Елементарна математика/Дії із числами

Дії із числами

Дії першого ступеня.

Додавання. Числа, що використовуються для лічби предметів, можна складати. Наприклад, якщо зранку у корзині було 5 яблук, а в обід туди поклали ще 3 яблука, то яблук стане на 3 більше, тобто вісім: $5+3=8.$ При цьому число $5$ позначає перший доданок, число $3$ позначає другий доданок, а після знаку $=$ записане число $8,$ яке називається сумою доданків, записаних у лівій частині відносно знаку $=.$

Віднімання. Числа, які використовуються для лічби предметів, можна віднімати один від одного. Наприклад, якщо ввечері у корзині було 8 яблук, а зранку з нього вилучили 6 яблук, то після цього у корзині залишилося 2 яблука: $8-6=2.$ При цьому число $8$ називається зменшуваним, число $6$ - від'ємником, а число $2$ - різницею.

Дії другого ступеня.

Множення. Числа, що використовуються для лічби предметів, можна множити. Наприклад, якщо зранку у корзині містилося 2 яблука, а в обід до корзини поклали у 3 рази більше яблук, то після цього у ньому стало 8 яблук: $2+2\cdot 3=8.$ При цьому перше число $2$ називається доданком, друге число $2$ називається першим множником, число $3$ називається другим множником, а число $8$ - сумою доданка $2$ та добутку першого $2$ і другого $3$ множників.

Ділення. Числа, що використовуються для лічби предметів, можна розділювати. Наприклад, якщо в обід у корзині було 8 яблук, а ввечері їх кількість зменшилася вдвічі, то після цього у корзині стало 4 яблука: $8:2=4.$ При цьому число $8$ називається діленим, число $2$ називається дільником, а число $4$ називається часткою від ділення дільника $8$ на ділене $2.$

Порядок виконання дій. Дії з числами виконуються послідовно, зліва направо. Ступінь дії визначає її пріорітет щодо виконання. Чим вищий ступінь дії, тим вищим пріорітетом ця дія наділена. Таким чином, у записі $2+2\cdot 3$ спочатку виконується множення, а потім додавання: $2+6=8.$ Таким самим чином ділення має більший пріорітет ніж додавання та віднімання. Наприклад, у записі $10+9:3-5$ спочатку виконується дія ділення $9:3$, потім дія додавання $10+3$, а в кінці - дія віднімання $13-5=8$.

Якщо у записі використовуються дужки, то спочатку виконується вираз у дужках згідно до ступенів операцій. Наприклад, у записі $3\cdot (5+20:5)-7$ спочатку виконуються дії у дужках відповідно до ступенів дій: спочатку ділення $20:5=4,$ потім додавання $5+4=9;$ коли дії у дужках виконані, виконуються обчислення у звичайному порядку згідно до ступенів дій, зокрема, множення $9\cdot 3=27,$ а потім віднімання $27-7=20.$ Якщо ж записи в дужках вкладені до інших дужок, то спочатку виконуються дії у внутрішніх дужках. Наприклад, у записі $3+(2+(12-2\cdot 3))$ спочатку виконуються дії у внутрішніх дужках згідно до ступенів: спочатку $2\cdot 3=6,$ потім $12-6=6,$ потім $6+2=8$ та, нарешті, $3+8=11.$ Це правило розповсюджується на довільну кількість вкладень дужок.

Ознаки подільності

• на $2$ діляться лише числа, остання цифра яких є парною;
• на $3$ діляться лише числа, сума цифр яких ділиться на $3$;
• на $4$ діляться лише числа, у яких число, що складене з останніх двох цифр, ділиться на $4$;
• на $5$ діляться лише числа, остання цифра яких $0$ або $5$;
• на $6$ діляться лише числа, які діляться і на $2,$ і на $3$;
• на $8$ діляться лише числа, у яких число, складене з останніх трьох цифр, ділиться на $8$;
• на $9$ діляться лише числа, сума цифр яких ділиться на $9$;
• на $10$ діляться лише числа, остання цифра яких $0.$

Варто зауважити, що арифметичні операції (додавання, віднімання, множення та ділення) здійснюються над числами, а не над цифрами, оскільки цифри - це лише літери. У таких випадках необхідно мислити про цифри, про які говориться, як про числа. Наприклад, перевіримо подільність числа $5666$ на число $9.$ Вважаймо цифри, з яких складається число $5666,$ числами. Перелічимо ці числа у заданій послідовності: $5,6,6,6.$ Розгляньмо суму одержаних чисел: $5+6+6+6=23.$ Число $23$ не ділиться на число $9,$ відтак й число $5666$ не ділиться на $9.$