Паралельне перенесення векторів

Паралельне перенесення вектора на малу відстань

Розглянемо многовид в евклідовому просторі і точку $P$ на многовиді з координатами $u^i$, з цієї точки відкладемо дотичний до многовида вектор $𝐚=a^i{𝐫}_i$. Тепер перейдемо до близької точки $\tilde{P}$ на многовиді з координатами ${\tilde{u}}^i=u^i+d{u}^i$. В цій точці вектор $𝐚$ вже, взагалі кажучи, не буде дотичним до многовида, оскільки дотичний до многовида афінний простір повернеться на деяку величину.

Але ми можемо розглянути ортогональну проекцію вектора $𝐚$ на цей новий дотичний афінний простір. Коваріантні координати проекції:

$\widetilde{a_i}=(𝐚\cdot {\widetilde{𝐫}}_i)=(𝐚\cdot ({𝐫}_i+{𝐫}_{ij}d{u}^j))=a_i+(a^s{𝐫}_s\cdot ({\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{𝐫}_k+{𝐛}_{ij}))d{u}^j=a_i+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_{k}d{u}^j$

Отже зміна коваріантних координат $d{a}_i={\tilde{a}}_i-a_i$ паралельно перенесеного вектора обчислюється за формулою:

$(1)d{a}_i={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_{k}d{u}^j$

Тензорний диференціал

Можна вести поняття тензорного диференціала вектора $D{a}_i$ (аналогічно коваріантній похідній) за формулою:

$(2)D{a}_i=d{a}_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_{k}d{u}^j$

Тоді паралельне перенесення вектора можна записати так:

$(3)D{a}_i=0$

Тензорний диференціал (2) можна розглядати для векторів, які визначені тільки в двох близьких точках і ніде інде. Але у випадку, коли вектор $a_i$ визначений у деякій області многовиду довкола точки $P$, то можна розглядати також коваріантну похідну векторного поля $a_i$, маємо:

$(4)D{a}_i=d{a}_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_{k}d{u}^j=({\partial }_j{a}_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k)d{u}^j={\mathrm{\nabla }}_j{a}_{i}d{u}^j$

Як бачимо з формули (4), тензорний диференціал від вектора є дійсно тензором, оскільки є згорткою тензора коваріантної похідної ${\mathrm{\nabla }}_j{a}_i$ і вектора диференціала координат $d{u}^j$.

Користуючись формулою (4) ми можемо поширити тензорний диференціал на тензори довільного рангу.

$D{T}_{j_1{j}_2\cdots }^{i_1{i}_2\cdots }=({\mathrm{\nabla }}_s{T}_{j_1{j}_2\cdots }^{i_1{i}_2\cdots })d{u}^s=$

$d{T}_{j_1{j}_2\cdots }^{i_1{i}_2\cdots }+{\mathrm{\Gamma }}_{sk}^{i_1}{T}_{j_1{j}_2\cdots }^{k{i}_2\cdots }d{u}^s+\cdots -{\mathrm{\Gamma }}_{s{j}_1}^k{T}_{k{j}_2\cdots }^{i_1{i}_2\cdots }d{u}^s-\cdots$

Тензорний диференціал від метричного тензора дорівнює нулю:

$D{g}_{ij}=d{g}_{ij}-{\mathrm{\Gamma }}_{is}^k{g}_{kj}d{u}^s-{\mathrm{\Gamma }}_{js}^k{g}_{ik}d{u}^s=({\mathrm{\nabla }}_s{g}_{ij})d{u}^s=0$

Отже метричний тензор можна вносити і виносити за знак тензорного диференціала. Наприклад для контраваріантних координат паралельно перенесеного вектора маємо:

$D{a}^i=g^{ij}D{a}_j=0$

або аналогічну до (1) формулу:

$(5)D{a}^i=d{a}_i+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{a}^{j}d{u}^k=0$

Звичайно, формулу (5) можна одержати і прямими обчисленнями з формули (1):

$D{a}_i=d(g_{ij}{a}^j)-{\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}{a}^{k}d{u}^j=g_{ij}d{a}^j+(d{g}_{ik}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}d{u}^j)a^k=$

