Астрономія/Акреційні диски

Багато астрономічних джерел описуються у рамках моделі дискової акреції розжареної плазми на компактний об'єкт. Найбільш поширена модель тонкого альфа-диску. Поверхнева густина $\mathrm{\Sigma }$ описується формулою (1) $\mathrm{\Sigma }=\rho H$ (1)

де $H$ - товщина диску. Масу речовини яка проходить через радіус $r$ можна розрахувати з виразу (2)

$\dot{m}=2\pi r{V}_r\mathrm{\Sigma }$ (2)

швидкість газу $V_{\phi }$ в акреційному диску дорівнює:

$V_{\phi }=\mathrm{\Omega }r$ (3)

сила $F$ яка діє на тіло у цьому полі:

$F=\eta S\frac{d{V}_{\phi }}{dr}=\eta 2\pi rHr\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}$ (4)

в'язкість $\nu$ визначається як відношення (5)

$\nu =\frac{\eta }{\phi }$ (5)
$\eta H=\nu \rho H=\nu \mathrm{\Sigma }$ (6)

зміна швидкості в залежності від відстані до центру можна знайти з виразу (7)

$\frac{d{V}_{\phi }}{dr}=\frac{d}{dr}(\mathrm{\Omega }r)=\mathrm{\Omega }+r\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial r}$ (7)

момент сили $M$:

$M=Fr=2\pi r^3\eta H\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}=2\pi r^3\nu \mathrm{\Sigma }\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}$ (8)

момент імпульсу $L$:

$L=m{V}_{\phi }r$ (9)

підставляючи у вираз (9) масу $m$ визначену у виразі (2), отримуємо ось таке співвідношення для моменту сили:

$M=\frac{dL}{dt}=\dot{m}{V}_{\phi }r=2\pi r^3\mathrm{\Sigma }{V}_r\mathrm{\Omega }$ (10)
$\frac{dM}{dr}=2\pi \frac{d}{dr}(r^3\mathrm{\Sigma }{V}_r\mathrm{\Omega })$ (11)
$M=2\pi r^3\mathrm{\Sigma }{V}_r\mathrm{\Omega }+C$ (12)

враховуючи формулу (8) маємо:

$V\mathrm{\Sigma }\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}=\mathrm{\Sigma }{V}_r\mathrm{\Omega }+\frac{C}{2\pi r^3}$ (13)

константа $C$, може бути знайдена шляхом узгодження швидкості обертання зірки до швидкості обертання на внутрішному краю акреційного диску

при $r=r_{*},$ $M=0:$ 
$C=-2\pi r^3\mathrm{\Sigma }{V}_r\mathrm{\Omega }$ де  $\mathrm{\Omega }=\sqrt{GM{r}^3}$ (14)

беручи до уваги, що маса $m=const$ на любій відстані:

$C=-\dot{m}\sqrt{G{M}_{*}{r}_{*}}$ (15)

константа $C$ являє собою швидкість передачі кутового моменту в граничний шар. У самому ж диску швидкості близькі до Кеплерівських, тому підставляючи (2) і (15) у формулу (13) отримуємо:

$\nu \mathrm{\Sigma }=\frac{\dot{m}}{3\pi }(1-\sqrt{\frac{r_{*}}{r}})$ (16)

наступним результатом буде отримання швидкості дисипації енергії в'язких сил що діють на диск.

$-\frac{dE}{dt}=\nu \sigma r^2(\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}{)}^2=\frac{G\dot{m}{m}_{*}}{4\pi r^3}(1-\sqrt{\frac{r_{*}}{r}})$ (17)

в стаціонарному стані, ця теплова енергія розсіюється у вигляді випромінювання, тому світність диску можна знайти шляхом інтегрування швидкості розсіювання тепла:

$L=\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(-\frac{dE}{dt})2\pi rdr=\frac{G\dot{m}{M}_{*}}{2r_{*}}$ (18)

в'язкість $\nu$ пропорційна швидкості звуку $C_s$, і визначається як:

$\nu =\alpha C_{s}H\Rightarrow \eta =\alpha C_s\rho H\Rightarrow F=\alpha C_s\rho HS\frac{d\nu }{dr}\Rightarrow \frac{dV}{dt}=C_s\frac{dV}{dr}$ (19)

Виведення з (17)

$S=Hdtr\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}dS,dV=drS,F=\eta S\frac{d{V}_{\phi }}{dr},\mathrm{△}E=\frac{Fdtr\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}dr}{\mathrm{△}V}=\frac{Fdtd{V}_{\phi }}{\mathrm{△}V},\frac{dE}{dt}=\eta r^2\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr},\frac{d{V}_{\phi }}{dr}=\eta (\frac{d{V}_{\phi }}{dr}{)}^2=\eta r^2(\frac{d\mathrm{\Omega }}{dr}{)}^2$ (20)