Перегляд вихідного коду сторінки Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Розв’язування вправ на застосування тригонометричних формул|Наступна]]
__ОБОВ_ЗМІСТ__
==Формули добутку тригонометричних функцій==
З’ясуємо, чи можна добутки тригонометричних функцій замінити сумами (різницями) тригонометричних функцій такого ж степеня інших аргументів. Для цього використаємо формули суми і різниці двох аргументів. Додамо почленно співвідношення (29) та (30). Отримаємо:<br>
 <math>sin (\alpha + \beta) + sin (\alpha - \beta)=  2 \cdot sin \alpha \cdot cos \beta </math>, (48)
або
 <math>sin \alpha \cdot cos \beta = \frac {1}{2} \cdot (sin (\alpha + \beta) + sin (\alpha - \beta))</math>. (48′)
Якщо додамо почленно співвідношення (27) і (28), матимемо:
 <math>cos (\alpha + \beta) + cos (\alpha - \beta)=  2 \cdot cos \alpha \cdot cos \beta </math>, (49)
тому
 <math>cos \alpha \cdot cos \beta = \frac {1}{2} \cdot (cos (\alpha + \beta) + cos (\alpha - \beta))</math>.  (49′)
Коли ми почленно віднімемо від співвідношення (28) співвідношення (27), то:
 <math>cos (\alpha - \beta) - cos (\alpha + \beta)=  2 \cdot sin \alpha \cdot sin \beta </math>, (50)
тобто
 <math>sin \alpha \cdot sin \beta = \frac {1}{2} \cdot (cos (\alpha - \beta) - cos (\alpha + \beta))</math>. (50′)
Віднявши почленно від (29) співвідношення (30), маємо:
 <math>sin (\alpha + \beta) - sin (\alpha - \beta)=  2 \cdot cos \alpha \cdot sin \beta </math>, (51)
звідки
 <math>cos \alpha \cdot sin \beta = \frac {1}{2} \cdot (sin (\alpha + \beta) - sin (\alpha - \beta))</math>. (51′)
Для знаходження формул для добутку тангенсів і котангенсів використаємо інший підхід. <br>
Маємо:<br>
<math>tg \alpha + tg \beta = tg \alpha \left (1 + \frac{tg \beta}{tg \alpha} \right) = tg \alpha \cdot tg \beta \cdot \left (\frac{1}{tg \alpha} + \frac{1}{tg \beta} \right) = = tg \alpha \cdot tg \beta \cdot \left (ctg \alpha + ctg \beta \right)</math>, звідки
 <math>tg \alpha \cdot tg \beta = \frac{tg \alpha + tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta} </math>. (52)
Аналогічно можна отримати співвідношення
 <math>ctg \alpha \cdot ctg \beta = \frac{ctg \alpha + ctg \beta}{tg \alpha + tg \beta} </math>, (53)
 <math>tg \alpha \cdot ctg \beta = \frac{tg \alpha + ctg \beta}{ctg \alpha + tg \beta} </math>. (54)
Доведіть співвідношення (53)-(54) самостійно.

===Вправи===
44. Доведіть, що:<br>
# <math>sin x \cdot sin y \cdot sin z = \frac {1}{4} \cdot (sin (x+y-z) + sin (y+z-x) + sin (z+x-y) - sin (x+y+z))</math>
# <math>sin x \cdot cos y \cdot cos z = \frac {1}{4} \cdot (sin (x+y-z) - sin (y+z-x) + sin (z+x-y) + sin (x+y+z))</math>
# <math>sin x \cdot sin y \cdot cos z = \frac {1}{4} \cdot (-cos (x+y-z) + cos (y+z-x) + cos (z+x-y) - cos (x+y+z))</math>
# <math>cos x \cdot cos y \cdot cos z = \frac {1}{4} \cdot (cos (x+y-z) + cos (y+z-x) + cos (z+x-y) + cos (x+y+z))</math>

45. Доведіть, що:
# <math>tg x \cdot tg y = - \frac{tg x - tg y}{ctg x - ctg y} </math>
# <math>ctg x \cdot ctg y = - \frac{ctg x - ctg y}{tg x - tg y} </math>
# <math>tg x \cdot ctg y = - \frac{tg x - ctg y}{ctg x - tg y} </math>

==Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій==

Розглянемо співвідношення (48)-(51). Виконаємо в них заміну <math> \alpha + \beta = x </math>, <math> \alpha - \beta = y </math>. Тоді й <math> \alpha = \frac{x+y}{2} </math>, <math> \beta = \frac{x-y}{2} </math>. Звідси маємо: 
 <math>sin x + sin y=  2 \cdot sin \frac{x+y}{2} \cdot cos \frac{x-y}{2} </math>, (55)
 <math>cos x + cos y=  2 \cdot cos \frac{x+y}{2} \cdot cos \frac{x-y}{2} </math>, (56)
 <math>cos x - cos y=  - 2 \cdot sin \frac{x+y}{2} \cdot sin \frac{x-y}{2} </math>, (57)
 <math>sin x - sin y=  2 \cdot cos \frac{x+y}{2} \cdot sin \frac{x-y}{2} </math>. (58)
Розглянемо суму тангенсів:<br>
<math>tg x + tg y= \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} = \frac{sin x \cdot cos y +cos x \cdot sin y}{cos x \cdot cos y} = \frac{sin (x + y)}{cos x \cdot cos y}</math>, тобто 
 <math>tg x + tg y= \frac{sin (x + y)}{cos x \cdot cos y}</math>. (59)
Аналогічно можна довести співвідношення для різниці тангенсів:
 <math>tg x - tg y= \frac{sin (x - y)}{cos x \cdot cos y}</math>. (60)
''Доведіть це самостійно.''
Виведемо формулу для суми котангенсів:<br>
<math>ctg x + ctg y= \frac{cos x}{sin x} + \frac{cos y}{sin y} = \frac{cos x \cdot sin y + sin x \cdot cos y}{sin x \cdot sin y} = \frac{sin (x + y)}{sin x \cdot sin y}</math>, тобто 
 <math>ctg x + ctg y= \frac{sin (x + y)}{sin x \cdot sin y}</math>. (61)
Аналогічно можна довести, що:
 <math>ctg x - ctg y= - \frac{sin (x - y)}{sin x \cdot sin y}</math>. (62)
''Доведіть це самостійно.''
===Вправи===
46. Доведіть, що:
# <math>sec x + sec y= \frac{2 \cdot sec x \cdot sec y}{sec \frac{x+y}{2} \cdot sec \frac{x-y}{2}}</math>
# <math>cosec x + cosec y= \frac{2 \cdot cosec x \cdot cosec y}{cosec \frac{x+y}{2} \cdot sec \frac{x-y}{2}}</math>

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Розв’язування вправ на застосування тригонометричних формул|Наступна]]
[[Категорія:Основи тригонометрії]]