Перегляд вихідного коду сторінки Основні числові системи/Комплексні числа

{{Вікіпедія|Комплексне число}}
Дійсні числа відіграють велику роль у математиці, однак є задачі, для вирішення яких дійсних чисел недостатньо. Однією з таких задач є задача пошуку рішення квадратного рівняння <math>x^{2}+1=0.</math> У системі дійсних чисел не віднайдеться таке <math>x,</math> за якого справджувалася б дана рівність, оскільки у системі дійсних чисел немає дійсного числа, квадрат якого дорівнював б <math>-1.</math> Тривалий час комплексні числа уводилися у розгляд за допомогою наступного міркування: рівняння <math>x^{2}=-1</math>" не має коренів, <math>\sqrt{-1}</math> не існує. У 1833 році ірландський математик У.Р.Гамільтон пояснив що таке комплексні числа. Його підхід полягав у розширенні системи <math>\mathbb{R}</math> до системи <math>\mathbb{C}</math> за допомогою впорядкованих пар дійсних чисел <math>(a,b)</math>, де <math>a,b\in\mathbb{R},</math> які називаються комплексними числами. 

Нехай <math>C</math> - множина усеможливих впорядкованих пар <math>(a,b)</math> дійсних чисел <math>a</math> та <math>b.</math> Числа <math>a</math> та <math>b</math> у парі називаються компонентами пари <math>(a,b),</math> зокрема, <math>a</math> - першою компонентою, а <math>b</math> - другою компонентою. 

У відповідності із загальним визначенням рівності впорядкованих пар, пари <math>(a,b)</math> та <math>(c,d)</math> є рівними лише у випадку, коли <math>a=c</math> та <math>b=d.</math> У цьому випадку пишуть <math>(a,b)=(c,d).</math>

Визначмо на множині таких пар <math>C</math> операції додавання й множення. Сумою пар <math>(a,b)</math> та <math>(c,d)</math> є пара <math>(a+c,\,b+d),</math> тобто <math>(a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d)</math> Тобуток пар <math>(a,b)</math> та <math>(c,d)</math> - пара <math>(ac-bd,\,ad+bc),</math> тобто <math>(a,b)(c,d)=(ac-bd,\, ad+bc).</math>

Операції додавання й множення пар комутативні, асоціативні й пов'язані законом дистрибутивності. Комутативність й асоціативність операції додавання пар слідують відповідно з комутативності й асоціативності додавання дійсних чисел, оскільки додавання пар зводиться до додавання їх компонент (дійсних чисел). 

Операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання. Справді, для будь-яких <math>a,b,c,d,k,l\in\mathbb{R}</math> одержимо:

<math>\begin{matrix}[(a,b)+(c,d)](k,l)=(a+c,\,b+d)(k,l)=((a+c)k-(b+d)l,\,(a+c)l+(b+d)k)=(ak+ck-bl-dl,\, al+cl+bk+dk),\\  (a,b)(k,l)+(c,d)(k,l)=(ak-bl,\,al+bk)+(ck-dl,\,cl+dk)=(ak+ck-bl-dl,\, al+bk+cl+dk).\end{matrix}</math>

Правы частини цих співвідношень є рівними, відтак рівними є й ліві частини. 

1. Для будь-яких <math>a,b,c,d,k,l\in\mathbb{R}</math> справджується розподільний закон множення пар відносно додавання: <math>[((a,b)+(c,d))(k,l)=(a,b)(k,l)+(c,d)(k,l)].</math>

У множині <math>C</math> виконується також операція віднімання. Нехай <math>(a,b)</math> та <math>(c,d)</math> - довільні пари з множини <math>C.</math> Різницею даних пар буде пара <math>(x,y),</math> яка задовільняє умові <math>(c,d)+(x,y)=(a,b).</math> Віднайдімо цю пару:

<math>(c,d)+(x,y)=(a,b)\Leftrightarrow (c+x,\,d+y)=(a,b)\Leftrightarrow c+x=a\land d+y=b\Leftrightarrow x=a-c\land y=b-d,</math>

відтак <math>(x,y)=(a-c,\,b-d).</math> 

У системі <math>C</math> виконується операція ділення (окрім ділення на нуль). Нехай <math>(a,b)</math> та <math>(c,d)</math> - довільні пари з <math>C,</math> причому <math>(c,d)\neq (0,0).</math> Тоді принаймні одна з компонент <math>c</math> та <math>d</math> є відмінною від нуля, тому <math>c^{2}+d^{2}\neq 0.</math> 

Часткою від ділення пари <math>(a,b)</math> на пару <math>(c,d)</math> є пара <math>(x,y),</math> яка задовільняє умові <math>(c,d)\cdot (x,y)=(a,b).</math> Віднайдімо цю частку:

