Перегляд вихідного коду сторінки Тригонометричні функції довільного аргументу. Знаки тригонометричних функцій

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Співвідношення_між_тригонометричними_функціями_одного_аргументу|Наступна]]
__ОБОВ_ЗМІСТ__
==Тригонометричні функції довільного аргументу==
[[File:Вектор ОА.png|thumb|Вектор ОА]]
Нехай <math>\phi</math> – довільний кут. На кінцевій стороні цього кута візьмемо вектор <math>\overrightarrow{O A}</math>  довільної довжини <math>r</math>. Абсцису цього вектора позначимо <math>x</math>, а ординату – <math>y</math>.<br>
Тоді<br> 
'''Теорема. ''Відношення <math>\frac{x}{r}</math> та <math>\frac{y}{r}</math> координат вектора до його довжини не залежать від довжини вектора, але залежать від його напрямку.'''''(Пропонуємо довести теорему самостійно)<br>
Як бачимо, відношення <math>\frac{x}{r}</math> та <math>\frac{y}{r}</math> залежать лише від напряму вектора <math>\overrightarrow{O A}</math>, що визначається кутом <math>\phi</math>, і не залежить від довжини вектора <math>r</math>.<br>
Тому ці величини є своєрідними характеристиками кута <math>\phi</math>.<br>
''Відношення ординати вектора, що утворює з віссю <math>OX</math> кут <math>\phi</math>, до довжини цього вектора, називається синусом кута <math>\phi</math>:''
 <math>sin \phi = \frac{y}{r}</math> (5)
''Відношення абсциси вектора, що утворює з віссю <math>OX</math> кут <math>\phi</math>, до довжини цього вектора, називається косинусом кута <math>\phi</math>:''
 <math>cos \phi = \frac{x}{r}</math> (6)
Крім синуса та косинуса кута <math>\phi</math> часто використовують ще такі характеристики кута <math>\phi</math>.<br>
''Відношення синуса кута <math>\phi</math> до його косинуса називається тангенсом кута <math>\phi</math>:''
 <math>tg \phi = \frac{sin \phi}{cos \phi}</math> (7)
''Відношення косинуса кута <math>\phi</math> до його синуса називається котангенсом кута <math>\phi</math>:''
 <math>ctg \phi = \frac{cos \phi}{sin \phi}</math> (8)
''Величина, обернена до косинуса кута <math>\phi</math>, називається секансом цього кута:''
 <math>sec \phi = \frac{1}{cos \phi}</math> (9)
''Величина, обернена до синуса кута <math>\phi</math>, називається косекансом даного кута:''
 <math>cosec \phi = \frac{1}{sin \phi}</math> (10)
У зв’язку з простотою співвідношень (9) та (10) і з тим, що секанс та косеканс використовуються здебільшого в астрономії, ми звертатимемо на них дещо менше уваги, ніж на величини (5)-(8).<br>
Так як при зміні кута <math>\phi</math> змінюються відповідні йому значення синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса та косеканса, то можна говорити про те, що вони є функціями кута <math>\phi</math>. Функції синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс та косеканс кута <math>\phi</math> прийнято називати '''''тригонометричними функціями кута.'''''<br>
З огляду на простий зв’язок між кутами і дугами (3’), можна говорити про тригонометричні функції не тільки кута, але й дуги. Під синусом (косинусом, тангенсом і т.д.) дуги <math>\alpha\ _{rad}</math> розуміють число, що дорівнює синусу (косинусу, тангенсу і т.д.) кута <math>\alpha</math> радіанів.<br>
Взагалі, синусом числа <math>x</math> будемо називати число, яке дорівнює синусу кута <math>x</math> радіанів. Це означення та аналогічні для косинуса, тангенса, котангенса, секанса та косеканса дають змогу говорити про '''''тригонометричні функції числового аргументу'''''.<br>
==Знаки тригонометричних функцій==
[[File:Одиничний вектор.png|thumb|Одиничний вектор]]
Нехай задано вектор <math>\overrightarrow{O A}</math> з <math>r=1</math>. Синус і косинус кута <math>\phi</math> ми визначили співвідношеннями (5) і (6). Врахувавши, що <math>r=1</math>, маємо 
 <math>sin \phi = y</math>, <math>cos \phi = x</math>, (11)
тобто синус кута <math>\phi</math> дорівнює ординаті, а косинус – абсцисі вектора одиничної довжини, що виходить з початку координат і утворює з віссю <math>OX</math> кут <math>\phi</math>.<br>
Очевидно, що координати вектора не перевищують за абсолютною величиною довжини цього вектора (''доведіть це самостійно, використавши теорему Піфагора''). Тому з (11) випливає, що синус і косинус будь-якого кута не можуть набувати значень, більших за абсолютною величиною, ніж 1, тобто 
