Вступ до алгебричної геометрії/Афінна геометрія

Афінна геометрія

Векторний формалізм

Інтуїтивно вектор розуміється як об'єкт, що має величину, напрямок і (необов'язково) точку прикладання. Зачатки векторної лічби з'явилися разом з геометричною моделлю комплексних чисел. Операції з векторами опублікував Гамільтон як частину свого кватерніонної лічби (вектор утворювали уявні компоненти кватерніона). Гамільтон запропонував сам термін вектор (лат. vector, «той що несе») і описав деякі операції векторного аналізу. Цей формалізм використовував Максвелл у своїх працях з електромагнетизму, тим самим привернувши увагу вчених до нового способу лічби.

Векторний простір

Виділимо у лінійному просторі $V$ підпростір $M.$ Для пари елементів $v_1,v_2\in V$ визначмо бінарне відношення $\alpha ,$ яке назвемо порівнянням відносно $M.$ Вважаймо $v_2\alpha v_1$ тоді, коли $v_2-v_1\in M^3,$ тобто коли $v_2=v_1+m,$ де $m\in M.$ Таке порівняння $\alpha$ називається відношенням еквівалентності $\sim$ і має наступні властивості:

• $v\sim v$
• $v_2\sim v_1\Rightarrow v_1\sim v_2$
• $v_2\sim v_1\mathrm{\&}{v}_3\sim v_2\Rightarrow v_3\sim v_1.$

Відношення еквівалентності розшаровує $V$ на класи порівнюваних між собою елементів: кожний клас складається із сукупності таких елементів, котрі є порівнюваними відносно $M$ із яким-небудь одним елементом, який називається представником цього класу. Класи еквівалентності будемо позначати у квадратних дужках, наприклад, клас, утворюваний порівнюваними $v_i$ із представником $v_1$ позначмо через $[v_1]:$

$[v_1]=\{v_i\in V|v_i\sim v_1\}.$

Класи мають наступні властивості:

• $v_3\in [v_1]\Rightarrow [v_3]=[v_1];$
• $[v_1]\cap [v_2]\ne \mathrm{\varnothing }\Rightarrow [v_1]=[v_2].$

На множині усіх класів уведімо дві алгебричні операції - додавання й множення на скаляр, вважаючи

• $[v_1]+[v_2]=[v_1+v_2];$
• $a[v_1]=[a{v}_1].$

Визначені таким чином операції є незалежними від вибору представників класів. Зокрема, якщо $v_i\in [v_1],w_i\in [w_1],$ то $v_i=v_1+a(a\in M);w_i=w_1+b(b\in M).$ Відповідно, $v_i+w_i=(v_1+w_1)+(a+b),$ де $(a+b)\in M^3.$ Відповідно, $v_i+w_i\sim v_1+w_1$ та $[v_i+w_i]=[v_1+w_1].$ Тому $[v_i]+[w_i]=[v_i+w_i]=[v_1+w_1]=[v_1]+[w_1].$

Ці операції задовільняють усім вимогам, щоб фактормножина була лінійним простором над полем $ℝ.$ Ця множина називається фактопростором по підпростору $M$ й позначається $V/M.$ Нульовим елементом цього простору є клас $[\theta ]=\{v|v\sim \theta \}=M.$ Таким чином, відображення $f:v\to [v]$ є лінійним відображенням простору $V$ на факторпростір $V/M.$ Таке відображення називається канонічною проекцією.

${\displaystyle }$

Евклідова геометрія

Лінійний простір $(V,X)$ називається евклідовим простором, якщо у векторному просторі $V$ визначений скалярний добуток, тобто $V$ є евклідовим векторним простором. Пара $(V,X)$ є $n$-вимірним евклідовим простором, якщо вектори (елементи множини $V$) та точки (елементи множини $X$) задовільняють наступним аксіомам.

(Група аксіом 1) Аксіоми додавання векторів.

