Перегляд вихідного коду сторінки Формули подвійного і половинного аргументів тригонометричних функцій

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій|Наступна]]
__ОБОВ_ЗМІСТ__
==Формули подвійного аргументу==
Розглянемо тригонометричні функції суми двох однакових аргументів. Для виведення формули косинуса подвійного аргументу використаємо співвідношення (27):<br>
<math>cos 2 \alpha = cos (\alpha + \alpha) = cos \alpha \cdot cos \alpha - sin \alpha \cdot sin \alpha = cos ^2 \alpha - sin ^2 \alpha</math>, тобто<br>
 <math>cos 2 \alpha = cos ^2 \alpha - sin ^2 \alpha</math>. (35)
Використавши основну тригонометричну тотожність (14), отримаємо:<br>
 <math>cos 2 \alpha = 1 - 2 \cdot sin ^2 \alpha</math>, (36)
або<br>
 <math>cos 2 \alpha = 2 \cdot cos ^2 \alpha - 1</math>. (37)
Ще одну формулу отримаємо так:<br>
<math>cos 2 \alpha = \frac {cos 2 \alpha}{1} = \frac {cos ^2 \alpha - sin ^2 \alpha}{cos ^2 \alpha + sin ^2 \alpha} = \frac {1 - tg ^2 \alpha}{1 + tg ^2 \alpha}</math>. Тут ми використали основну тригонометричну тотожність та розділили чисельник і знаменник дробу на <math>cos ^2 \alpha \ne 0</math>. Отримали:
 <math>cos 2 \alpha = \frac {1 - tg ^2 \alpha}{1 + tg ^2 \alpha}, \alpha \ne \frac{\pi}{2}+n \pi, n \in \mathbb{Z}</math>. (38)
Розглянемо формулу для синуса суми двох однакових аргументів:<br>
<math>sin 2 \alpha = sin (\alpha + \alpha) = sin \alpha \cdot cos \alpha + cos \alpha \cdot sin \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha</math>, тобто
 <math>sin 2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha</math>. (39)
Перетворимо співвідношення (39), використовуючи основну тригонометричну тотожність та поділивши отримані чисельник і знаменник на <math>cos ^2 \alpha \ne 0</math>:
<math>sin 2 \alpha = \frac {sin 2 \alpha}{1} = \frac {2 sin \alpha cos \alpha}{cos ^2 \alpha + sin ^2 \alpha} = \frac {2 tg \alpha}{1 + tg ^2 \alpha}</math>. Маємо: 
 <math>sin 2 \alpha = \frac {2 tg \alpha}{1 + tg ^2 \alpha}</math>. (40)
Використавши співвідношення (31), отримаємо:
<math>tg 2 \alpha = tg ( \alpha + \alpha ) = \frac {tg \alpha + tg \alpha}{1 - tg \alpha tg \alpha} = \frac {2 tg \alpha}{1 - tg ^2 \alpha}</math>, тобто 
 <math>tg 2 \alpha = \frac {2 tg \alpha}{1 - tg ^2 \alpha}</math>. (41)
Формулу подвійного аргументу для котангенса виведемо із співвідношення (33):
<math>ctg 2 \alpha = ctg ( \alpha + \alpha ) = \frac {ctg \alpha ctg \alpha - 1}{ctg \alpha + ctg \alpha} = \frac {ctg ^2 \alpha -1}{2 ctg \alpha}</math>, звідки 
 <math>ctg 2 \alpha = \frac {ctg ^2 \alpha -1}{2 ctg \alpha}</math>, (42)
або
 <math>ctg 2 \alpha = \frac {1 - tg ^2 \alpha}{2 tg \alpha}</math>. (43)

===Вправи===

37. Довести формули  подвійного аргументу:
# <math>sec 2 x = \frac {1 + tg ^2 x}{1 - tg ^2 x}</math>
# <math>cosec 2 x = \frac {1 + tg ^2 x}{2 tg x}</math>

38. Вивести формулу подвійного кута для тангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).<br>

39. Вивести формулу подвійного кута для котангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).<br>

40. Вивести формулу подвійного кута для котангенса (42), використовуючи співвідношення (41).<br>

41. Довести, що:<br>
# <math>sin 3 x = 3 sin x - 4 sin ^3 x</math>
# <math>cos 3 x = 4 cos ^3 x - 3 cos x</math>
# <math>sin 4 x = 8 cos ^3 x sin x - 4 cos x sin x</math>
# <math>cos 4 x = 8 cos ^4 x - 8 cos ^2 x + 1</math>
# <math>tg 3 x = \frac {3 tg x - tg ^3 x}{1 - 3 tg ^2 x}</math>
# <math>ctg 3 x = \frac {ctg ^3 x -3 ctg x}{3 ctg ^2 x - 1}</math>
# <math>tg 4 x = \frac {4 tg x - 4 tg ^3 x}{1 - 6 tg ^2 x + tg ^4 x}</math>
# <math>ctg 4 x = \frac {ctg ^4 x -6 ctg ^2 x + 1}{4 ctg ^3 x - 4 ctg x}</math>

==Формули половинного аргументу==
Покладемо у співвідношенні (36) кут <math>\alpha = \frac{x}{2}</math>. Отримаємо: <math>cos x = 1 - 2 \cdot sin ^2 \frac{x}{2}</math>, звідки 
 <math>sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - cos x}{2}}</math>. (44)
Аналогічно, поклавши у співвідношенні (37) кут <math>\alpha = \frac{x}{2}</math>, маємо тотожність:
 <math>cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + cos x}{2}}</math>, (45)
(''переконайтесь у цьому самостійно'').
Використаємо співвідношення (44) та (45) для отримання формули половинного аргументу тангенса:
<math>tg \frac{x}{2} = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = \frac{\pm \sqrt{\frac{1 - cos x}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1 + cos x}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{1 - cos x}{1 + cos x}}</math>, тобто 
 <math>tg \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - cos x}{1 + cos x}}</math>. (46)
Використавши до (46) співвідношення (13), отримуємо:
 <math>ctg \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + cos x}{1 - cos x}}</math>. (47)
У співвідношеннях (44)-(47) знак перед радикалом (+ чи -) вибирається у відповідності з тим, в якій четверті знаходиться кут – аргумент <math>\frac{x}{2}</math>. Наприклад,
<math>sin \frac{\pi}{12} = + \sqrt{\frac{1 - cos \frac{\pi}{6}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}</math>.

===Вправи===

42. Обчислити:
# <math>cos \frac{\pi}{12}</math>
# <math>tg \frac{\pi}{12}</math>
# <math>sin \frac{7}{12} \pi</math>
# <math>ctg \frac{5}{12} \pi</math>

43. Довести, що:
# <math>tg \frac{x}{2} = \frac{sin x}{1 + cos x}</math>
# <math>tg \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{sin x}</math>
# <math>ctg \frac{x}{2} = \frac{sin x}{1 - cos x}</math>
# <math>ctg \frac{x}{2} = \frac{1 + cos x}{sin x}</math>


[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій|Наступна]]
[[Категорія:Основи тригонометрії]]