\sin 3x+\cos 3x{\sin }^{3}x<\frac{3}{8}$.

145. $2tg2x\le 3tgx$.

146. $\sin x\ge \cos 2x$.

147. $\sin x<\mid \cos x\mid$.

Тригонометричні нерівності, що зводяться до раціональних

Нерівність вигляду $R(y)>0$, $R(y)<0$, де $R$ – деяка раціональна функція, а $y$ – одна з тригонометричних функцій, розв’язуються в два етапи – спочатку розв’язується раціональна нерівність відносно змінної $y$, а потім – найпростіша тригонометрична нерівність.

Приклад 2. Розв’язати нерівність $2{\sin }^{2}x-7\sin x+3>0$.

Розв’язання. Позначивши $\sin x=y$, отримаємо нерівність $2y^2-7y+3>0$, множина розв’язків якої $y\in (-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})\cup (3;+\mathrm{\infty })$. Повертаючись до вихідної нерівності, отримуємо, що дана нерівність еквівалентна сукупності двох нерівностей: $\sin x<\frac{1}{2}$ та $\sin x>3$. Друга нерівність розв’язків не має, а розв’язок першої $x\in (-\frac{7}{6}\pi +2\pi n;\frac{\pi }{6}+2\pi n)$, $n\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’яжіть нерівність:

148. $ct{g}^{3}x+ct{g}^{2}x-ctgx-1<0$.

149. $tgx+ctgx<-3$.

150. $\sin x+\sqrt{3}\cos x<0$.

151. $2\cos 2x+\sin x>tgx$.

152. $\sin 2x>\cos x$.

153. $\sqrt{3-4{\cos }^{2}x}>2\sin x+1$.

154. $\sqrt{3\sin x+1}>4\sin x+1$.

155. $5+2\cos 2x\le 3\mid 2\sin x-1\mid$.

156. $\frac{{\sin }^{2}x+\sin x-1}{\sin x-1}<0$.

157. $\frac{{\sin }^{2}x+\cos x-1}{tgx-1}\ge 0$.

Зміст Попередня