Прості обчислення диференціальної геометрії

Наведені нижче формули просто виводяться, і їх треба мати під рукою при виконанні складних обчислень диференціальної геометрії.

Формули

Добуток метричного тензора на обернену матрицю є одиничною матрицею ${\delta }_j^i$:

$(1)g_{ik}{g}^{kj}={\delta }_i^j$

Згортка метричного тензора дорівнює числу $n$ — розмірності многовида.

$(2)g^{ij}{g}_{ij}=n$

У чотирьох нижченаведених формулах $\delta$ означає варіацію. Замість $\delta$ в ці формули можна підставити також частинну похідну ${\partial }_s$ по будь-якій координаті.

$(3)\delta g_{ij}=-g_{ik}{g}_{jp}\delta g^{kp}$

$(4)\delta g^{ij}=-g^{ik}{g}^{jp}\delta g_{kp}$

$(5)\delta g=g{g}^{ij}\delta g_{ij}=-g{g}_{ij}\delta g^{ij}$

$(6)\delta \sqrt{g}=\frac{1}{2}\sqrt{g}{g}^{ij}\delta g_{ij}=-\frac{1}{2}\sqrt{g}{g}_{ij}\delta g^{ij}$

Згортка символів Крістофеля.

$(7){\mathrm{\Gamma }}_{si}^s=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i\sqrt{g}={\partial }_{i}ln\sqrt{g}$

$(8)g^{ks}{\mathrm{\Gamma }}_{ks}^i=-\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_s(\sqrt{g}{g}^{si})$

Дивергенція вектора $a^i$.

$(9){\mathrm{\nabla }}_i{a}^i=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i(\sqrt{g}{a}^i)$

Лапласіан скалярного поля.

$(10){\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i(\sqrt{g}{g}^{ij}{\partial }_j\varphi )$

Вектори повної кривини.

$(11){𝐛}_{ij}={\mathrm{\nabla }}_i{𝐫}_j={\mathrm{\nabla }}_j{𝐫}_i={\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j𝐫$

Середня кривина многовида.

$(12)g^{ij}{𝐛}_{ij}={\mathrm{\nabla }}_i{𝐫}^i={\mathrm{\nabla }}^2𝐫$

---

Обчислення (доведення формул)

Формула (1) є просто означенням оберненої матриці (якою є метричний тензор з верхніми індексами, див. Диференціальна геометрія).
Формула (2) є слід одиничної матриці, тобто сума $n$ одиниць, що стоять на головній діагоналі одиничної матриці.

Формули (3) і (4) виводимо, взявши варіацію (або похідну) від формули (1):

$(3a)\delta (g_{ik}{g}^{kj})=g_{ik}\delta g^{kj}+g^{kj}\delta g_{ik}=0$

Домножуючи цю рівність на $g_{jp}$ і користуючись формулою (1), маємо:

$(3b)g_{jp}{g}_{ik}\delta g^{kj}+g_{jp}{g}^{kj}\delta g_{ik}=g_{jp}{g}_{ik}\delta g^{kj}+\delta g_{ip}=0$

звідки одержимо формулу, тотожну формулі (3) після заміни позначень індексів:

$(3c)\delta g_{ip}=-g_{ik}{g}_{jp}\delta g^{kj}$

Для одержання формули (4), домножуємо (3а) на $g^{pi}$, обчислення аналогічні тільки що зробленим.

Для обґрунтування формули (5) зауважимо, що визначник $g$ є функцією від $n^2$ (незалежних) елементів матриці $g_{ij}$ ($i,j=1,...n$). Частинна похідна визначника по одному з елементів $g_{ij}$ матриці дорівнює алгебраїчному доповненню цього елемента $A^{ij}$ в матриці, який у свою чергу дорівнює добутку визначника матриці на відповідний елемент оберненої матриці: $A^{ij}=g{g}^{ij}$. Отже маємо першу частину формули (5):

$(5a)\delta g=\frac{\partial g}{\partial g_{ij}}\delta g_{ij}=A^{ij}\delta g_{ij}=g{g}^{ij}\delta g_{ij}$

