Перегляд вихідного коду сторінки Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій

[[Основи тригонометрії | Зміст]]
[[Косинус і синус суми і різниці двох аргументів. Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументів | Наступна]]
__ОБОВ_ЗМІСТ__
==Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій==
Введемо поняття монотонної функції. Нехай на числовій множині <math>\mathbb{X}</math> задана деяка функція <math>y = f(x)</math>. <br>
''Функція <math>y = f(x)</math> називається '''спадаючою на множині <math>\mathbb{X} _{0} \subseteq \mathbb{X}</math>''', якщо для довільних <math>x _{1}, x _{2} \in \mathbb{X} _{0}</math>, таких, що <math>x _{1}<x _{2}</math>, виконується нерівність: <math>f(x _{1}) \ge f(x _{2}) </math>. При строгій нерівності функція<math>y = f(x)</math> називається строго спадаючою.''<br>
''Функція <math>y = f(x)</math> називається '''зростаючою на множині <math>\mathbb{X} _{0} \subseteq \mathbb{X}</math>''', якщо для довільних <math>x _{1}, x _{2} \in \mathbb{X} _{0}</math>, таких, що <math>x _{1}<x _{2}</math>, виконується нерівність: <math>f(x _{1}) \le f(x _{2}) </math>. При строгій нерівності функція <math>y = f(x)</math> називається строго зростаючою.''<br>
''Якщо <math>y = f(x)</math> є спадаючою, зростаючою, строго спадаючою або строго зростаючою на деякій числовій множині, то говорять, що вона '''монотонна на цій множині.''''' <br>
Розглянемо означення тригонометричних функцій (5)-(6) та одиничне коло. 
[[File:До теореми 2.png|thumb|міні|праворуч|До теореми 2]]
Нехай кут <math> \phi</math> пробігає множину значень від <math> 0</math> до <math> \pi</math>. Тоді абсциса відповідного вектора зменшується, тобто зменшується значення косинуса кута <math> \phi</math>. Як бачимо, функція <math>y = cos x</math> спадає на проміжку <math>[0; \pi]</math>. Якщо ж кут <math> \phi</math> пробігає множину значень від <math> \pi</math> до <math>2 \pi</math>, то абсциса відповідного вектора збільшується, тобто на цьому проміжку функція <math>y = cos x</math> зростає. Врахувавши періодичність функції <math>y = cos x</math>, маємо:<br>
'''Теорема 2. ''Функція <math>y = cos x</math> монотонно зростає на проміжках <math>[(2n+1) \pi; 2(n+1) \pi], n \in \mathbb{Z}</math>, та монотонно спадає на проміжках <math>[2n \pi; (2n+1) \pi], n \in \mathbb{Z}</math>.'''''<br>
Провівши подібне дослідження для функції <math>y = sin x</math>, отримаємо<br>
'''Теорема 3. ''Функція <math>y = sin x</math> монотонно зростає на проміжках <math>[(2n-\frac {1}{2}) \pi; (2n+\frac {1}{2}) \pi], n \in \mathbb{Z}</math>, та монотонно спадає на проміжках <math>[(2n+\frac {1}{2}) \pi; (2n+\frac {3}{2}) \pi], n \in \mathbb{Z}</math>.'''''<br>
Проміжки монотонності функцій <math>y = tg x</math> та <math>y = ctg x</math> визначте самостійно.<br>
Розглянемо питання про неперервність тригонометричних функцій.<br>
''Будемо вважати функцію <math>y = f(x)</math> '''неперервною в точці <math> x _{0} \in \mathbb{X}</math>''', якщо вона визначена в цій точці та на деякому проміжку, якому дана точка належить, і якщо при незначній зміні аргументу значення функції також незначно змінюється.''<br>
Зміну аргументу позначимо <math> \Delta \phi = \phi _{2} - \phi _{1}</math> і будемо називати '''''приростом аргументу'''''. Відповідну зміну функції позначимо <math> \Delta f = f(\phi _{2}) - f(\phi _{1})</math> і будемо називати '''''приростом функції'''''.<br>
