Перегляд вихідного коду сторінки Розв’язування вправ на застосування тригонометричних формул

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування|Наступна]]
__ОБОВ_ЗМІСТ__
==Тотожні перетворення тригонометричних виразів==
При доведенні тригонометричних тотожностей використовують як формули скороченого множення, так і формули, які пов’язують між собою тригонометричні функції.<br>
'''Приклад 1.''' Довести тотожність: <math>2 \cdot \left (\sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \right) - 3 \cdot \left (\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha \right) + 1 = 0</math> (*)<br>
''Розв’язання.''
Використаємо формулу скороченого множення <math>x ^3 +y ^3 = \left (x + y \right) \cdot \left (x ^2 - x \cdot y + y ^2 \right)</math>, поклавши в ній <math>x = \sin ^2 \alpha</math>, <math>y = \cos ^2 \alpha</math>.<br>
Тоді отримаємо, що<br>
<math>\sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \left (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha \right) \cdot \left (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cdot \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha \right)</math>.<br>
Врахувавши основну тригонометричну тотожність, маємо: <math>\sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cdot \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha </math>. Отримане значення виразу <math>\sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha</math> підставимо у (*). Одержимо:<br>
<math>2 \cdot \left (\sin ^4 \alpha - \sin ^2 \alpha \cdot \cos ^2 \alpha + \cos ^4 \alpha \right) - 3 \cdot \left (\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha \right) + 1 = 0</math>. Після відкриття дужок і зведення подібних членів маємо: <math>1 - 2 \cdot \sin ^2 \alpha \cdot \cos ^2 \alpha - \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = 0</math>, звідки <math>1 - \left ( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha \right) ^2 = 0</math>, тому <math>1 - 1 = 0</math>, що й доводить (*).<br>
===Вправи===
47. Довести тотожність:
# <math>\sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = 1 - \frac{3}{4} \cdot \sin ^2 2 \alpha</math>
# <math>\sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = \sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha</math>

48. Довести тотожність:
# <math>\frac {1 + \sin 2 \alpha + \cos 2 \alpha}{1 + \sin 2 \alpha - \cos 2 \alpha} = ctg \alpha</math>
# <math>\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin \left ( \alpha + \beta + \gamma \right)= 4 \cdot \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \sin \frac{\alpha + \gamma}{2}</math>
# <math>\sin \alpha + \sin 3 \alpha + \sin 5 \alpha + \sin 7 \alpha = 4 \cdot \cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha \cdot \cos 4 \alpha</math>
# <math>\sin ^6 \frac {\alpha}{2} + \cos ^6 \frac {\alpha}{2} = \frac {\sin ^2 \alpha - 4}{4} \cdot \cos \alpha</math>
# <math>\frac {\sin ^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac {\sin x + \cos x}{tg ^2 x - 1} = \sin x + \cos x</math>.

49. Довести, що коли <math>\cos \left ( \alpha + \beta \right) = 0</math>, то <math>\sin \left ( \alpha + 2 \cdot \beta \right) = \sin \alpha</math>.

50. Довести, що якщо <math>\sin ^2 \beta = \sin \alpha \cdot \cos \alpha</math>, то <math>\cos 2 \beta = 2 \cdot \cos ^2 \left ( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)</math>, <math>\cos 2 \beta = 2 \cdot \sin ^2 \left ( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)</math>.

51. Довести, що якщо <math> tg \alpha</math> і <math> tg \beta</math> – корені рівняння <math> x ^2 + p \cdot x + q = 0 </math>, то правильна тотожність: <math>\sin ^2 \left ( \alpha + \beta \right) +p \cdot sin \left ( \alpha + \beta \right) \cdot cos \left ( \alpha + \beta \right) + q \cdot cos ^2 \left ( \alpha + \beta \right) = q</math>.

52.Спростити вираз: <math>\frac {2 \sin \alpha + \sin ^2 \alpha}{2 \cos \alpha + \sin ^2 \alpha} \cdot \frac {1 - \cos \alpha}{1 - \sin \alpha}</math>.