1. Додавання векторів є комутативним, тобто для будь-яких векторів $v_1,v_2\in V$ справджується рівність $v_1+v_2=v_2+v_1.$

2. Додавання векторів є асоціативним, тобто для будь-яких векторів $v_1,v_2,v_3\in V$ справджується рівність $(v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3).$

3. У множині $V$ існує такий елемент $\theta ,$ який називається нульовим вектором (або просто нулем), що для будь-якого вектора $v\in V$ справджується рівність $v+\theta =v.$

4. Для будь-якого елемента $v\in V$ знайдеться такий елемент $-v,$ який називається протилежним до вектора $v,$ що $v+(-v)=\theta .$

(Група аксіом 2) Аксіоми множення вектора на число.

1. Множення векторів на числа є асоціативним, тобто для будь-якого вектора $v\in V$ та будь-яких дійсних чисел $a,b\in ℝ$ справджується рівність $a(bv)=(ab)v.$

2. Множення векторів на числа є дистрибутивним по відношенню до чисел, тобто для будь-якого вектора $v\in V$ та довільних дійсних чисел $a,b\in ℝ$ справджується рівність $(a+b)v=av+bv.$

3. Множення векторів на числа є дистрибутивним по відношенню до векторів, тобто для довільних векторів $v_1,v_2\in V$ та довільного дійсного числа $a\in ℝ$ справджується рівність $a(v_1+v_2)=a{v}_1+a{v}_2.$

4. Для будь-якого вектора $v\in V$ справджується рівність $e\cdot v=v,$ де $e$ - ідемпотент (одиниця).

(Група аксіом 3). Аксіоми розмірності.

1. У векторному просторі $V$ можна знайти $n$ лінійно незалежних векторів. Це значить, що у будь-якому $n$-вимірному векторному просторі можна віднайти базис.

2. Будь-які $n+1$ векторів векторного простору $V$ є лінійно незалежними.

Векторний простір (за деякого значення $n\ge 0$), який задовільняє цим аксіомам, називається $n$-вимірним векторним простором (або векторним простором розмірності $n,$ символічно $\dim V$).

(Група аксіом 4) Аксіоми скалярного добутку.

1. Скалярний добуток є комутативним, тобто для будь-яких векторів $v_1$ та $v_2$ справджується співвідношення $v_1{v}_2=v_2{v}_1.$

2. Скалярний добуток є дистрибутивним, тобто для будь-яких трьох векторів $v_1,v_2,v_3\in V$ справджується рівність $v_1(v_2+v_3)=v_1{v}_2+v_1{v}_3.$

3. Для будь-яких векторів $v_1,v_2\in V$ та будь-якого дійсного числа $a\in ℝ$ справджується рівність $(a{v}_1)v_2=a(v_1{v}_2).$

4. Для будь-якого відмінного від нуля вектора $v\in V$ скалярний добуток $vv$ цього вектора на себе (тобто скалярний квадрат $v^2$) є додатним: $v^2>0$ за $v\ne 0.$

Множина $V,$ яка задовільняє цим аксіомам, називається $n$-вимірним евклідовим векторним простором.

(Група аксіом 5) Аксіоми проведення векторів.

1. Для будь-якої точки $x_1\in X$ та будь-якого вектора $v\in V$ знайдеться точка $x_2\in X,$ що $\overrightarrow{x_1{x}_2}=v$ (знаходження такої точки називається проведенням вектора $v$ від точки $x_1$).

2. Для будь-яких трьох точок $x_1,x_2,x_3\in X$ справджується співвідношення $\overrightarrow{x_1{x}_2}+\overrightarrow{x_2{x}_3}+\overrightarrow{x_3{x}_1}=0.$

3. Якщо для точок $x_1,x_2\in X$ справджується рівність $\overrightarrow{x_1{x}_2}=0,$ то точки $x_1$ та $x_2$ співпадають.

Пара $(V,X)$ називається також $n$-вимірним афінним простором, якщо будь-яким двом точкам $x_1,x_2\in X$ поставлений у відповідність деякий вектор, який позначається $\overrightarrow{x_1{x}_2}$ (і який належить до векторного простору $V$), за виконання п'ятої групи аксіом.