Функція <math>y = cos \phi</math>, згідно означення (6), визначена для будь-якого кута <math> \phi</math>, оскільки вираз <math>\frac{x}{r}</math> має зміст при будь якому додатному <math>r</math>. Розглянемо приріст аргумента <math> \Delta \phi = \phi _{2} - \phi _{1}</math>. Як видно з малюнка (до теореми 2), при наближення кута <math> \phi _{2} </math> до кута <math> \phi _{1}</math> приріст <math> \Delta \phi </math> необмежено зменшується, а з ним зменшується і різниця <math> x _{2} - x _{1}</math>. Поклавши, що <math>r=1</math> (коло – одиничне), маємо необмежене зменшення за абсолютною величиною і приросту функції <math> \Delta f = cos \phi _{2} - cos \phi _{1}</math>, тобто '''''функція <math>y = cos \phi</math> неперервна для всіх аргументів <math>\phi \in \mathbb{R}</math>.'''''<br>
Розглянувши функцію <math>y = sin \phi</math>, прийдемо до висновку, що вона теж неперервна.<br>
[[File:Тригонометричне коло1.png|thumb|Про неперервність <math>y = tg \phi</math>]]
Що ж до функцій <math>y = tg \phi</math>, <math>y = ctg \phi</math>, <math>y = sec \phi</math> та <math>y = cosec \phi</math>, то вони визначені не для всякого кута <math> \phi</math>. Тангенс і секанс в силу означень (7) та (9) визначені лише для тих кутів, косинуси яких відмінні від нуля, а котангенс та косеканс в силу (8) і (10) – для тих кутів, синуси яких відмінні від нуля. Якщо <math> cos \phi = \frac{x}{r}=0</math>, то <math>x = 0</math>. Це може бути лише тоді, коли вектор <math>\overrightarrow{O A _{2}}</math> перпендикулярний до осі абсцис. У цьому випадку кут <math> \phi</math> може набувати значень <math> \pm \frac{\pi}{2}</math>, <math> \pm \frac{3}{2} \pi</math>, <math> \pm \frac{5}{2} \pi</math>, <math> \pm \frac{7}{2} \pi</math>. Всі ці значення можна записати однією формулою <math> \phi = \frac{\pi}{2} (2n+1)</math>, <math>n \in \mathbb{Z}</math>.<br>
Таким чином, '''''тангенс і секанс визначені для всіх кутів <math> \phi</math>, крім кутів <math> \phi = \frac{\pi}{2} (2n+1)</math>, <math>n \in \mathbb{Z}</math>'''''. Для кутів, де тангенс і секанс визначені, неперервність цих функцій випливає неперервності функцій синус та косинус. Отже, '''''функції <math>y = tg \phi</math> та <math>y = sec \phi</math> неперервні у всіх точках, крім <math> \phi = \frac{\pi}{2} (2n+1)</math>, <math>n \in \mathbb{Z}</math>'''''.<br>
Неперервність функцій  <math>y = ctg \phi</math> та <math>y = cosec \phi</math> у всіх точках, крім <math> \phi = \pi n</math>, <math>n \in \mathbb{Z}</math>, доведіть самостійно.<br>
==Графіки тригонометричних функцій==
[[File:Побудова синусоїди.png|міні|ліворуч|Побудова синусоїди]][[File:Побудова синусоїди1.png|міні|ліворуч|Побудова синусоїди1]][[File:Побудова синусоїди2.png|міні|праворуч|Побудова синусоїди2]]<br>
Як випливає з формул зведення, поведінка тригонометричних функцій при всіх значеннях аргумента цілком визначається їх поведінкою при <math>0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}</math>. Тому ми насамперед побудуємо графіки саме на цьому проміжку.<br>