==Обчислення значень тригонометричних функцій==
Задачі, пов’язані з обчисленням значень тригонометричних функцій без використання таблиць, зазвичай розв’язуються за допомогою тотожних перетворень, які приводять шуканий вираз до вигляду, що містить тільки табличні значення тригонометричних функцій.<br>

'''Приклад 2.''' Обчислити значення виразу <math>\left (\frac {\sin 80^\circ + \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} \right)^2</math>.<br>
''Розв’язання.'' З урахуванням формул (55) та (21), маємо <math>\left ( \frac {\sin 80^\circ + \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} \right)^2 = \left (\frac {2 \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} \right)^2  = \left ( 2 \cdot \frac {\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 3</math>.<br>

'''Приклад 3.''' Обчислити значення виразу <math>tg 20^\circ \cdot tg 40^\circ \cdot tg 80^\circ</math>.<br>
''Розв’язання.'' Так як <math>tg 20^\circ \cdot tg 40^\circ \cdot tg 80^\circ = \frac {\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}</math>, то будемо розглядати чисельник і знаменник.<br>
З урахуванням формул (48') та (50'), маємо:<br>
<math>\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ = \frac {1}{2} \cdot \left (\cos 20^\circ - \cos 60^\circ \right) \cdot \sin 80^\circ = \frac {1}{2} \cdot \left (\cos 20^\circ \cdot \sin 80^\circ- \frac {1}{2}\cdot \sin 80^\circ \right) = \frac {1}{2} \cdot \left ( \frac {1}{2} \cdot \left ( \sin 100^\circ + \sin 60^\circ \right) - \frac {1}{2} \cdot \sin 80^\circ \right) = </math><br>
<math> = \frac {1}{2} \cdot \left (\frac {1}{2} \cdot \sin 80^\circ + \frac {1}{2} \cdot \frac {\sqrt{3}}{2}- \frac {1}{2}\cdot \sin 80^\circ \right) = \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{2} \cdot \frac {\sqrt{3}}{2} = \frac {\sqrt{3}}{8}</math>.<br>
Використовуючи формулу (39), отримуємо:<br>
<math>\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac {2 \cdot \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2 \cdot \sin 20^\circ} = \frac { \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2 \cdot \sin 20^\circ} = \frac { \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{4 \cdot \sin 20^\circ} = \frac { \sin 160^\circ }{8 \cdot \sin 20^\circ} = \frac { \sin (180^\circ - 20^\circ)}{8 \cdot \sin 20^\circ} = \frac { \sin 20^\circ }{8 \cdot \sin 20^\circ} = \frac { 1 }{ 8 } </math><br>
Таким чином, <math>tg 20^\circ \cdot tg 40^\circ \cdot tg 80^\circ = \frac {\frac {\sqrt{3}}{8}}{\frac { 1 }{ 8 }} = \sqrt{3}</math>.<br>

'''Приклад 4.''' Обчислити <math> \sin 18^\circ </math>.<br>
''Розв’язання.''<br>
<math> \sin 18^\circ = \frac {2 \cdot \cos 18^\circ \cdot \sin 18^\circ }{2 \cdot \cos 18^\circ} = \frac { \sin 36^\circ }{2 \cdot \cos 18^\circ} = \frac { \cos 54^\circ }{2 \cdot \cos 18^\circ} = \frac { \cos (3 \cdot 18)^\circ }{2 \cdot \cos 18^\circ} = \frac { 4 \cdot \cos ^3 18^\circ - 3 \cdot \cos 18^\circ}{2 \cdot \cos 18^\circ} = \frac { 4 \cdot \cos ^2 18^\circ - 3 }{2} = \frac { 4 \cdot (1 - \sin ^2 18^\circ) - 3 }{2} = \frac { 1 - 4 \cdot \sin ^2 18^\circ}{2} </math>.<br>
Отже, <math> \sin 18^\circ = \frac { 1 - 4 \cdot \sin ^2 18^\circ}{2} </math>, звідки <math> 4 \cdot \sin ^2 18^\circ +2 \cdot \sin 18^\circ - 1 = 0 </math>. Зробимо заміну <math> t = \sin 18^\circ </math>. Тоді <math> 4 \cdot t ^2 + 2 \cdot t - 1 = 0 </math>. Розв’язавши квадратне рівняння, отримуємо, що<br>
<math> \sin 18^\circ = \frac {-1 + \sqrt{5}}{4}</math>.<br>
(Другий корінь квадратного рівняння є стороннім, так як <math> \sin 18^\circ > 0</math>).<br> 

===Вправи===
Обчислити:<br>

53.
# <math> \sin 15^\circ </math>
# <math> \frac {1}{\sin 10^\circ} - 4 \cdot \sin 70^\circ  </math>