$=g_{ij}d{a}^j+({\partial }_j{g}_{ik}-\frac{1}{2}({\partial }_i{g}_{jk}+{\partial }_j{g}_{ik}-{\partial }_k{g}_{ij}))a^{k}d{u}^j=$

$=g_{ij}{a}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{jk;i}{a}^{k}d{u}^j=g_{ij}(d{a}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{sk}^j{a}^{k}d{u}^s)=g_{ij}D{a}^i=0$

Групова властивість паралельного перенесення

Якщо ми одночасно переносимо паралельно два вектора $a_i$ і $b^i$, (тобто $D{a}_i=0$, $D{b}^i=0$) то їхній скалярний добуток в процесі переносу не змінюється:

$(6)d(a_i{b}^i)=D(a_i{b}^i)=(D{a}_i)b^i+a_i(D{b}^i)=0$

Звідси робимо висновок, що при паралельному перенесенні групи векторів, довжини цих векторів, а також взаємні кути між цими векторами не змінюються.

Паралельне перенесення вздовж кривої

Формула (1) дозволяє обчислити паралельний вектор в одній близькій до $P$ точці $P_2$. Але ми можемо, послідовно застосовуючи формулу (1), перейти до наступної точки $P_3$, близької до попередньої точки $P_2$, тоді до $P_4$ і так далі, рухаючись вздовж деякої кривої.

Якщо на многовиді задано відрізок кривої лінії $u^i=u^i(t)$ з початком в точці $P$, то для знаходження координат паралельно перенесеного вектора із (1) одержуємо таке звичайне диференціальне рівняння:

$(7)\frac{d{a}_i}{dt}={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\dot{u}}^j{a}_k$

з початковими умовами:

$(8)a_i{|}_{t=0}=a_i{|}_P$

Координати перенесеного вектора як функціонал від кривої

Дві точки $P$ і $Q$ многовиду можна сполучити різними кривими. Для визначеності будемо вважати, що параметр $t$ кожної з цих кривих змінюється від нуля в точці $P$ до одиниці в точці $Q$. Розв'язуючи систему рівнянь (7) з початковими умовами (8) для кожної з цих кривих, ми одержимо свій набір чисел $a_i$ в точці $Q$. Тобто числа $a_i$ в точці $Q$ є функціоналом від проведеної кривої.

Дослідимо, в якому випадку цей функціонал буде постійним, незалежним від кривої — лише в цьому випадку ми зможемо говорити про вектор в точці $Q$, який паралельний вектору в точці $P$.

Для того, щоб диференційовний функціонал був константою, необхідно і достатньо щоб скрізь його перша варіація (тобто похідна) дорівнювала нулю.

Розглянемо варіацію $\delta u^i(t)$ кривої, що сполучає точки $P$ і $Q$. На кінцях кривої маємо:

$(9)\delta u^i{|}_{t=0}=\delta u^i{|}_{t=1}=0;\delta a^i{|}_{t=0}=0$

нам треба обчислити $\delta a_i{|}_{t=1}$

Для проведення обчислень буде зручно ввести позначення величин $q_i$:

$(10)q_i=\delta a_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k\delta u^j$

Обчислюємо тензорну похідну цих величин:

$\frac{D{q}_i}{Dt}={\dot{q}}_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{q}_k{\dot{u}}^j=\delta {\dot{a}}_i-\frac{d}{dt}({\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k\delta u^j)-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\dot{u}}^j(\delta a_k-{\mathrm{\Gamma }}_{ks}^p{a}_p\delta u^s)=$

$=\delta ({\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\dot{u}}^j{a}_k)-[(\frac{d}{dt}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k)a_k\delta u^j+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\dot{a}}_k\delta u^j+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k\delta {\dot{u}}^j]-$

$-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\dot{u}}^j\delta a_k+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\mathrm{\Gamma }}_{ks}^p{a}_p\delta u^s=$

$=({\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{is}^k-{\partial }_s{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jp}^k{\mathrm{\Gamma }}_{is}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{sp}^k{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^p)a_k{\dot{u}}^s\delta u^j$