Таким чином, евклідовий простір - це скінченновимірний афінний (лінійний) простір $V$ над полем $ℝ$ дійсних чисел, у якому для кожної пари векторів $v_1,v_2$ визначений скалярний добуток, тобто $V\times V\to ℝ$ із наступними властивостями:

• $(v_1+v_2,v_3)=(v_1,v_3)+(v_2,v_3);$
• $(a\cdot v_1,v_2)=a\cdot (v_1,v_2),a\in ℝ;$
• $(v_1,a\cdot v_2)=a\cdot (v_1,v_2),a\in ℝ;$
• $(v_1,v_2)=(v_2,v_1);$
• $v\ne \theta \Rightarrow (v,v)>0.$

Такий простір розмірності $n$ позначається ${ℝ}^n.$ Евклідовий простір розмірності $1$ геометрично представляється як звичайна пряма лінія (числова пряма) ${ℝ}^1.$

У просторі ${ℝ}^n$ уводиться норма (довжина) вектора $v:$

$||v||=\sqrt{(v,v)}.$

Найважливіші властивості евклідових просторів:

• $|(v_1,v_2)|\le ||v_1||\cdot ||v_2||$ - нерівність Коші-Буняковського;
• $||v_1+v_2||\le ||v_1||+||v_2||$ - нерівність трикутника;
• $||v_1+v_2|{|}^2+||v_1-v_2|{|}^2=2\cdot (||v_1|{|}^2+||v_2|{|}^2)$ - закон паралелограма.

Топологія евклідового простору

Куля утворюється обертанням напівдиску навколо його нерухомого діаметру. Сфера - це поверхня замкнутої кулі, тобто сукупність усіх граничних точок кулі, які знаходяться на відстані $r$ від точки $O$. Відкрита куля не містить граничних точок, тобто її не огортує сфера. Іншими словами, відкрита куля - це сукупність усіх точок, зосереджених у $r-\epsilon .$

Нехай $O$ - довільна точка евклідового простору $(V,X)$ та $r$ - додатне число. Множина усіх точок $x\in X,$ які задовільняють умові $\rho (O,x)<r,$ називається відкритою кулею із центром $O$ й радіусом $r.$ Будемо позначати відкриту кулю $U_r(O).$ Нехай $M$ - дектра множина у топологічному просторі $X.$ Точка $O\in X$ називається внутрішньою точкою множини $M,$ якщо існує таке додатне число $r,$ за якого $U_r(O)\subset H.$

Множина $G\in X$ називається відкритою у просторі $X,$ якщо кожна точка $g_i\in G$ є внутрішньою точкою цією множини, тобто $g_i\in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(G).$ Наприклад, будь-яка куля $U_r(O)$ у $X$ є відкритою множиною. Справді, нехай $g_1\in U_r(O),$ тобто $\rho (O,g_1)<r.$ Вважаймо $r^{\prime }=r-\rho (O,g_1).$ Число $r^{\prime }$ є додатним, відтак можна розглянути кулю $U_{r^{\prime }}(g_1)$ із центром у точці $g_1$ та радіусом $r^{\prime }.$ Для довільної точки $g_2,$ яка належить цій кулі, тобто $g_2\in U_r(g_1),$ маємо $\rho (g_1,g_2)<r^{\prime },$ відтак:

$\rho (O,g_2)\le \rho (O,g_1)+\rho (g_1,g_2)<\rho (O,g_1)+r^{\prime }=\rho (O,g_1)+(r-\rho (O,g_1))=r.$

Таким чином, $\rho (O,g_2)<r,$ тобто $g_2\in U_r(O).$ Цим самим ми переконалися у включенні $U_{r^{\prime }}(g_1)\subset U_r(O),$ яке означає, що куля $U_r(O)$ є відкритою множиною.

