Розв’язування тригонометричних рівнянь

Зміст Наступна

Многочлени від тригонометричних функцій

Рівняння вигляду $P(\sin x)=0$, $P(\cos x)=0$, $P\left(tgx\right)=0$, $P\left(ctgx\right)=0$, де $P$ – многочлен вказаних аргументів, розв’язуються як алгебраїчні від вказаних аргументів з наступним розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь.
Приклад 1. Розв’язати рівняння ${\sin }^{3}2x-3{\sin }^{2}2x+3\sin 2x-1=0$.
Розв’язання. Використавши формулу скороченого множення для куба різниці, маємо ${(\sin 2x-1)}^3=0$, звідки $\sin 2x=1$, $2x={(-1)}^k\arcsin 1+\pi k=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$, а тому й $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
114. $t{g}^{3}x+t{g}^{2}x-3tgx=3$.
115. $\cos x=\sqrt{2}{\sin }^{2}x$.
116. $\cos 2x\sin x=\cos 2x$.
117. $\sqrt{\frac{1}{16}+{\cos }^{4}x-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x}+\sqrt{\frac{9}{16}+{\cos }^{4}x-\frac{3}{2}{\cos }^{2}x}=\frac{1}{2}$.

Тригонометричні рівняння, що зводяться до раціональних

Тригонометричні рівняння вигляду

$R(\sin kx,\cos nx,tgkx,ctglx)=0$,
де $R$ – раціональна функція вказаних аргументів ($k,n,k,l\in \mathbb{N}$), за допомогою формул для тригонометричних функцій суми кутів (зокрема, формул подвійного та потрійного аргументів) можна звести до раціонального рівняння відносно аргументів $\sin x,\cos x,tgx,ctgx$, після чого це рівняння можна звести до раціонального рівняння відносно невідомої $t=tg\frac{x}{2}$ за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки (38), (40), (41) та (43), поклавши в них $x=2\alpha$.

Приклад 2. Розв’язати рівняння $(\cos nx-\sin x)(2tgx-\frac{1}{\cos x})+2=0$.
Розв’язання. Позначивши $t=tg\frac{x}{2}$, за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки запишемо рівняння у вигляді: $\frac{3t^4+6t^3+8t^2-2t-3}{(1+t^2)(1-t^2)}=0$; коренями його будуть $t_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$ та $t_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Таким чином, розв’язання рівняння зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь $tg\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ та $tg\frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. (*)
Зробивши перевірку, переконуємось, що числа $\pi n,n\in \mathbb{Z}$, – корені рівняння $cos\frac{x}{2}=0$ – не є коренями даного рівняння, і, відповідно, всі розв’язки вихідного рівняння знаходяться як розв’язки рівнянь (*): $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
118. $\sin x+ctg\frac{x}{2}=2$.
119. $ctg(\frac{\pi }{4}-x)=5tg2x+7$.
120. $3\sin 4x=(\cos 2x-1)tgx$.

