Основні числові системи

Алгебричною системою називається система $⟨A,{\mathrm{\Omega }}_P,{\mathrm{\Omega }}_F⟩,$ що складається з трьох множин: непустої множини $A,$ множини операцій ${\mathrm{\Omega }}_F=\{F_1,...,F_k,...\},$ визначених на $A,$ і множини відношень ${\mathrm{\Omega }}_P=\{P_1,...,P_m,...\},$ заданих на множині $A.$ Множина $A$ називається носієм або основною множиною алгебричної системи $⟨A,{\mathrm{\Omega }}_P,{\mathrm{\Omega }}_F⟩,$ а її елементи - елементами цієї системи. Чисельність (кардинальне число) $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$ називається порядком (потужністю) системи і позначається також $|A|.$ При цьому алгебрична система називається скінченною, якщо множина $A$ є скінченною. Об'єднуючи множини ${\mathrm{\Omega }}_F$ та ${\mathrm{\Omega }}_P$ системи й вважаючи $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_F\cup {\mathrm{\Omega }}_P,$ можна записати систему більш коротко: $⟨A,\mathrm{\Omega }⟩.$

Найважливішими алгебричними системами є числові системи, тобто системи, елементами яких є числа. Їх дослідженням займаються у розділі математики, що називається теорією чисел (або арифметикою). Основні числові системи математики наступні: система натуральних чисел, яку позначають символом $\mathbb{N};$ кільце цілих чисел, яке позначають символом $\mathbb{Z};$ поле раціональних чисел $\mathbb{Q};$ поле дійсних чисел $ℝ;$ поле комплексних чисел $ℂ.$ Виходячи з поняття множини можна побудувати теорію натуральних чисел, потім теорію цілих чисел, раціональних, дійсних і теорію комплексних чисел. Причому кожну з цих теорій можна побудувати як конструктивно, так й аксіоматично. За конструктивної побудови цих теорій нова числова система визначається через попередню, яка вважається вихідною, тобто "будівельним матеріалом" для конструювання нових чисел є числа, які вважаються вже відомими: поняття натурального числа визначається через поняття множини, цілі числа визначаються через натуральні, раціональні - через цілі тощо. За аксіоматичної побудови основні властивості числової системи (системи натуральних чисел, цілих чисел, раціональних чисел тощо) задається системою аксіом. Шаблон:Вікіпедія

Зміст

1. Натуральні числа
2. Цілі числа
3. Раціональні числа
4. Ірраціональні числа
5. Дійсні числа
6. Комплексні числа