Алгебраїчні рівняння/Повні квадратні рівняння

Повне квадратне рівняння — це рівняння вигляду

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0,b\ne 0,c\ne 0).$

Формули коренів рівняння

Спочатку ми розв'язуватимемо такі рівняння методом виділення квадратного двочлена.

Приклад 1

Розв'язати рівняння: $x^2+4x-5=0.$

Розв'язання

Згадаємо одну з формул скороченого множення: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.$ Якщо до двочлена $x^2+4x$ додамо 4, то отримаємо квадрат двочлена $x+2.$ Тому дане рівняння рівносильне рівнянню $x^2+4x+4-4-5=0$,

або $(x+2{)}^2-9=0;$

$(x+2{)}^2=9.$

Звідси $x+2=3,$ $x=1,$

або $x+2=-3,$ $x=-5.$

Відповідь. $x_1=1;x_2=-5.$

Тепер розв'яжемо цим же ж методом рівняння

$a{x}^2+bx+c=0.$

Спочатку помножимо усі члени лівої частини рівняння на $4a:$

$4(ax{)}^2+4axb+4ac=0.$ Тепер додамо і віднімемо $b^2$(бо $(2ax+b{)}^2=4(ax{)}^2+2axb+b^a$):

$(2ax{)}^2+4axb+4ac+b^2-b^2=0;$

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac.(*)$

Тепер розглянемо наш результат.

Вираз у правій частині рівняння ($b^2-4ac$) називають дискримінантом та позначають великою літерою D.

D < 0

Якщо дискримінант менший від нуля, то рівняння не має розв'язку. Бо відомо, що квадрат (у нашому випадку - це $(2ax+b{)}^2$)не може бути від'ємним числом.

Відповідь. Розв'язків немає.

D = 0

Тоді рівняння має вигляд $(2ax+b{)}^2=0.$

Розв'яжемо його.

$2ax+b=0$

$2ax=-b$

$x=-\frac{b}{2a}(1)$

Відповідь. $x=-\frac{b}{2a}$

D > 0

Рівняння виглядатиме як рівняння $(*)$. Розв'яжемо і його.

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac;$

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac};$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(2)$

Виразами $(1)$ та $(2)$ ми будемо користуватись досить часто при розв'язанні квадратних рівняння.

Теорема Вієта

Поділимо рівняння $a{x}^2+bx+c=0$ на $a$: вийде

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$

Зробимо заміну: $p=\frac{b}{a};q=\frac{c}{a}.$

Отримаємо зведене квадратне рівняння $x^2+px+q=0.$

Запишемо формулу, за якою знайдемо корені рівняння (нагадаємо: перший коефіцієнт дорівнює одиниці, другий - p, а вільний член - q):

$x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}.$

Тепер за допомогою цих формул ми доведемо теорему Вієта.

Теорема (Вієта)

Сума коренів зведеного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному членові.

Доведення

Додамо та перемножимо корені.

$x_1+x_2=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}+\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p;$

$x_1\cdot x_2=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\cdot \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}=$

$=\frac{(-p{)}^2-(\sqrt{p^2-4q}{)}^2}{4}=\frac{p^2-(p^2-4q)}{4}=\frac{4q}{4}=q.$

Отже, $x_1+x_2=-p;x_1\cdot x_2=q.$ Щ.Т.Д.

До цієї теореми є обернена теорема, яку ми теж доведемо.

Теорема (обернена до теореми Вієта)

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n - корені рівняння $x^2+px+q=0.$

Доведення

Зробимо у рівнянні заміну: $p=-(m+n);q=mn.$

Отримаємо: $x^2-(m+n)x+mn=0.$

Зробимо підстановку: $x=m.$

Отримаємо:

$m^2-(m+n)m+mn=0;$

$m^2-m^2-mn+mn=0;$

$0=0.$

Отже, $m$ є коренем даного рівняння.

Зробимо іншу підстановку: $x=n$.

$n^2-(m+n)n+mn=0;$

$n^2-mn-n^2+n^2=0;$

$0=0.$

З цього випливає, що й $n$ є коренем рівняння. Щ.Т.Д.