Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Основні означення та позначення

Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу:

$\mathrm{\forall }$ - квантор загальності, вживається для заміни слів “для будь-якого”;

$\mathrm{\exists }$ - квантор існування, вживається для заміни слів “існує”;

$\mathrm{\exists }!$ - „існує єдиний”;

$\Rightarrow$ - символ імплікації, запис означає: “якщо $A$, то $B$”;

$\iff$ - символ еквівалентності, запис $A\iff B$ , означає одночасне виконання $A\Rightarrow B$ і $B\Rightarrow A$ , або для того, щоб $A$ необхідно та достатньо, щоб $B$ ;

$\vee$ - символ диз’юнкції, запис $A\vee B$ , означає $A$ або $B$ ( не в строгому розумінні);

$\wedge$ - символ кон'юнкції, запис $A\wedge B$ , означає $A$ і $B$;

$\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}$( $\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{\iff }$) - дорівнює за означенням (визначається за означенням);

$\mathbb{N}$ - множина натуральних чисел;

$\mathbb{Z}$ - множина цілих чисел;

$\mathbb{Q}$ - множина раціональних чисел;

$ℝ$- множина дійсних чисел;

$ℂ$- множина комплексних чисел;

${𝕏}^{+}$ ( ${𝕏}^{-}$ ) - додавання до значків

Більшості з нас добре відомий „парадокс Рассела”, що пов’язаний як раз з множинами. Нагадаємо його: розглянемо множину усіх множин. Нехай тоді для множини $M$ запис $P(M)$ означає, що $M$ не містить себе в якості елемента. Далі розглянемо сукупність $K=M|P(M)$ . Якщо $K$ - множина, то істинно або $P(K)$ , або його заперечення. Але це суперечить побудові сукупності $K$ . Дійсно, якщо $P(K)$ - вірно, тобто $K$ не містить себе в якості елемента, то воно повинно міститись у $K$, згідно визначенню сукупності $K$, а тому є вірним також і заперечення $K$ . Таким чином ми одержали суперечність, точніше парадокс. До цього парадоксу призводить наївне визначення поняття множини, як сукупність будь-чого. В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми углиблятися у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх підмножин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.

Поняття функції

Під $(x,y)$ будемо позначати впорядковану пару, основною (визначальною) властивістю якої є: $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\iff (x_1=x_2)\wedge (y_1=y_2)$ . Елемент $x$ при цьому називається першою координатою (компонентою), а елемент $y$ - другою. Аналогічно визначається кортеж $(x_1,x_2,...,x_n)$ , що складається з $n$ координат.

Декартовим добутком множин $X$ та $Y$ називається множина

$X\times Y\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{(x,y)|x\in X\wedge y\in Y\}$.

Так само декартовим добутком $n$ множин $X_1,X_2,...,X_n$ називається множина $X_1\times X_2\times ...\times X_n$ . Якщо множини $X,Y$ співпадають ( ), то їх декартів добуток позначається як ( ).

Множина $\mathrm{\Gamma }$ називається бінарним відношенням між елементами множин $X$ та $Y$, якщо $\mathrm{\Gamma }\subset X\times Y$.

Упорядкована трійка множин $(X,Y,\mathrm{\Gamma })$ називається відображенням (або функцією) з множини $X$ в множину $Y$ , якщо $\mathrm{\Gamma }$ є функціональним бінарним відношенням між елементами множин $X$ та $Y$ . При цьому множина $X$ називається областю відправлення, $Y$ - областю прибуття, а $\mathrm{\Gamma }$ - графіком відображення.

Перша (друга) проекція графіка відображення $f$ називається областю або множиною визначення (областю або множиною значень) відображення $f$ та позначається $D_f(E_f)$ .

Числові послідовності

Теорема 5. (Збіжність неспадної послідовності).

Нехай послідовність $(x_n)$ неспадна і $\sup x_n=a\in \overline{ℝ}$ . Тоді $\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ .

Наслідок 2. теорема Вейєрштрасса.

Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.

Критерій Коші, теореми Коші та Штольца

Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Математичний аналіз/Інтеграл Рімана

Коротка енциклопедиція з прикладної математики

Blender/Стартовий посібник (український інтерфейс)