Основні числові системи/Ірраціональні числа

Шаблон:Вікіпедія Найновіші відкриття встановили, що ще давні вавилоняни знали про існування ірраціональностей. А у "Началах" Евкліда подається доказ їх існування. Цей доказ виходить з такої основної властивості сумірних й несумірних величин: сумірні величини відносяться між собою, як декотрі (раціональні) числа, а несумірні величини не можуть відноситися між собою як числа. Справді, коли величини $a$ та $b$ сумірні, то вони мають спільну міру. Нехай ця міра міститься у першій величині три рази, а у другій п'ять, тоді $\frac{a}{b}=3:5.$

Якщо б несумірні величини відносилися як числа, то це означало б, що вони мають спільну мір. Евклід у дев'ятій теоремі книги встановлює таку умову несумірних відрізків: "Квадрати, які відносяться між собою, як квадратні числа, мають сторони по довжині сумірні, а квадрати, які не відносяться між собою, як декотрі числа, мають сторони за довжиною несумірні".

Припустімо, що діагональ $d$ та сторона $a$ квадрата є сумірними, тобто $\frac{d}{a}=\frac{p}{q},$ де $p$ та $q$ є взаємно простими числами. Тоді $\frac{d^2}{a^2}=\frac{p^2}{q^2},$ але $d^2=2a^2,$ тоді $\frac{2a^2}{a^2}=\frac{p^2}{q^2},$ тобто число $p$ є парним. Нехай $p=2k,$ тоді $p^2=4k^2,$ або $2q^2=4k^2,q^2=2k^2,$ тобто $q^2$ та $p$ числа парні, що суперечить умові про те, що числа $p$ та $q$ є взаємно простими. Звідси висновок: відрізки $d$ та $a$ є несумірними.

Арифметичний корінь

Арифметичний корінь - невід'ємне значення кореня парного або непарного степеня з невід'ємного числа. Наприклад, коренем з числа $a,$ формально $\sqrt{a},$ називається таке число $b$, квадрат якого дорівнює $a,$ тобто $b^2=a.$ Наприклад, для числа 25 квадратними коренями є числа $5$ та $-5,$ бо $5^2=25$ та $(-5{)}^2=25.$ Таким чином, для будь-якого додатного числа існує два корені (які є протилежними числами); вважають, що $\sqrt{0}=0;$ для від'ємних чисел квадратних коренів немає.

Дія вилучення квадратного кореня може розумітися як дія, зворотна до піднесення до степеня (розуміючи під дією вилучення квадратного кореня не збільшення показника степеня, а його зменшення, необхідно визнати, що позначення цієї дії показником $\frac{1}{n}$ достатньо ясно виражає поняття "вилучення квадратного кореня"). Знак $[\sqrt[n]{}],$ уведенй К.Рудольфом, є аналогічним до позначення С.Cтевіна $(\frac{1}{n}).$

При цьому справедливими є наступні рівності:

• $\sqrt{x}=y,$ якщо $y^2=x$ та $y\ge 0$;
• $(\sqrt{x}{)}^2=x$;
• $\sqrt{x^2}=|x|.$

Властивості квадратного кореня:

• $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y},$ якщо $x\ge 0$ та $y\ge 0$;
• $\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}};$
• $\sqrt{x^{2n}}=|x^n|.$

Корінь степені $n,$ де $n\in \mathbb{N},$ з числа $x$ є число, яке у степені $n$ дорівнює $x.$ При цьому корінь другого степеня називають квадратним коренем, а корінь третього степеня - кубічним коренем. Зокрема, коренем четвертого степеня з числа $16$ є числа $-2$ та $2,$ оскільки $(-2{)}^4=16$ та $2^4=16.$ Кубічний корінь з числа $-27$ дорівнює $-3,$ оскільки $(-3{)}^3=-27.$ Таким чином, у випадку, якщо $n$ є непарним натуральним числом, то існує лише один корінь степеня $n$ з довільного числа $x.$

Арифметичним коренем степені $n$ з невід'ємного числа $x$ є невід'ємне число, яке у степені $n$ дорівнює $x.$ Арифметичний корінь степені $n$ позначають $\sqrt[n]{x}.$ У виппадку, якщо $n$ - непарне число, то запис $\sqrt[n]{x}$ використовується й для від'ємних значень $x$ (такий корінь не є арифметичним).

Для арифметичного кореня справджуються наступні рівності:

• $\sqrt[n]{x}=y,$ якщо $y^n=x$ та $y\ge 0$;
• $(\sqrt[n]{x}{)}^n=x$;
• ${\sqrt[n]{x}}^n=|x|.$

Властивості арифметичного кореня:

• $\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y},$ якщо $x\ge 0$ та $y\ge 0$
• $\sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}},$ якщо $x\ge 0$ та $y>0$;
• $\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x}{)}^m,$ якщо $x>0$;
• $\sqrt[m\cdot n]{x^m}=\sqrt[n]{x},$ якщо $x\ge 0,$ а $m$ та $n$ є натуральними числами $n>1$ та $m>1$;
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[m\cdot n]{x},$ якщо $x\ge 0,$ a $m>1$ та $n>1$ є натуральними числами.