Побудуємо графік <math>y = sin x</math>. Для цього розглянемо одиничне коло. Першу чверть кола поділимо на <math>n</math> рівних частин і через точки поділу проведемо прямі, паралельні осі <math>OX</math>. Ординати точок поділу кола являють собою синуси відповідних кутів. Перша чверть кола відповідає кутам від <math>0</math> до <math>\frac {\pi}{2}</math>. Тому на осі <math>OX</math>  візьмемо відрізок <math>[0;\frac{\pi}{2}]</math> і поділимо його на <math>n</math> рівних частин. З точок поділу поставимо перпендикуляри до перетину з раніше проведеними горизонтальними прямими. Точки перетину сполучимо плавною лінією (''див. мал. Побудова синусоїди'').<br>
Тепер звернемось до інтервалу <math>\frac{\pi}{2} \le \phi \le \pi</math> (''див. мал. Побудова синусоїди1''). Кожне значення аргументу <math> \phi </math> з цього відрізка можна подати у вигляді <math> \phi = \frac{\pi}{2} + \phi _{0}</math>, де <math> 0 \le \phi _{0} \le \frac{\pi}{2}</math>. За формулами зведення <math> sin( \frac{\pi}{2} + \phi = cos \phi = sin( \frac{\pi}{2} - \phi)</math>.<br>
Точки осі <math>OX</math> з абсцисами <math> \frac{\pi}{2} + \phi </math> та <math> \frac{\pi}{2} - \phi</math> симетричні одна одній відносно точки осі <math>OX</math> з абсцисою <math> \frac{\pi}{2} </math> і синуси в цих точках однакові. Це дає можливість побудувати графік функції <math>y = sin x</math> на відрізку <math>[\frac{\pi}{2};\pi]</math> простим симетричним відображенням графіка цієї функції на інтервалі <math>[0;\frac{\pi}{2}]</math> відносно прямої <math>x=\frac{\pi}{2}</math>.<br>
Тепер, використавши непарність функції <math>y = sin x</math>, легко побудувати графік цієї функції на проміжку <math>[-\pi;0]</math> (''див. мал. Побудова синусоїди2'').<br>
[[File:Синусоїда.png|thumb|Синусоїда]]
[[File:Косинусоїда.png|міні|ліворуч|Косинусоїда]]
Функція <math>y = sin x</math> періодична з періодом <math>2\pi</math>. Тому для побудови всього графіка цієї функції досить побудовану частину продовжити вліво і вправо періодично з періодом <math>2\pi</math>. 
Знайдена в результаті цього крива називається '''''синусоїдою'''''.<br>
Щодо графіка функції <math>y = cos x</math>, то, як ми знаємо, <math> cos x = sin( \frac{\pi}{2} + x)</math>. Тому якщо функція <math>y = cos x</math> набуває якогось значення <math>a</math> при <math>x = x _{0}</math>, то при <math>x = x _{0} + \frac{\pi}{2}</math> такого самого значення набуває і функція <math>y = sin x</math>. Звідси можна зробити висновок, що графік функції <math>y = cos x</math> можна дістати за допомогою зсуву графіка функції <math>y = sin x</math> вздовж осі абсцис вліво на відстань <math> \frac{\pi}{2}</math>.<br>
Іноді цю криву називають '''''косинусоїдою'''''.<br>
[[File:Тангенсоїда.png|thumb|Тангенсоїда]]
[[File:Побудова тангенсоїди.png|міні|ліворуч|Побудова тангенсоїди]]
[[File:Побудова тангенсоїди1.png|міні|ліворуч|Побудова тангенсоїди1]]
Для побудови графіка функції <math>y = tg x</math> на півінтервалі <math>[0;\frac{\pi}{2})</math> використаємо геометричну побудову, аналогічну до тієї, яку ми використали для побудови графіка функції <math>y = sin x</math>. Ми не будемо докладно спинятись на цій побудові, а обмежимось лише тим, що наведемо малюнок (''див. мал. Побудова тангенсоїди'').<br>
Тепер, використовуючи графік функції <math>y = tg x</math> на проміжку <math>[0;\frac{\pi}{2})</math>, можна побудувати графік цієї функції і на півінтервалі <math>(-\frac{\pi}{2};0]</math>. Для цього використаємо тотожність <math>tg ( - \phi) = - tg \phi</math>. Вона вказує на те, що графік функції <math>y = tg x</math> симетричний відносно початку координат. Звідси відразу ж дістаємо ту частину графіка, яка відповідає значенням <math>- \frac{\pi}{2} < \phi \le 0</math> (''див. мал. Побудова тангенсоїди1'').<br>
[[File:Котангенсоїда.png|thumb|Котангенсоїда]]
Функція <math>y = tg x</math> періодична з періодом <math>\pi</math>. Тепер для побудови її графіка нам потрібно лише продовжити періодично криву, яку ми отримали, вліво і вправо з періодом <math>\pi</math>. В результаті дістаємо криву, яку називають '''''тангенсоїдою'''''.<br>
Для побудови графіка функції <math>y = ctg x</math> слід використати тотожність <math>ctg x = - tg (x+ \frac{ \pi}{2})</math>.<br>
Вона вказує на такий порядок побудови графіка:<br>
I. Тангенсоїду <math>y = tg x</math> треба зсунути вліво по осі абсцис на віддаль <math> \frac{\pi}{2}</math>;<br>
II. Знайдену криву відобразити симетрично відносно осі абсцис.<br>
В результаті отримаємо криву, зображену на малюнку '''''Котангенсоїда'''''.<br>
[[File:До прикладу 1.png|thumb|До прикладу 1]]
'''Приклад 1.''' За графіком функції <math>y = sin x</math> визначити всі числа, синус яких дорівнює <math>\frac{1}{2}</math>.<br>
''Розв’язання.'' Побудуємо синусоїду та пряму <math>y = \frac{1}{2}</math>. Ці  два графіки функцій перетинатимуться в точках, абсциси яких матимуть матимуть координати <math>x</math>, для яких <math>sin x = \frac{1}{2}</math>. Розглянемо проміжок <math>[0;2\pi]</math>. На ньому графіки функцій перетинаються в двох точках – <math>C</math> і <math>F</math> (див. мал. До прикладу 1). З таблиць відомо, що на розглядуваному проміжку є всього два кути <math> \phi</math>, для яких <math>sin \phi = \frac{1}{2}</math>. Це кути <math> \frac{\pi}{6}</math> та <math> \frac{5}{6} \pi</math>. Отже, врахувавши періодичність функції синус, шукані числа матимуть вигляд <math> \frac{\pi}{6} + 2 \pi n</math> та <math> \frac{5}{6} \pi + 2 \pi k</math>, де <math>n,k \in \mathbb{Z}</math>.<br>
===Вправи===
27. За графіком функції <math>y = sin x</math> визначити приблизно:<br>
# <math> sin 2</math>
# <math> sin (-3)</math>
28. За графіком функції <math>y = cos x</math> визначити всі числа, косинус яких дорівнює <math> \frac{1}{2}</math>.<br>
29. При малих за абсолютною величиною значеннях <math> x </math> синусоїда <math>y = sin x</math> має такий самий вигляд, як і пряма <math>y = x</math> (''зробіть малюнок''). Тому для мали значень <math> x </math>: <math> sin x \approx x</math>. Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:<br>
# <math> sin 0,03</math>
# <math> sin 1^\circ</math> (''переведіть у радіани!'')
# <math> sin (-2^\circ 30')</math>
30. При малих за абсолютною величиною значеннях х косинусоїда <math>y = cos x</math> має такий самий вигляд, як і парабола <math>y = 1 - \frac{x^2}{2}</math>(''зробіть малюнок''). Тому для малих значень <math> x </math>: <math>cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}</math>. Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:<br>
# <math> cos 1^\circ</math>
# <math> cos 0,05</math>
# <math> cos (-2^\circ 30')</math>
31. Користуючись графіками функцій <math>y = tg x</math> та <math>y = ctg x</math>, знайти найменші додатні корені рівнянь (приблизно):<br>
# <math> tg x = -3</math>
# <math> tg x = 2</math>
# <math> ctg x = -3</math>
# <math> ctg x = 2</math>

[[Основи тригонометрії | Зміст]]
[[Косинус і синус суми і різниці двох аргументів. Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументів | Наступна]]

[[Категорія : Основи тригонометрії]]