Множина $F\subset X$ називається замкнутою, якщо її доповнення $\overline{F}=X\setminus F$ (тобто множина усіх точок простору $X,$ які не містяться у $F$) є відкритою множиною. Наприклад, куля із центром $O$ й радіусом $r,$ тобто множина усіх точок $x\in X,$ які задовільняють умові $\rho (O,x)\le r,$ є замкнутою множиною. Справді, доповненням цієї замкнутої кулі є множина $G$ усіх точок $g_i\in X,$ які задовільняють умові $\rho (O,g_i)>r.$ Число $r^{\prime }=\rho (O,g_i)-r$ є додатним, тому можна розглянути кулю $U_{r^{\prime }}(g_i).$ Якщо $x_i\in U_{r^{\prime }}(g_i),$ тобто $\rho (g_i,x_i)<r^{\prime },$ то $\rho (O,x_i)=\rho (O,x_i)+\rho (x_i,g_i)-\rho (x_i,g_i)\ge \rho (O,g_i)-\rho (x_i,g_i)=\rho (O,g_i)-\rho (g_i,x_i)>\rho (O,g_i)-r^{\prime }=\rho (O,g_i)-(\rho (O,g_i)-r)=r,$

тобто $\rho (O,x_i)>r,$ і тому $x_i\in G.$ Таким чином, в силу включення $U_{r^{\prime }}(g_i)\subset G$ множина $G$ є відкритою.

Нехай $M$ - множина простору $X.$ Розгляньмо усі замкнуті множини, що містять $M;$ через $\overline{M}$ позначмо перетин усіх цих замкнутих множин. Об'єднання будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною та перетин скіченного числа відкритих множин є відкритою множиною; перетин будь-якого числа замкнутих множин є замкнутою множиною та об'єднання скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Відтак, множина $\overline{M}$ є замкнутою, прочому вона є найменшою замкнутою множиною, що містить $M$ (тобто, якщо $F$ є замкнутою множиною, яка містить $H,$ то $F\subset \overline{H}$). Множина $\overline{M}$ називається замиканням множини $M.$

Нехай $M\subset X.$ Точка $x\in X$ лише у тому випадку належить $\overline{M},$ якщо за будь-якого $r>0$ куля $U_r(x)$ містить хоча б одну точку множини $M.$ Точка $x\in X$ називається граничною точкою множини $M\subset X,$ якщо за будь-якого $r>0$ куля $U_r(x)$ містить як точки, що належать $M,$ так й точки, які не належать цій множині. Множина, яка складається із усіх граничних точок множини $M,$ називається границею множини $M$ й позначається $\partial M.$ Таким чином, $\partial M\subset \overline{M}.$ Так само $\partial M\subset \overline{X\setminus M},$ де $X\setminus M$ - доповнення множини $M.$ Зокрема, $\partial M\subset \overline{M}\cap \overline{X\setminus M}.$ Справедливим є й зворотне вкючення, $\partial M=\overline{M}\cap \overline{X\setminus H}.$ Операція замикання означає приєднання до множини усіх її граничних точок: $\overline{M}=M\cup \partial M.$ У термінах границі відкриті та закмкнуті множини можна визначити наступним чином: множина замкнута, якщо вона містить свою границю, $M\subset \partial M;$ множина є відкритою, якщо вона не має спільних точок із своєю границею, $M\cap \partial M=\mathrm{\varnothing }.$

Пригадаймо також поняття неперервного відображення. Нехай $(V_1,X)$ та $(V_2,X)$ - евклідові простори та $M\subset X.$ Припустімо, що задане відображення $f:M\to Y,$ тобто кожній точці $A\subset M$ поставлена у відповідність деяка точка $f(A)$ простору $Y.$ Множина $M$ є областю визначення відображення $f,$ тобто $M=D(f).$ Відображення $f:M\to Y$ називається неперервним, якщо для кожної точки $A\in M$ й кожного числа $\epsilon >0$ можна підібрати таке число $\delta >0,$ що $f(M\cap U_{\delta }(A))\subset U_{\epsilon }(f(A)).$ Це значить, що якщо точка $B\in M$ відстає від точки $A$ менш ніж на $\delta$ (тобто $|A-B|<\delta ,B\in M$), то образ $f(B)$ точки $B$ відстає від $f(A)$ менше, ніж на $\epsilon ,$ тобто $|f(A)-f(B)|<\epsilon .$ Відзначмо, що число $\delta$ залежить від точки $A$ та від числа $\epsilon ,$ тобто $\delta =\delta (A,\epsilon ).$

Якщо простір $Y$ співпадає із числовою прямою $C,$ то неперервне відображення $f:M\to C$ називається неперервною функцією.