Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування

Обернені тригонометричні функції

Нехай про кут $ϕ$ відомо лише те, що його синус дорівнює $\frac{1}{2}$ :

 $\sin ϕ = \frac{1}{2}$ .

Чи можемо ми знайти цей кут? Як відомо, $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Тому можливо, що $ϕ = \frac{π}{6}$ . Разом з тим в силу періодичності синуса $\sin (\frac{π}{6} + 2 π) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Тому не виключена можливість, що $ϕ = \frac{π}{6} + 2 π$ . Взагалі, яке б не було $n \in ℤ$ , $\sin (\frac{π}{6} + 2 π n) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Отже, шуканим кутом $ϕ$ може бути будь-який з кутів $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{6} \pm 2 π$ , $\frac{π}{6} \pm 4 π$ , $\frac{π}{6} \pm 6 π$ і т.д. Таким чином, за означенням свого синуса кут визначається неоднозначно.
Функція, обернена до функції $y = \sin x$ , заданої на кожному з проміжків $[\frac{2 k - 1}{2} π; \frac{2 k + 1}{2} π]$ , $k \in ℤ$ , називається арксинусом і позначається $y = A r c s i n x$ .

Позначення $y = A r c s i n x$ від латинського arcus cuius sinus x est і означає, що у є величиною такого кута в радіанах, синус якого дорівнює $x$ . Про арксинус як функцію обернену до функції синус дає змогу говорити теорема про існування і неперервність оберненої функції. Згідно неї, функція $f (x)$ має обернену функцію на проміжку, якщо вона неперервна і монотонна на цьому проміжку. Дійсно, функція $y = \sin x$ неперервна на всій області визначення і монотонна на кожному з проміжків $[\frac{2 k - 1}{2} π; \frac{2 k + 1}{2} π]$ , $k \in ℤ$ . Крім того, на кожному з цих проміжків функція $y = \sin x$ пробігає всю множину значень (від -1 до 1). Саме тому ми можемо говорити про функцію $y = A r c s i n x$ як обернену до функції $y = \sin x$ .
Найчастіше використовують функцію $y = A r c s i n x$ при $k = 0$ . Тоді говорять про головне значення арксинуса, яке позначають $y = a r c s i n x$ . Як відомо, графіки прямої та оберненої функції симетричні відносно прямої $y = x$ . Це дає змогу легко зобразити графік функції $y = a r c s i n x$ (див. малюнок)
Дамо аналогічні означення інших обернених тригонометричних функцій.
Функція, обернена до функції $y = \cos x$ , заданої на кожному з проміжків $[k π; (k + 1) π]$ , $k \in (Z)$ , називається арккосинусом і позначається $y = A r c c o s x$ .

Функція, обернена до функції

$y = t g x$

, заданої на кожному з проміжків

$[\frac{2 k - 1}{2} π; \frac{2 k + 1}{2} π]$

,

$k \in (Z)$

, називається арктангенсом і позначається

$y = A r c t g x$

.

Функція, обернена до функції $y = c t g x$ , заданої на кожному з проміжків $[k π; (k + 1) π]$ , $k \in (Z)$ , називається арккотангенсом і позначається $y = A r c c t g x$ .
Так само, як і у випадку $y = A r c s i n x$ , функції $y = A r c c o s x$ , $y = A r c t g x$ , $y = A r c c t g x$ монотонні і існують для кожного $k$ згідно теореми про існування і неперервність оберненої функції.
При $k = 0$ можемо говорити про головні значення обернених тригонометричних функцій:

$y = a r c c o s x$ з множиною значень $[0; π]$ ;
$y = a r c t g x$ з множиною значень $[\frac{- π}{2}; \frac{π}{2}]$ ;
$y = a r c c t g x$ з множиною значень $[0; π]$ .

Графіки функцій $y = a r c c o s x$ , $y = a r c t g x$ , $y = a r c c t g x$ зображені на малюнках.

Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування

Найпростішими тригонометричними рівняннями ми будемо називати рівняння вигляду $\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $t g x = a$ , $c t g x = a$ . Розглянемо, які корені мають ці рівняння.

