Математичний аналіз/Похідна

Визначення похідної, правила диференціювання

Нехай функція $f:ℝ\to ℝ,x_0\in D_f.$

Функція називається диференційованою в точці $x_0$, якщо існує така неперервна в точці $x_0$ функція $D_f\stackrel{\mathrm{\varphi }}{\to }ℝ$, що $\mathrm{\forall }x\in D_f$ виконується рівність:

$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\varphi (x)$

Якщо $x_0$ - гранична точка можини $D_f$, то число $\varphi (x_0)$ називається похідною функції $f$ в точці $x_0$ і позначається символом $f^{\prime }(x_0)=\varphi (x_0)$

Теорема 1 (обчислення похідної)

Нехай $f:ℝ\to ℝ,x_0\in D_f$ і є граничною точкою цієї множини. Якщо $f$ - диференційована в точці $x_0$, то

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$ Шаблон:Hider

Наслідок.(Необхідна умова диференційованості).

Якщо функція $f$ диференційована в точці $x_0\in D_f$, граничній для множини $D_f$, то вона неперервна в точці $x_0$ і її похідна $f^{\prime }(x_0)$ визначена однозначно.