54. <math> \sin ^2 70^\circ \cdot \sin ^2 50^\circ \cdot \sin ^2 10^\circ </math>

55. <math> \sin \frac {3 \cdot \pi}{10} \cdot \sin \frac {\pi}{10}</math>

56. <math> \sin 42^\circ </math>

'''Приклад 5.''' Обчислити <math> \frac {2 \cdot \sin 2 \alpha - 3 \cdot cos 2 \alpha}{4 \cdot \sin 2 \alpha + 5 \cdot cos 2 \alpha}</math>, якщо <math> tg \alpha = 3</math>.<br>
''Розв’язання.''<br>
Виражаючи <math> \sin 2 \alpha </math> і <math> cos 2 \alpha </math> через <math> tg \alpha </math> (співвідношення (38) і (40)), отримуємо:<br>
<math> \frac {2 \cdot \sin 2 \alpha - 3 \cdot cos 2 \alpha}{4 \cdot \sin 2 \alpha + 5 \cdot cos 2 \alpha} = \frac {4 \cdot tg \alpha - 3 + 3 \cdot tg ^2 \alpha}{8 \cdot tg \alpha + 5 - 5 \cdot tg ^2 \alpha}</math>.<br>
Підставляючи в праву частину цього виразу замість <math> tg \alpha </math> його значення 3, знаходимо: <math> \frac {4 \cdot 3 - 3 + 3 \cdot 3 ^2 }{8 \cdot 3 + 5 - 5 \cdot 3 ^2 } = - \frac {9}{4} = - 2 \frac {1}{4}</math>.<br>

===Вправи===

57. Обчислити <math> \sin \alpha </math>, якщо <math> \sin \frac {\alpha}{2} + \cos \frac {\alpha}{2} = 1,4</math>.

58. Знайти значення <math> tg ^4 \alpha + ctg ^4 \alpha </math>, якщо <math> tg \alpha + ctg \alpha = a</math>.

59. Сума трьох додатних чисел <math> \alpha </math>, <math> \beta </math> і <math> \gamma </math> дорівнює <math> \frac {\pi}{2} </math>. Обчислити добуток <math> ctg \alpha \cdot ctg \gamma </math>, якщо відомо, що <math> ctg \alpha </math>, <math> ctg \beta </math> і <math> ctg \gamma </math> утворюють арифметичну прогресію.

60. Обчислити <math> \cos \left( \theta - \phi \right)</math>, якщо <math> \cos \theta + \cos \phi = a</math>, <math> \sin \theta + \sin \phi = b</math>, <math> a^2 + b^2 \ne 0</math>.

61. Обчислити значення <math> \sin ^3 \alpha - \cos ^3 \alpha </math>, якщо <math> \sin \alpha - \cos \alpha = n</math>.

==Обчислення сум рядів==

Обчислення суми скінченого ряду тригонометричних функцій <math> S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n</math>(*) часто вдається виконати за допомогою підбору так званої продукуючої функції, тобто функції, яка має властивість <math> f(k+1) - f(k) = u_n</math>. (**)<br>
Якщо функція <math> f(n)</math> знайдена, то сума (*) обчислюється за формулою <math> S_n = f(k+1) - f(1)</math>. (***)<br>
'''Приклад 6.''' Просумувати<br>
<math> S_n = \sin \alpha + \sin (\alpha + h) + \sin (\alpha + 2 \cdot h) +... + \sin (\alpha + n \cdot h)</math>.<br>
''Розв’язання.'' Використаємо те, що<br>
<math> \cos \left ( \alpha + \frac{2k+1}{2} h  \right) - \cos \left ( \alpha + \frac{2k-1}{2} h  \right) = -2 \sin \left ( \alpha + k h  \right) \cdot \sin \frac{h}{2}</math>.<br>
Це випливає із співвідношення (57). Якщо ми почленно розділимо цю рівність на <math> - \sin \frac{h}{2}</math>, то отримаємо рівність вигляду (**).<br>
Тоді за продукуючу функцію можна взяти <br>
<math>f(k) = - \frac{1}{\sin \frac{h}{2}}\cos \left ( \alpha + \frac{2k-1}{2} h  \right) </math>.<br>
Згідно (***), отримуємо:<br>
<math> S_n = - \frac{1}{\sin \frac{h}{2}}\left ( \cos \left ( \alpha + \frac{2k+1}{2} h  \right) - \cos \left ( \alpha + \frac{h}{2} \right) \right)</math>.<br>
Використавши співвідношення (57), маємо:<br>
<math> S_n = \frac{1}{\sin \frac{h}{2}}\cdot \sin \left ( \alpha + \frac{n}{2} h  \right) \cdot \sin \left ( \alpha + \frac{n+1}{2} h \right)</math>.<br>