 <math>-1 \le sin x \le 1</math> та <math>-1 \le cos x \le 1</math>. (12)
[[File:Одиничне коло.png|thumb|Одиничне коло. Лінії тангенсів та котангенсів]]
Усі вектори одиничної довжини цілком лежать в колі радіуса <math>1</math> з центром у початку координат. Цим колом зручно користуватись при вивченні тригонометричних функцій. Тому воно дістало спеціальну назву – ''тригонометричне коло''.<br>
Для обчислення тангенсів зручно використовувати пряму <math>x=1</math>. Цю пряму називають ''лінією тангенсів''. Тангенс кута <math>\phi</math> дорівнює ординаті точки перетину лінії тангенсів кінцевою стороною кута <math>\phi</math> або її продовженням (''доведіть це твердження'').<br>
Для обчислення котангенсів зручно використовувати пряму <math>y=1</math>. Цю пряму називають ''лінією котангенсів''. 
Котангенс кута <math>\phi</math> дорівнює абсцисі точки перетину лінії котангенсів кінцевою стороною кута <math>\phi</math> або її продовженням (''доведіть це твердження'').<br>
Тангенс та котангенс кута можуть дорівнювати будь-якому дійсному числу.<br>
Розглянемо, яких знаків набувають тригонометричні функції. Для цього використаємо тригонометричне коло та лінії тангенсів та котангенсів. На малюнку маємо: <math> OB = sin \phi</math>, <math> OA = cos \phi</math>, <math> C _{1} C _{2} = tg \phi</math>, <math> D _{1} D _{2} =ctg \phi</math>. Збільшуючи кут <math>\phi</math> від 0 до <math>2 \pi</math>, отримаємо таблицю знаків тригонометричних функцій в усіх квадрантах:<br>
{| border=1 bgcolor=#F6FFFF
 |Квадрант
 |<math> sin \phi</math>
 |<math> cos \phi</math>
 |<math> tg \phi</math>
 |<math> ctg \phi</math>
 |<math> sec \phi</math>
 |<math> cosec \phi</math>
 |-
 |I
 |<math> +</math>
 |<math> +</math>
 |<math> +</math>
 |<math> +</math>
 |<math> +</math>
 |<math> +</math>
 |-
 |II
 |<math> +</math>
 |<math> -</math>
 |<math> -</math>
 |<math> -</math>
 |<math> -</math>
 |<math> +</math>
 |-
 |III
 |<math> -</math>
 |<math> -</math>
 |<math> +</math>
 |<math> +</math>
 |<math> -</math>
 |<math> -</math>
 |-
 |IV
 |<math> -</math>
 |<math> +</math>
 |<math> -</math>
 |<math> -</math>
 |<math> +</math>
 |<math> -</math>
 |}
[[File:Вектор ОА та кут.png|thumb|Малюнок]]
'''Приклад 1.''' Обчислити за означенням косинус кута <math> \frac{\pi}{6}</math>.<br>
''Розв’язання.''
Розглянемо малюнок. Нехай у прямокутному трикутнику <math> ABO </math> кут <math> O </math> дорівнює <math> \frac{\pi}{6}</math>. Оскільки катет, що лежить проти кута <math> \frac{\pi}{6} </math>, дорівнює половині гіпотенузи, маємо, що <math> OA = 2AB </math>. За теоремою Піфагора <math>OB = \sqrt{OA^2 - AB^2} = \sqrt{OA^2 - \frac{1}{4} OA^2} = \sqrt{\frac{3}{4} OA^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} OA</math>. Скориставшись означенням косинуса кута (6) і врахувавши, що <math> OA = r </math>, <math> OB = x </math>, отримаємо, що <math>cos \frac{\pi}{6} = \frac{x}{r} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} OA}{OA} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.<br>
===Вправи===
7. Обчислити за означенням косинус кута:
# <math> \frac{\pi}{4}</math>
# <math> \frac{\pi}{3}</math>
# <math> \frac{\pi}{2}</math>
# <math> \pi</math>

8. Обчислити за означенням синус кута:
# <math> \frac{\pi}{4}</math>
# <math> \frac{\pi}{3}</math>
# <math> \frac{\pi}{2}</math>
# <math> \pi</math>

9. Обчислити за означенням тангенс кута:
# <math> \frac{\pi}{4}</math>
# <math> \frac{\pi}{3}</math>
# <math> \frac{\pi}{2}</math>
# <math> \pi</math>

10. Обчислити за означенням котангенс кута:
# <math> \frac{\pi}{4}</math>
# <math> \frac{\pi}{3}</math>
# <math> \frac{\pi}{2}</math>
# <math> \pi</math>

11. Обчислити за означенням секанс кута:
# <math> \frac{\pi}{4}</math>
# <math> \frac{\pi}{3}</math>
# <math> \frac{\pi}{2}</math>
# <math> \pi</math>

12. Обчислити за означенням косеканс кута:
# <math> \frac{\pi}{4}</math>
# <math> \frac{\pi}{3}</math>
# <math> \frac{\pi}{2}</math>
# <math> \pi</math>

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Співвідношення_між_тригонометричними_функціями_одного_аргументу|Наступна]]
[[Категорія:Основи тригонометрії]]