Допоміжні інтеграли з варіаціями

Шаблон:Примітка версії для друку Ця стаття має технічний характер і використовується для обчислення варіації інтегралів Ґаусса. Також, результати цієї статті можна використати для лінеаризації рівняння Ейнштейна при вивченні слабкого гравітаційного поля в фізиці.

Деформація многовида

Нехай нам дано гладкий многовид, який вміщено в охоплюючий евклідів простір. Виберемо деяку систему координат $u^1,u^2,\dots u^n$ на многовиді (або точніше, карту на деякому фрагменті многовида). Точки многовида виявляються «занумерованими» набором чисел $u^1,u^2,\dots u^n$, тобто точка многовиду однозначно знаходиться за своїми координатами:

$(1)𝐫=𝐫(u^1,u^2,\dots ,u^n)$

Розглянемо невелику гладку деформацію многовида (1), при якій наша система координат залишається «вмороженою» і деформується одночасно з многовидом. Координати $u^1,u^2,\dots u^n$ будь-якої точки $P$ залишаються при цьому незмінними. А от положення точки $P$ в евклідовому просторі змінюється (переходить в близьку точку $P^{\prime }$) на малу величину (варіацію зміщення), яка є функцією координат:

$(2){𝐫}^{\prime }=𝐫+\delta 𝐫;\delta 𝐫=\delta 𝐫(u^1,u^2,\dots ,u^n)$

Також змінюються і відстані між сусідніми точками многовида, що можна повністю описати через варіацію метричного тензора:

$(3)\delta g_{ij}=\delta ({𝐫}_i\cdot {𝐫}_j)=(\delta {𝐫}_i\cdot {𝐫}_j)+({𝐫}_i\cdot \delta {𝐫}_j)$

Варіаційні тензори

Одночасно з метричним тензором $g_{ij}$ змінюються і залежні від нього символи Крістофеля ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ та тензор Рімана $R_{ijk}^s$. Ми можемо розглядати варіації $\delta g_{ij},\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k,\delta R_{ijk}^s$ які є просто деякими наборами маленьких чисел в обраній системі координат.

Покажемо, що ці варіації є тензорами. Для цього розглянемо дві різні «вморожені» системи координат $u^1,u^2,\dots u^n$ і ${\hat{u}}^1,{\hat{u}}^2,\dots {\hat{u}}^n$. При деформації усі ці числа залишаються прив'язаними до точок многовиду, а тому залишаються сталими одночасно з усіма похідними переходу між цими системами координат:

$(4)u^i,{\hat{u}}^j,\frac{\partial u^i}{\partial {\hat{u}}^j},\frac{\partial {\hat{u}}^i}{\partial u^j},\frac{{\partial }^2{u}^l}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}=\text{const}$

Тому із формул для перетворень величин:

$(5a){\hat{g}}_{ij}=\frac{\partial u^p}{\partial {\hat{u}}^i}\frac{\partial u^s}{\partial {\hat{u}}^j}{g}_{ps}$

$(5b){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^k=\frac{\partial {\hat{u}}^k}{\partial u^l}(\frac{{\partial }^2{u}^l}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}+\frac{\partial u^p}{\partial {\hat{u}}^i}\frac{\partial u^s}{{\hat{u}}^j}{\mathrm{\Gamma }}_{ps}^l)$

$(5c){\hat{R}}_{ijk}^s=\frac{\partial {\hat{u}}^s}{\partial u^{\alpha }}\frac{\partial u^{\beta }}{\partial {\hat{u}}^i}\frac{\partial u^{\gamma }}{\partial {\hat{u}}^j}\frac{\partial u^{\delta }}{\partial {\hat{u}}^k}{R}_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }$

беручи варіацію від лівої та правої частин рівнянь (5) і враховуючи (4) одержуємо, що варіації $\delta g_{ij},\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k,\delta R_{ijk}^s$ є тензорами.

Зв'язок між варіаціями метричного тензора, символів Крістофеля і тензора Рімана

Розпишемо коваріантну похідну від варіації метричного тензора і врахуємо, що (як і самі координати) частинні похідні ${\partial }_k$ комутують зі значком взяття варіації $\delta$:

$(6){\mathrm{\nabla }}_k(\delta g_{ij})={\partial }_k(\delta g_{ij})-{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\delta g_{sj}-{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^s\delta g_{is}=\delta \left({\partial }_k{g}_{ij}\right)-{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\delta g_{sj}-{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^s\delta g_{is}$

звідки виражаємо варіацію від частинної похідної ${\partial }_k{g}_{ij}$ метричного тензора:

$(7)\delta \left({\partial }_k{g}_{ij}\right)={\mathrm{\nabla }}_k\left(\delta g_{ij}\right)+{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\delta g_{sj}+{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^s\delta g_{is}$

і варіацію від символа Крістофеля першого роду:

$(8)2\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}=\delta ({\partial }_i{g}_{kj}+{\partial }_j{g}_{ik}-{\partial }_k{g}_{ij})=({\mathrm{\nabla }}_i\delta g_{kj}+{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^s\delta g_{sj}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\delta g_{sk})+$

$({\mathrm{\nabla }}_j\delta g_{ik}+{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s\delta g_{sk}+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^s\delta g_{si})-({\mathrm{\nabla }}_k\delta g_{ij}+{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\delta g_{sj}+{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^s\delta g_{si})$

Користуючись цією формулою, легко знайти:

$(9)\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_i(\delta g_{kj})+{\mathrm{\nabla }}_j(\delta g_{ik})-{\mathrm{\nabla }}_k(\delta g_{ij}))=\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\delta g_{ks}$

ліва частина цього рівняння дорінює:

$(10)\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\delta g_{ks}=\delta \left(g_{ks}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\right)-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\delta g_{ks}=g_{ks}\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s+\left(\delta g_{ks}\right){\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\delta g_{ks}=g_{ks}\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$

комбінуючи формули (9) і (10), знаходимо варіацію символів Крістофеля:

$(11)\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=\frac{1}{2}{g}^{sk}({\mathrm{\nabla }}_i(\delta g_{kj})+{\mathrm{\nabla }}_j(\delta g_{ik})-{\mathrm{\nabla }}_k(\delta g_{ij}))$

Тепер перейдемо до варіації тензора Рімана. При взятті варіації формули

$(12)R_{ijk}^s={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s-{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s+{\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p$

враховуємо, що як і раніше, частинна похідна ${\partial }_j$ комутує зі значком варіації $\delta$:

$(13)\delta R_{ijk}^s={\partial }_j\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\right)-{\partial }_k\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s\right)+({\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^p+{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^p\delta {\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s)-({\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p+{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p\delta {\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s)=$

$[{\partial }_j\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\right)+{\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^p\delta {\mathrm{\Gamma }}^{s}pi-{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p\delta {\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s]-$

$[{\partial }_k\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s\right)+{\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^p\delta {\mathrm{\Gamma }}_{pi}^s-{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^p\delta {\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s]$

в останньому перетворенні ми перегрупували доданки в дві групи, взяті у квадратні дужки. Крім того, в кожну із цих груп ми додали третім доданком однаковий член ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^p\delta {\mathrm{\Gamma }}_{pi}^s$ — очевидно результат від такого додавання не зміниться, оскільки групи віднімаються одна від одної. Кожна з цих груп є коваріатною похідною тензора $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$, тому формулу (13) можна записати простіше:

$(14)\delta R_{ijk}^s={\mathrm{\nabla }}_j\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\right)-{\mathrm{\nabla }}_k\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s\right)$

Зауважимо, що формули (11) і (14) є тензорними.

Інтеграл з варіацією символа Крістофеля

Розглянемо наступний інтеграл по деякій області $\mathrm{\Omega }$ многовида:

$(15)I=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{a}_s^{ij}\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\right)\sqrt{g}d{u}^{1}d{u}^2\cdots d{u}^n=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{a}_s^{ij}\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\right)d\tau$

В цій формулі величина $a_s^{ij}$ є довільним тензором, а тому її згортка з варіацією символа Крістофеля є скаляром. Інтегрування поширюється на деяку область многовида. Підставимо замість $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$ формулу (11), тоді підінтегральний вираз запишеться так:

$(16)a_s^{ij}\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\right)=\frac{1}{2}{a}^{ijk}({\mathrm{\nabla }}_i(\delta g_{kj})+{\mathrm{\nabla }}_j(\delta g_{ik})-{\mathrm{\nabla }}_k(\delta g_{ij}))=$

$=\frac{1}{2}(a^{kji}+a^{ikj}-a^{ijk}){\mathrm{\nabla }}_k(\delta g_{ij})$

тут при переході до останньої рівності ми розкрили дужки і перейменували індекси в перших двох доданках.

Позначимо

$(17)v^{ijk}=\frac{1}{2}(a^{kji}+a^{ikj}-a^{ijk})$

і проінтегруємо інтеграл (14) частинами:

$(18)I=\int v^{ijk}{\mathrm{\nabla }}_k(\delta g_{ij})d\tau =\int {\mathrm{\nabla }}_k\left(v^{ijk}\delta g_{ij}\right)d\tau -\int \left({\mathrm{\nabla }}_k{v}^{ijk}\right)\delta g_{ij}d\tau$

Перший інтеграл є інтегралом від дивергенції вектора, а тому його можна перетворити в інтеграл по межі $S$ області, скориставшись теоремою Остроградського-Ґаусса. Остаточно маємо:

$(19)\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{a}_s^{ij}\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s\right)d\tau ={\oint }_S{v}^{ijk}\delta g_{ij}{n}_{k}dS-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\left({\mathrm{\nabla }}_k{v}^{ijk}\right)\delta g_{ij}d\tau$

де $n_k$ — одиничний вектор нормалі до підмноговида $S$.

Інтеграл з варіацією тензора Рімана

Аналогічно розглядається інтеграл з варіацією тензора Рімана:

$(20)J=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{c}_s^{ijk}\left(\delta R_{ijk}^s\right)d\tau$

де $c_s^{ijk}$ — довільний тензор. Застосовуємо формулу (14) для перетворення підінтегрального виразу:

$(21)c_s^{ijk}\delta R_{ijk}^s=c_s^{ijk}({\mathrm{\nabla }}_j\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\right)-{\mathrm{\nabla }}_k\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s\right))=(c_s^{ikj}-c_s^{ijk}){\mathrm{\nabla }}_k\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$

Вводимо позначення:

$(22)w_s^{ijk}=c_s^{ikj}-c_s^{ijk}$

і нарешті маємо:

$(23)\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{c}_s^{ijk}\left(\delta R_{ijk}^s\right)d\tau ={\oint }_S{w}_s^{ijk}\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s{n}_{k}dS-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\left({\mathrm{\nabla }}_k{w}_s^{ijk}\right)\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^{s}d\tau$

Останній інтеграл можна при бажанні далі перетворити за формулою (19).