===Вправи===
Просумувати:<br>
62. <math> \cos 3 \alpha + \cos 5 \alpha + \cos 7 \alpha +... + \cos (2n+1)\alpha</math>.<br>
63. <math> \sin \alpha \cdot \sin 2 \alpha  + \sin 2 \alpha \cdot \sin 3 \alpha + \sin 3 \alpha \cdot \sin 4 \alpha +... + \sin n \alpha \cdot \sin (n+1) \alpha</math>.<br>
64. <math> tg \alpha + \frac{1}{2} tg \frac{\alpha}{2} + \frac{1}{4} tg \frac{\alpha}{4} + ... + \frac{1}{2^n} tg \frac{\alpha}{2^n}</math>.<br>
65. <math> \cos \frac{\pi}{13} + \cos \frac{3 \pi}{13} + \cos \frac{5 \pi}{13} + \cos \frac{7 \pi}{13} + \cos \frac{9 \pi}{13} + \cos \frac{11 \pi}{13}</math>.<br><br>

==Співвідношення у трикутнику. Задачі з геометричним змістом ==
'''Вправи.''' Довести, що коли <math> \alpha, \beta, \gamma</math> – кути трикутника, то:<br>
66. <math> \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1+4 \cdot \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \sin \frac{\beta}{2}\cdot \sin \frac{\gamma}{2}</math>.<br>
67. <math> tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\beta}{2} + tg \frac{\beta}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2} + tg \frac{\gamma}{2} \cdot tg \frac{\alpha}{2} = 1</math>.<br>
68. <math> ctg \alpha \cdot ctg \beta + ctg \beta \cdot ctg \gamma + ctg \gamma \cdot ctg \alpha = 1</math>.<br>
69. <math> \sin^2 \alpha - \cos^2 \beta  - \cos^2 \gamma = 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma</math>.<br>
<br>
'''Приклад 7.''' Довести, що для кутів <math> \alpha, \beta, \gamma</math> довільного трикутника виконується нерівність<br>
<math> \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le \frac{3}{2}</math>. (*)<br>
''Розв’язання.''
Відмітимо, що при <math> \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}</math> нерівність (*) перетворюється в рівність. <br>
Нехай хоча б два кути трикутника, наприклад, <math> \alpha</math> i <math>\beta</math>, не рівні. Тоді<br>
<math> \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \cos \alpha + \cos \beta - \cos \left (\alpha + \beta \right) = </math>{56}<math> = 2 \cdot \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \left (\alpha + \beta \right) < </math><br>
<math>  < </math>{37}<math> < 2 \cdot \cos \frac{\alpha + \beta}{2} - 2 \cdot \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} +1 = - \frac{1}{2} \cdot \left ( 2 \cdot \cos \frac{\alpha + \beta}{2} - 1 \right)^2 + \frac{3}{2} < \frac{3}{2}</math>,<br>
тобто нерівність (*) також виконується, але строго. Таким чином, рівність має місце лише для правильного трикутника.<br><br>
===Вправи===
70. Довести, що для кутів <math> \alpha, \beta, \gamma</math> довільного трикутника виконується нерівність <math> \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma \ge \frac{3}{4}</math>.<br>
Визначити, коли досягається рівність.<br>
71. Довести, що у довільному не тупокутному трикутнику виконуються нерівності:
<math> \cos \frac{\alpha - \beta}{2} < 2 \cdot \cos \frac{\gamma }{2}</math>, <math> \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} < 2 \cdot \cos \frac{ \beta }{2}</math>, <math> \cos \frac{\beta - \gamma}{2} < 2 \cdot \cos \frac{\alpha }{2}</math>.<br>
72. Довести, що для кутів <math> \alpha, \beta, \gamma</math> довільного нетупокутного трикутника виконується нерівність: 
<math> \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma </math>.<br>
73. Довести, що:<br>
# Площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.
# З усіх прямокутників з даною діагоналлю найбільшу площу має квадрат.
# Який чотирикутник з діагоналями <math> d_1 </math> та <math> d_2 </math> має максимальну площу? Чому?



[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування|Наступна]]
[[Категорія:Основи тригонометрії]]