Метод Фур'є (відокремлення змінних)

Метод Фур'є - один з основних методів розв'язування диференціальних рівнянь з частинними похідними. І незважаючи на те, що він доволі громіздкий його знання в будь-якому разі необхідне щоб здати СРП.

Рівняння гіперболічного типу

На прикладі задачі про вільні коливання струни, кінці якої жорстко закріплені.

Ця умова означає, що на струну не діють зовнішні сили, і вона рухається під дією власної сили натягу, яка з'явилась через початкове відхилення, та початкової швидкості. Кінці не рухаються. В рівняннях це означає: Шаблон:Eq

вільні коливання Шаблон:Eq початкове положення та швидкість Шаблон:Eq закріплені кінці.

Відокремлення змінних

Спочатку шукаємо частинні розв'язки рівняння Шаблон:Er, які нерівні тотожньо нулеві, і задовольняють умови Шаблон:Er, у вигляді: Шаблон:Eq

Через формулу Шаблон:Er метод назвали методом відокремлення змінних. Ця формула - один з ключових моментів.

Підставляємо Шаблон:Er в Шаблон:Er, і отримуємо Шаблон:Eq Ділимо обидві частини на $a^{2}X(x)T(t)$, дістанемо Шаблон:Eq

Для того, щоб функція $u(x,t)=X(x)T(t)$ була розв'язком рівняння Шаблон:Er рівність Шаблон:Er повинна задовольнятися тотожно, тобто для всіх значень незалежних змінних $0<x<l$. Права частина рівності Шаблон:Er є функцією тільки змінної t, а ліва - тільки x. Фіксуючи деяке значення x, і змінюючи t (або навпаки), дістанемо, що права і ліва частини рівності Шаблон:Er при зміні своїх аргументів зберігають стале значення. Шаблон:Eq

де $\lambda$ - стала, яка для зручності вибирається зі знаком "мінус", при цьому нічого не припускається про її знак.

Із співвідношення Шаблон:Er дістаємо рівняння для визначення функцій $X(x)$, та $T(t)$:

Крайові умови Шаблон:Er дають: Шаблон:Eq Шаблон:Eq

Звідси випливає, що $X(0)=X(l)=0$, бо інакше було б Шаблон:Eq але ж задача полягає у знаходженні нетривіальних розв'язків.

Таким чином для функції $X(x)$ одержали так звану задачу Штурма-Ліувілля (задачу про власні значення): знайти ті значення параметра $\lambda$, при яких існують нетривіальні розв'язки задачі: Шаблон:Eq

а також знайти ці розв'язки. Такі значення параметра $\lambda$ називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні розв'язки - власними функціями задачі Шаблон:Er.

Розглянемо окремо випадки, коли параметр $\lambda$ від'ємний, дорівнює нулю, або додатній.

Випадок $\lambda <0$

Загальний розв'язок рівняння Шаблон:Er має вигляд

Крайові умови дають Шаблон:Eq Шаблон:Eq тобто $C_1=-C_2$ і $C_1(e^{\alpha }+e^{-\alpha })=0$. Але в розглянутому вище випадку $\alpha$ - дійсне і додатне, а тому $e^{\alpha }-e^{-\alpha }\ne 0$ Тому $C_1=0$ і $C_2=0$. Отже, $X(x)\equiv 0$ і, значить в цьому випадку задача не має нетривіальних розв'язків.

Випадок $\lambda =0$

В цьому випадку загальний розв'язок рівняння Шаблон:Er має вигляд: Шаблон:Eq

Крайові умови дають Шаблон:Eq Шаблон:Eq тобто $C_1=0$. Отже, $C_1=C_2=0$, і значить $X(x)\equiv 0$, тобто також не існує нетривіальних розв'язків.

Випадок $\lambda >0$

І нарешті останнє. Загальний розв'язок рівняння Шаблон:Er в такому разі виглядає: Шаблон:Eq

Крайові умови дають Шаблон:Eq Шаблон:Eq Якщо $C_1=0$, то і в цьому випадку буде $X(x)\equiv 0$. Ми шукаємо нетривіальні розв'язки, тому $C_1\ne 0$ і Шаблон:Eq або $\sqrt{\lambda }=\frac{\pi n}{l}$, де $n=\pm 1,\pm 2,\dots ,n\ne 0$, тому що за умовою $\lambda >0$.

Отже, нетривіальні розв'язки задачі Шаблон:Er можливі лише при значеннях

Цим власним значенням відповідають власні функції

Шаблон:Eq де $D_n$ - довільна стала.

Надалі будемо надавати n тільки додатні значення, оскільки при від'ємних n дістанемо розв'язки, які мають такий самий вигляд (адже $D_n$ - довільні сталі, які можуть мати будь-який знак).

Знаходимо T(t)

Підставивши знайдені значення ${\lambda }_n$ в Шаблон:Er, дістанемо рівняння Шаблон:Eq загальний розв'язок якого має вигляд Шаблон:Eq де $C_n$ та $K_n$ - довільні сталі.

Частинні розв'язки

Підставивши Шаблон:Er і Шаблон:Er в Шаблон:Er знайдемо частинні розв'язки рівняння Шаблон:Er, які задовольняють крайові умови Шаблон:Er. При цьому кожному значенню $n=1,2,\dots$ буде відповідати розв'язок

Введемо позначення $A_n=C_n{D}_n,B_n=K_n{D}_n$. Тоді $u_n(x,t)$ можна записати у вигляді

Функції $u_n(x,t)$ задовольняють початкові умови Шаблон:Er вихідної задачі тільки для окремих випадків початкових функцій $\phi (x)$ і $\psi (x)$.

За допомогою розв'язків Шаблон:Er побудуємо розв'язок, який задовольняє початкові умови Шаблон:Er. Розв'язок рівняння Шаблон:Er, який задовольняє умови Шаблон:Er і Шаблон:Er шукатимемо у вигляді ряду:

Якщо ряд Шаблон:Er збігається рівномірно, і його можна двічі продиференціювати по x і по t почленно, то сума ряду буде задовольняти рівняння Шаблон:Er і крайові умови Шаблон:Er. Поставимо вимогу, щоб функція $u(x,t)$, яка визначена рядом Шаблон:Er задовольняла початкові умови Шаблон:Er:

Ряд Фур'є

Припустимо, що функції $\phi (x)$ і $\psi (x)$ задовольняють умови розкладу в w:ряд Фур'є за синусами на проміжку (0,l). Тоді

Порівняння рядів Шаблон:Er і Шаблон:Er з формулами Шаблон:Er показує, що для виконання початкових умов треба покласти

Таким чином розв'язок задачі Шаблон:Er-Шаблон:Er, одержаний методом відокремлення змінних, має вигляд

Це був розв'язок однорідного рівняння гіперболічного типу. І хоча це не всі класи рівнянь, але спосіб яким розв'язано це - найзагальніший, і входить у розв'язки багатьох інших. Проте людина, яка оцифровувала цю методичку вже здала сесію, і іде готуватись до наступної, тому продовження читайте з тридцятої сторінки методички зі списку літератури. Формула (19).

Література

1. Методичні розробки до вивчення нормативного курсу "Рівняння математичної фізики" (класифікація рівнянь другого порядку, формули Даламбера і Пуассона, метод відокремлення змінних) для студентів факультету кібернетики. Упоряд. С.О.Войцеховський, В.І.Гаркуша, М.П.Копистра та ін.- Київ, 2001 р. 65 с.