Інтегрування за об'ємом многовида

Елемент об'єму $d\tau$ дається формулою:

$(1)d\tau =\sqrt{g}d{u}^{1}d{u}^2...d{u}^n$

Відповідно інтеграл від скалярного поля $\varphi =\varphi (u^1,u^2,...u^n)$ по об'єму многовида дорівнює:

$\int \varphi d\tau =\int \varphi \sqrt{g}d{u}^{1}d{u}^2...d{u}^n$

Доведення обчисленням

В околі точки $P$ многовида можна вибрати таку систему координат ${\tilde{u}}^i$, що в цій точці метричний тензор буде одиничною матрицею:

${\tilde{g}}_{ij}{|}_P={\delta }_{ij}$

В цій системі координат елемент об'єму дорівнює (як і для декартових координат в евклідовому просторі) добутку диференціалів координат:

$d\tau =d{\tilde{u}}^{1}d{\tilde{u}}^2...d{\tilde{u}}^n$

При переході до іншої системи координат $u^i$, як відомо з курсу математичного аналізу, елемент об'єму дорівнює добутку якобіана (модуля визначника матриці переходу) на добуток диференціалів нових координат:

$d\tau =\left|det\left(\frac{\partial {\tilde{u}}^i}{\partial u^j}\right)\right|d{u}^{1}d{u}^2...d{u}^n$

Оскільки метричний тензор при зміні системи координат змінюється за законом:

$g_{ij}=\frac{\partial {\tilde{u}}^k}{\partial u^i}\frac{\partial {\tilde{u}}^p}{\partial u^j}{\tilde{g}}_{kp}=\sum _k\frac{\partial {\tilde{u}}^k}{\partial u^i}\frac{\partial {\tilde{u}}^k}{\partial u^j}$

то матриця метричного тензора $G=\left(g_{ij}\right)$ є матричним добутком транспонованої матриці переходу $A=\left(\frac{\partial {\tilde{u}}^i}{\partial u^j}\right)$ на саму цю матрицю переходу:

$G=A^{T}A$

Звідси обчислюємо визначник:

$g=det(G)=det(A^{T}A)=det(A^T)\cdot det(A)=(det(A){)}^2$

або

$\left|det\left(\frac{\partial {\tilde{u}}^i}{\partial u^j}\right)\right|=|det(A)|=\sqrt{g}$

Формулу (1) доведено.