Якщо сюди підставити $\delta g_{ij}$ із формули (3), одержимо другу частину формули (5):

$(5b)\delta g=-g{g}^{ij}{g}_{ik}{g}_{jp}\delta g^{kp}=-g{g}_{kp}\delta g^{kp}=-g{g}_{ij}\delta g^{ij}$

Формула (6) одержується легко з попередньої, як похідна складеної функції:

$(6a)\delta \sqrt{g}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\delta g=\frac{1}{2}\sqrt{g}{g}^{ij}\delta g_{ij}$

Перейдемо до згортки символів Крістофеля. У формулі (7) виразимо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

$(7a){\mathrm{\Gamma }}_{si}^s=g^{sk}{\mathrm{\Gamma }}_{si,k}=\frac{1}{2}{g}^{sk}({\partial }_s{g}_{ki}+{\partial }_i{g}_{sk}-{\partial }_k{g}_{si})$

Оскільки тензор $g^{sk}$ симетричний, то при згортці з ним перший та третій доданок дадуть однакові величин, але протилежні за знаком — і тому взаємно знищаться. Залишається тільки середній доданок, до якого можна застосувати формулу (5):

$(7b){\mathrm{\Gamma }}_{si}^s=\frac{1}{2}{g}^{sk}{\partial }_i{g}_{sk}=\frac{1}{2g}{\partial }_{i}g=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i\sqrt{g}={\partial }_i\ln \sqrt{g}$

У формулі (8) також виражаємо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

$(8a)g^{ks}{\mathrm{\Gamma }}_{ks}^i=g^{ks}{g}^{ij}{\mathrm{\Gamma }}_{ks,j}=\frac{1}{2}{g}^{ks}{g}^{ij}({\partial }_k{g}_{sj}+{\partial }_s{g}_{kj}-{\partial }_j{g}_{ks})$

До перших двох доданків після розкриття дужок застосуємо формулу (4), яку в даному разі читаємо в зворотний бік, а до третього доданка застосуємо формулу (6):

$(8b)g^{ks}{\mathrm{\Gamma }}_{ks}^i=\frac{1}{2}(-{\partial }_k{g}^{ki}-{\partial }_s{g}^{si}-2g^{ij}\frac{{\partial }_j\sqrt{g}}{\sqrt{g}})=-\frac{1}{\sqrt{g}}(\sqrt{g}{\partial }_s{g}^{si}+g^{si}{\partial }_s\sqrt{g})=-\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_s(\sqrt{g}{g}^{si})$

При виводі формули (9) користуємося формулою (7):

$(9a){\mathrm{\nabla }}_i{a}^i={\partial }_i{a}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{is}^i{a}^s={\partial }_i{a}^i+\frac{1}{\sqrt{g}}({\partial }_s\sqrt{g})a^s=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i(\sqrt{g}{a}^i)$

Формула (10) одержується з попередньої, якщо підставити $a^i=g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_j\varphi =g^{ij}{\partial }_j\varphi$:

$(11a){\mathrm{\nabla }}^2\varphi ={\mathrm{\nabla }}_i(g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_j\varphi )=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i(\sqrt{g}{g}^{ij}{\partial }_j\varphi )$

Формула (11) слідує з означення:

${𝐫}_i={\partial }_i𝐫={\mathrm{\nabla }}_i𝐫$

${𝐫}_{ij}={\partial }_i{\partial }_j𝐫={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{𝐫}_k+{𝐛}_{ij}$

$(11a){𝐛}_{ij}={\partial }_i{𝐫}_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s{𝐫}_s={\mathrm{\nabla }}_i{𝐫}_j={\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j𝐫$

Формула (12) одежується згорткою попередньої формули:

$(12a)g^{ij}{𝐛}_{ij}={\mathrm{\nabla }}_i(g^{ij}{𝐫}_j)={\mathrm{\nabla }}_i{𝐫}^i$

$(12b)g^{ij}{𝐛}_{ij}=(g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j)𝐫={\mathrm{\nabla }}^2𝐫$