Рівняння вигляду
$R(\sin x+\cos x,\sin x\cdot \cos x)=0$,
де $R$ – раціональна функція вказаних в дужках аргументів, може бути зведеним до рівняння відносно змінної $t=\sin x+\cos x$, якщо використовувати тригонометричну тотожність
${(\sin x+\cos x)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=14=1+2\sin x\cos x$,
з якої випливає, що $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$. Врахувавши цю рівність, розв’язуване рівняння можна звести до вигляду: $R(t,\frac{t^2-1}{2})=0$. Так само рівняння вигляду $R(\sin x-\cos x,\sin x\cdot \cos x)=0$ заміною $t=\sin x-\cos x$ зводиться до рівняння $R(t,\frac{1-t^2}{2})=0$.
Приклад 3. Розв’язати рівняння $\sin x+\cos x-2\sqrt{2}\sin x\cos x=0$.
Розв’язання. Позначивши $t=\sin x+\cos x$ і використавши співвідношення $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$, зводимо дане рівняння до нового: $\sqrt{2}{t}^2-t-\sqrt{2}=0$. Коренями цього рівняння будуть числа $t_1=\sqrt{2}$ та $t_2=-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Таким чином, розв’язання вихідного рівняння ми звели до розв’язання сукупності двох тригонометричних рівнянь:
$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$,
$\sin x+\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Домножуючи до обох частин цих рівнянь число $\frac{1}{\sqrt{2}}$, зводимо їх до двох більш простих рівнянь
$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=1$,
$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=-\frac{1}{2}$,
Звідки маємо, що
$\cos \frac{\pi }{4}\sin x+\sin \frac{\pi }{4}\cos x=1$,
$\cos \frac{\pi }{4}\sin x+\sin \frac{\pi }{4}\cos x=-\frac{1}{2}$.
За формулами синуса суми отримуємо
$\sin (x+\frac{\pi }{4})=1$,
$\sin (x+\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$,
а тому
$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$,
$x={(-1)}^{n+1}\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}+n\pi ,n\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
121. $5(\sin x+\cos x)+\sin 3x-\cos 3x=2\sqrt{2}(2+\sin 2x)$.
122. $\sin x+\cos x+\sin x\cos x=1$.
123. $\sin x+\cos x-2\sin x\cos x=1$.

Метод додаткового кута

Рівняння вигляду $a\cdot \sin x+b\cdot \cos x=c$ рівносильні найпростішому тригонометричному рівнянню $\sin (x+\varphi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, де $\varphi$ знаходиться з системи: $\{\begin{array}{c}\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\\ \cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$.
Приклад 3. Розв’язати рівняння $3\sin x+4\cos x=5$.
Розв’язання. Так як $\sqrt{3^2+4^2}=5$, то дане рівняння тотожно рівне рівнянню $\sin (x+\varphi )=1$, де $\varphi$ визначається рівняннями $\{\begin{array}{c}\sin \varphi =\frac{4}{5},\\ \cos \varphi =\frac{3}{5}\end{array}$. Так як $\sin \varphi$ і $\cos \varphi$ більше нуля, то за $\varphi$ можна взяти $\varphi =\arcsin \frac{4}{5}$ і корінь даного рівняння матиме вигляд: $x=-\arcsin \frac{4}{5}+\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
124. $\sin 8x-\cos 6x=\sqrt{3}(\sin 8x+\cos 6x)$.
125. $\sin 11x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x+\frac{1}{2}\cos 7x=0$.
126. $\sin 10x+\cos 10x=\sqrt{2}\sin 15x$.
127. $4\sin 3x+3\cos 3x=5,2$.

Зниження степеня

Спрощення деяких тригонометричних рівнянь іноді може бути досягнуте за допомогою зниження їх степеня. Якщо показники степенів синусів та косинусів, які містяться в рівнянні, парні, то зниження степеня можна виконати за формулами половинного аргумента.
Приклад 4. Розв’язати рівняння ${\sin }^{10}x+{\cos }^{10}x=\frac{29}{16}{\cos }^{4}2x$.
Розв’язання. Використовуючи формули половинного кута, дане рівняння можна представити у вигляді ${\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^5+{\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^5=\frac{29}{16}{\cos }^{4}2x$. Позначивши $\cos 2x=t$, представимо дане рівняння у вигляді: ${\left(\frac{1-t}{2}\right)}^5+{\left(\frac{1+t}{2}\right)}^5=\frac{29}{16}{t}^4$. Розкриваючи дужки та зводячи подібні доданки, приходимо до біквадратного рівняння $24t^4-10t^2-1=0$, єдиний дійсний корінь якого $t^2=\frac{1}{2}$. Повертаючись до початкової змінної, отримуємо ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{2}\Rightarrow 1+\cos 4x=1\Rightarrow \cos 4x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
128. ${\sin }^{2}6x+8{\sin }^{2}3x=0$.
129. ${\sin }^{2}x+a{\sin }^{2}2x=\sin \frac{\pi }{6}$. Дослідити розв'язок.
130. ${\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x=\frac{17}{32}$.
131. $\cos 2x+4{\sin }^{4}x=8{\cos }^{6}x$.

Зміст Наступна