Розглянемо рівняння $\sin x = a$ .
Кожен корінь рівняння $\sin x = a$ можна розглядати як абсцису якоїсь точки перетину синусоїди $y = \sin x$ з прямою $y = a$ і, навпаки, абсциса кожної такої точки перетину є одним з коренів даного рівняння.
При $| a | > 1$ синусоїда $y = \sin x$ не перетинається з прямою $y = a$ . У цьому випадку рівняння $\sin x = a$ коренів не має.
Нехай $0 < a < 1$ . Тоді на проміжку $0 \leq x \leq π$ маємо дві точки перетину $A$ і $B$ .
Точка $A$ попадає і на проміжок $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ . Тому її абсциса дорівнює $x_{1} = a r c s i n a$ . Що ж до точки $B$ , то її абсциса, як легко побачити з малюнка, дорівнює $x_{2} = π - a r c s i n a$ . Всі інші точки перетину синусоїди $y = \sin x$ з прямою $y = a$ ми розіб’ємо на дві групи:
$. . ., A_{- 2}, A_{- 1}, A_{1}, A_{2}, . . .$ та $. . ., B_{- 2}, B_{- 1}, B_{1}, B_{2}, . . .$ .
Точки першої групи віддалені від $A$ на відстані, кратні $2 π$ , і тому мають абсциси $a r c s i n a + 2 n π$ , $n \in ℤ$ . Точки другої групи віддалені від точки $B$ на відстані, кратні $2 π$ , і тому мають абсциси $π - a r c s i n a + 2 k π = - a r c s i n a + (2 k + 1) π$ , $k \in ℤ$ . Таким чином, рівняння $\sin x = a$ має дві групи коренів. Легко зрозуміти, що обидві ці групи можна подати однією формулою:

 $x = {(- 1)}^{m} a r c s i n a + m π$  ,  $m \in ℤ$ (63)

До такого ж результату можна прийти і тоді, коли $- 1 < a < 0$ . Ми не будемо докладно розбирати цей випадок, а пропонуємо зробити це самостійно.
При $a = 0$ рівняння $\sin x = a$ має корені

 $x = m π$  ,  $m \in ℤ$ . (64)

Такий самий результат дає і формула (63) при $a = 0$ .
При $a = 1$ коренями рівняння $\sin x = a$ будуть числа

 $x = \frac{π}{2} + 2 \cdot k π$  ,  $k \in ℤ$ . (65)

Формула (63) охоплює і цей випадок. Справді, поклавши в ній $a = 1$ і врахувавши, що $a r c s i n 1 = \frac{π}{2}$ , дістаємо:

 ${(- 1)}^{m} a r c s i n 1 + m π = {(- 1)}^{m} \frac{π}{2} + m π$  ,  $m \in ℤ$ .

Якщо $m$ – парне ( $m = 2 k$ ), то ${(- 1)}^{m} a r c s i n 1 + m π = \frac{π}{2} + 2 \cdot k π$ , $m, k \in ℤ$ . Якщо $m$ – непарне ( $m = 2 k + 1$ ), то ${(- 1)}^{m} a r c s i n 1 + m π = - \frac{π}{2} + 2 \cdot k π = \frac{π}{2} + 2 \cdot k π$ , $m, k \in ℤ$ . І той, і другий випадок враховується формулою (65).
Якщо $a = - 1$ , то коренями рівняння $\sin x = a$ будуть числа:

 $x = - \frac{π}{2} + 2 \cdot k π$  ,  $k \in ℤ$ . (66)

Формула (63) дає той же результат.
Формули коренів рівнянь $\cos x = a$ , $t g x = a$ , $c t g x = a$ шукаються аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Ми обмежимось тим, що занесемо корені найпростіших тригонометричних рівнянь до таблиці( $n$ – довільне ціле число):

Рівняння	Обмеження	Формули
$\sin x = a$	$\| a \| \leq 1$	$x = {(- 1)}^{m} a r c s i n a + m π$ , $m \in ℤ$
$\cos x = a$	$\| a \| \leq 1$	$x = \pm a r c c o s a + 2 \cdot m π$ , $m \in ℤ$
$t g x = a$	немає	$x = a r c t g a + m π$ , $m \in ℤ$
$c t g x = a$	немає	$x = a r c c t g a + m π$ , $m \in ℤ$

Вправи

Розв’язати рівняння.

74. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

75. $\cos x = \frac{1}{2}$

76. $t g x = 1$

77. $c t g x = \sqrt{3}$

78. $t g x + c t g x = 2$

79. Розв’язати вправи 74-75 за допомогою тригонометричного кола.

80. Розв’язати вправу 76 за допомогою лінії тангенсів.

Зміст Наступна

Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування