Перегляд вихідного коду сторінки Розв’язування тригонометричних рівнянь

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей|Наступна]]
__ОБОВ_ЗМІСТ__
==Многочлени від тригонометричних функцій==
Рівняння вигляду <math> P \left ( \sin x \right ) = 0</math>, <math> P \left ( \cos x \right ) = 0</math>, <math> P \left ( tg x \right ) = 0</math>, <math> P \left ( ctg x \right ) = 0</math>, де <math> P </math> – многочлен вказаних аргументів, розв’язуються як алгебраїчні від вказаних аргументів з наступним розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь.<br>
'''Приклад 1.''' Розв’язати рівняння <math> \sin ^3 2 x -3 \sin ^2 2 x + 3 \sin 2 x - 1 = 0</math>.<br>
''Розв’язання.'' Використавши формулу скороченого множення для куба різниці, маємо <math> \left ( \sin 2 x - 1 \right ) ^3 = 0</math>, звідки <math> \sin 2 x = 1 </math>, <math> 2 x = \left ( -1 \right ) ^k \arcsin 1 + \pi k = \frac{ \pi }{ 2 } + 2 \pi k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math>,  а тому й <math> x = \frac{ \pi }{ 4 } + \pi k </math>, <math> k \in \mathbb{Z} </math>.<br>
===Вправи===
Розв’язати рівняння:<br>
114. <math> tg ^3 x + tg ^2 x -3 tg x  = 3</math>.<br>
115. <math> \cos x = \sqrt{2} \sin ^ 2 x</math>.<br>
116. <math> \cos 2 x \sin x  = \cos 2 x</math>.<br>
117. <math> \sqrt{\frac{1}{16} + \cos ^4 x - \frac{1}{2} \cos ^2 x} + \sqrt{\frac{9}{16} + \cos ^4 x - \frac{3}{2} \cos ^2 x} = \frac{1}{2}</math>.<br>

==Тригонометричні рівняння, що зводяться до раціональних==
Тригонометричні рівняння вигляду<br>

<math> R \left ( \sin kx, \cos nx, tg kx, ctg lx \right ) = 0 </math>,<br>
де <math> R </math> – раціональна функція вказаних аргументів (<math> k, n, k, l \in \mathbb{N}</math>), за допомогою формул для тригонометричних функцій суми кутів (зокрема, формул подвійного та потрійного аргументів) можна звести до раціонального рівняння відносно аргументів <math> \sin x, \cos x, tg x, ctg x </math>, після чого це рівняння можна звести до раціонального рівняння відносно невідомої <math> t = tg \frac{x}{2} </math> за допомогою ''формул універсальної тригонометричної підстановки'' (38), (40), (41) та (43), поклавши в них <math> x = 2 \alpha </math>.<br>

'''Приклад 2.''' Розв’язати рівняння <math> \left ( \cos nx - \sin x \right )\left ( 2 tg x - \frac{1}{\cos x} \right ) + 2 = 0 </math>.<br>
''Розв’язання.'' 
Позначивши <math> t = tg \frac{x}{2} </math>, за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки запишемо рівняння у вигляді: <math> \frac{3 t ^4 + 6 t ^3 + 8 t ^2 - 2 t - 3}{\left ( 1 + t ^2 \right ) \left ( 1 - t ^2 \right )}=0 </math>; коренями його будуть <math> t_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} </math> та <math> t_2 = - \frac{1}{\sqrt{3}} </math>. Таким чином, розв’язання рівняння зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь <math> tg \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} </math> та <math> tg \frac{x}{2} = - \frac{1}{\sqrt{3}} </math>. (*)<br>
Зробивши перевірку, переконуємось, що числа <math>\pi n, n \in \mathbb{Z}</math>, – корені рівняння <math> cos \frac{x}{2} = 0 </math> – не є коренями даного рівняння, і, відповідно, всі розв’язки вихідного рівняння знаходяться як розв’язки рівнянь (*): <math>x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}</math>.<br>
===Вправи===
Розв’язати рівняння:<br>
118. <math> \sin x + ctg \frac{x}{2} = 2</math>.<br>
119. <math> ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) = 5 tg 2 x + 7 </math>.<br>
120. <math> 3 \sin 4 x = \left ( \cos 2 x - 1 \right ) tg x</math>.<br><br>


Рівняння вигляду<br>
<math> R \left ( \sin x + \cos x, \sin x \cdot \cos x \right ) = 0 </math>,<br> де <math> R </math> – раціональна функція вказаних в дужках аргументів, може бути зведеним до рівняння відносно змінної <math> t = \sin x + \cos x </math>, якщо використовувати тригонометричну тотожність<br>
<math> \left ( \sin x + \cos x \right ) ^2 = \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2 \sin x \cos x = {14} = 1 + 2 \sin x \cos x </math>, <br>
з якої випливає, що <math> \sin x \cos x = \frac{ t ^2 - 1}{2} </math>. Врахувавши цю рівність, розв’язуване рівняння можна звести до вигляду: <math> R \left ( t, \frac{ t ^2 - 1}{2} \right ) = 0 </math>. Так само рівняння вигляду <math> R \left ( \sin x - \cos x, \sin x \cdot \cos x \right ) = 0 </math> заміною <math> t = \sin x - \cos x </math> зводиться до рівняння <math> R \left ( t, \frac{ 1 - t ^2 }{2} \right ) = 0 </math>.<br>
'''Приклад 3.''' Розв’язати рівняння <math> \sin x + \cos x - 2 \sqrt{2} \sin x \cos x = 0 </math>.<br>
''Розв’язання.'' 
Позначивши <math> t = \sin x + \cos x </math> і використавши співвідношення <math> \sin x \cos x = \frac{ t ^2 - 1}{2} </math>, зводимо дане рівняння до нового: <math> \sqrt{2} t ^2 - t - \sqrt{2} = 0</math>. Коренями цього рівняння будуть числа <math> t_1 = \sqrt{2}</math> та <math> t_2 = - \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Таким чином, розв’язання вихідного рівняння ми звели до розв’язання сукупності двох тригонометричних рівнянь: <br>
<math> \sin x + \cos x = \sqrt{2}</math>,  <br>
<math>\sin x + \cos x =  - \frac{1}{\sqrt{2}}</math>.<br>
Домножуючи  до обох частин цих рівнянь число <math> \frac{1}{\sqrt{2}} </math>, зводимо їх до двох більш простих рівнянь<br>
<math> \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1</math>,  <br>
<math> \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x =  - \frac{1}{2}</math>,<br>
Звідки маємо, що<br>
<math> \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x = 1</math>,  <br>
<math> \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x =  - \frac{1}{2}</math>.<br>
За формулами синуса суми отримуємо<br>
<math> \sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right ) = 1</math>,  <br>
<math> \sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right ) =  - \frac{1}{2}</math>,<br>
а тому<br>
<math> x = \frac{\pi}{4} + 2 k \pi, k \in \mathbb{Z}</math>,  <br>
<math> x = \left ( -1 \right ) ^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + n \pi, n \in \mathbb{Z}</math>.<br>
===Вправи===
Розв’язати рівняння:<br>
121. <math> 5 \left ( \sin x + \cos x \right ) + \sin 3 x - \cos 3 x = 2 \sqrt{2} \left ( 2 + \sin 2 x \right )</math>.<br>
122. <math> \sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1</math>.<br>
123. <math> \sin x + \cos x - 2 \sin x \cos x = 1</math>.<br>

==Метод додаткового кута==
Рівняння вигляду <math> a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = c</math> рівносильні найпростішому тригонометричному рівнянню <math> \sin \left ( x + \phi \right ) = \frac{c}{\sqrt{a ^2 + b ^2}}</math>, де <math> \phi </math> знаходиться з системи:  <math>\begin{cases} \sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a ^2 + b ^2}}, \\ \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a ^2 + b ^2}} \end{cases}</math>.<br>
'''Приклад 3.''' Розв’язати рівняння <math> 3 \sin x + 4 \cos x = 5 </math>.<br>
''Розв’язання.'' 
Так як <math> \sqrt{3 ^2 + 4 ^2} = 5</math>, то дане рівняння тотожно рівне рівнянню <math> \sin \left ( x + \phi \right ) = 1</math>, де <math> \phi </math> визначається рівняннями 
<math> \begin{cases} \sin \phi = \frac{4}{5}, \\ \cos \phi = \frac{3}{5} \end{cases}</math>. 
Так як <math> \sin \phi</math> і <math> \cos \phi  </math> більше нуля, то за <math> \phi </math> можна взяти <math> \phi = \arcsin \frac{4}{5} </math> і корінь даного рівняння матиме вигляд:
<math> x = - \arcsin \frac{4}{5} + \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}</math>.
===Вправи===
Розв’язати рівняння:<br>
124. <math> \sin 8 x - \cos 6 x = \sqrt{3} \left ( \sin 8 x + \cos 6 x \right )</math>.<br>
125. <math> \sin 11 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 7 x + \frac{1}{2} \cos 7 x = 0</math>.<br>
126. <math> \sin 10 x + \cos 10 x = \sqrt{2} \sin 15 x </math>.<br>
127. <math> 4 \sin 3 x + 3 \cos 3 x = 5,2</math>.<br>

==Зниження степеня==
Спрощення деяких тригонометричних рівнянь іноді може бути досягнуте за допомогою зниження їх степеня. Якщо показники степенів синусів та косинусів, які містяться в рівнянні, парні, то зниження степеня можна виконати за формулами половинного аргумента.<br>
'''Приклад 4.''' Розв’язати рівняння <math> \sin ^{10} x + \cos ^{10} x = \frac{29}{16} \cos ^4 2x </math>.<br>
''Розв’язання.'' 
Використовуючи формули половинного кута, дане рівняння можна представити у вигляді 
<math> \left ( \frac{1 - \cos 2 x}{2} \right ) ^5 +  \left ( \frac{1 + \cos 2 x}{2} \right ) ^5 = \frac{29}{16} \cos ^4 2x</math>. Позначивши <math> \cos 2x = t</math>, представимо дане рівняння у вигляді: <math> \left ( \frac{1 - t}{2} \right ) ^5 +  \left ( \frac{1 + t}{2} \right ) ^5 = \frac{29}{16} t ^4 </math>. Розкриваючи дужки та зводячи подібні доданки, приходимо до біквадратного рівняння <math> 24 t ^4 - 10 t ^2 - 1 = 0</math>, єдиний дійсний корінь якого <math> t ^2 = \frac{1}{2}</math>. Повертаючись до початкової змінної, отримуємо <math> \cos ^2 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 1 + \cos 4 x = 1 \Rightarrow \cos 4 x = 0  \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{4}, k \in \mathbb{Z}</math>.<br>
===Вправи===
Розв’язати рівняння:<br>
128. <math> \sin ^2 6 x + 8 \sin ^2 3 x = 0</math>.<br>
129. <math> \sin ^2 x + a \sin ^2 2 x = \sin \frac{\pi}{6}</math>. Дослідити розв'язок.<br>
130. <math> \sin ^8 x + \cos ^8 x = \frac{17}{32}</math>.<br>
131. <math> \cos 2 x + 4 \sin ^4 x = 8 \cos ^6 x</math>.<br>


[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей|Наступна]]

[[Категорія:Основи тригонометрії]]