Маємо систему лінійних диференціальних рівнянь відносно невідомих функцій $q_i$:

$(11)\frac{d{q}_i}{dt}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\dot{u}}^j{q}_k=R_{ijs}^k{\dot{u}}^s\delta u^j{a}_k$

з нульовими початковими умовами:

$(12)q_i{|}_{t=0}=0$

Паралельність за нульового тензора Рімана

Якщо тензор Рімана тотожно дорівнює нулю на всіх розглядуваних кривих, то система (10) буде однорідною, і матиме розв'язком тотожний нуль: $q_i(t)=0$. У цьому разі варіація функціонала координат (оскільки згідно з (9) в кінцевій точці $\delta u^j=0$)

$a_i{|}_Q=a_i{|}_{t=1}=(q_i+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k\delta u^j)|=0$

тотожно дорівнює нулю для всіх кривих (всіх аргументах функціонала), тому функціонал паралельного переносу скрізь постійний і не залежить від кривої.

Висновок: якщо в якійсь однозв'язній області многовида (або на всьому многовиді) тензор Рімана тотожно дорівнює нулю, то цій області можна побудувати векторне поле, яке утворене паралельними переносами вектора із якоїсь однієї точки цієї області. Із формули (4) тоді слідує, що тотожно

${\mathrm{\nabla }}_j{a}_i=0$

тобто векторне поле є постійним.

Паралельне перенесення вздовж замкнутого контура

Тепер розглянемо випадок ненульового тензора Рімана. Візьмемо ненульовий вектор $a_i$ в точці $P$ і здійснимо паралельний перенос цього вектора вздовж замкнутого контура. Спробуємо приблизно оцінити, на скільки перенесений вектор відрізняється від оригінального, вважаючи цю різницю малою.

Натягнемо на даний замкнутий контур двомірну поверхню $S$, і в цій поверхні проведемо послідовність все менших контурів, які мають спільну точку $P$ і стягуються в цю точку. Оскільки в формулі (11) величини $q_k$ малі, ми знехтуємо другим доданком в лівій частині формули (11). Приблизно:

$(13)d{q}_i\approx R_{ijs}^{k}d{u}^s\delta u^j{a}_k=R_{ijs}^k{a}_{k}d{\sigma }^{js}$

де $d{\sigma }^{js}$ є елементом площі поверхні між двома сусідніми контурами. Оскільки ми вважаємо зміну вектора $a_k$ малою, то можемо проінтегрувати формулу (13) по всіх смугах між контурами послідовності, тобто по всій двомірній поверхні $S$, винісши $a_k$ за знак інтеграла:

$(14)\mathrm{\Delta }{a}_i\approx (\underset{S}{\int }{R}_{ijs}^{k}d{\sigma }^{js})a_k$

Якщо контур обмежує маленьку приблизно плоску площадку ${\sigma }^{js}$, то в інтегралі формули (14) можна тензор Рімана також винести за знак інтеграла, одержуючи ще простішу наближену формулу:

$(15)\mathrm{\Delta }{a}_i\approx R_{ijs}^k{\sigma }^{js}{a}_k$

Можна також поставити перед собою задачу знайти формулу, точнішу за формулу (13). Ця задача в загальному випадку досить складна, але неважко зрозуміти, що в уточненій формулі буде шукатися не зміна вектора $\mathrm{\Delta }{a}_i$, а ортогональна матриця перетворення векторів $U_i^j$. Дійсно, при паралельному переносі групи векторів скалярні добутки цих векторів зберігаються (формула 6). Тому довільний вектор $a_i$ при паралельному обході контура переходить у вектор ${\tilde{a}}_i$ (у тій же точці, а отже в тій самій системі координат), який знаходиться за формулою:

$(16){\tilde{a}}_i=U_i^j{a}_j$

Ортогональна матриця $U_i^j$ (напевне досить складно) знаходиться як фукціонал, що залежить від контура обходу $u^i=u^i(t)$ і тензора Рімана $R_{ijs}^k$.