<math>(c,d)\cdot (x,y)=(a,b)\Leftrightarrow (cx-dy,\,cy+dx)=(a,b)\Leftrightarrow cx-dy=a\land dx+cy=b.</math>

З цього слідує, що віднаходження пари <math>(x,y)</math> є рівносильним вирішенню системи рівнянь <math>\begin{cases}cx-dy=a,\\ dx+cy=b.\end{cases}</math> Вона має єдине рішення:

<math>x=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}},\quad\quad y=\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}.</math>

Відповідно, у випадку, коли <math>(c,d)\neq (0,0),</math> частка <math>\frac{(a,b)}{(c,d)}</math> існує, причому лише одна:

<math>\frac{(a,b)}{(c,d)}=(\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}},\,\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}).</math>

Протилежною до пари <math>(a,b)</math> є пара <math>-(a,b)=(-a,-b).</math> Якщо вважати <math>(a,b)=(1,0),</math> то одержимо, що для відмінною від нуля пари <math>(c,d)</math> зворотною буде пара <math>(\frac{1\cdot c+0\cdot d}{c^{2}+d^{2}},\,\frac{0\cdot c-1\cdot d}{c^{2}+d^{2}})=(\frac{c}{c^{2}+d^{2}},\,\frac{-d}{c^{2}+d^{2}}).</math>

Вважаймо, що <math>(a,0)=a</math> (наприклад, <math>(1,0)=1)</math> та що <math>(0,0)=0.</math> За такого міркування можна сказати, що система дійсних чисел <math>\mathbb{R}</math> є підсистемою системи <math>\mathbb{C}</math> (з огляду на співпадаючі в цих системах бінарні операції). 

Побудована таким чином числова система <math>\mathbb{C}</math> повинна містити рішення рівняння <math>x^{2}+1=0.</math> Одним із коренем цього рівняння є елемент <math>(0,1)</math> системи <math>\mathbb{C}.</math> Справді, <math>(0,1)^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.</math> Елемент <math>(0,-1)</math> є другим коренем рівняння <math>x^{2}+1=0.</math> Елемент <math>(0,1)</math> позначають символом <math>i,</math> тоді елемент <math>(0,-1)=-(0,1)</math> буде позначатися символом <math>-i.</math> Відповідно, <math>i^{2}=(-i)^{2}=-1.</math> Оскільки <math>(b,0)=b</math> та <math>(0,1)=i,</math> то <math>(0,b)=(b,0)(0,1)=bi</math> і тому <math>(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi.</math> Таким чином, кожний елемент <math>x</math> системи <math>\mathbb{C}</math> можна записати у вигляді <math>x=a+bi,</math> де <math>a,b\in\mathbb{R}.</math>

Нехай <math>\tilde{\mathbb{C}}</math> - будь-яке розширення системи дійсних чисел <math>\mathbb{R},</math> яке містить декотрий елемент <math>j,</math> для якого <math>j^{2}=-1.</math> Оскільки <math>i\in\mathbb{C}</math> та <math>j\in\mathbb{C},</math> відповідно <math>j^{2}=i^{2},</math> то <math>(j-i)(i+j)=i^{2}-j^{2}=0.</math> Однак у системы немає дільників нуля. Тому принаймні один із співмножників <math>i-j</math> та <math>i+j</math> є рівним нулю. Якщо <math>i-j=0,</math> то <math>i=j</math> та для будь-якого елемента <math>x\in\mathbb{C}</math> одержимо <math>x=a+bi=a+bj</math>; якщо ж <math>i+j=0,</math> то <math>i=-j</math> і тоді <math>x=a+bi=a-bj.</math> У обох випадках кожний елемент <math>x</math> системи <math>\mathbb{C}</math> міститься у підсистемі <math>\tilde{\mathbb{C}}</math> та, відповідно, <math>\tilde{\mathbb{C}}</math> співпадає із <math>\mathbb{C}.</math>

Комплексні числа часто позначають грецькими літерами <math>\alpha,\beta,\gamma,...\,</math> або літерою <math>z.</math> Таким чином, кожний елемент системи <math>\mathbb{C}</math> (тобто кожне комплексне число <math>\alpha</math>) можна записати у вигляді <math>\alpha=a+bi,</math> де <math>a</math> та <math>b</math> - декотрі дійсні числа, а <math>i=\sqrt{-1}.</math> 

Запис <math>\alpha=a+bi</math> називається алгебричною формою комплексного числа. Комплексне число <math>i</math> називається уявною одиницею, а числа <math>bi</math> - уявними числами. У записі <math>\alpha=a+bi</math> число <math>a</math> називається дійсною частиною комплексного числа <math>\alpha,</math> число <math>bi</math> - уявною частиною, а число <math>b</math> - коефіцієнтом уявної частини комплексного числа <math>\alpha.</math> Дійсна частина комплексного числа <math>z</math> позначається <math>\mathrm{Re}\,z,</math> а уявна - <math>\mathrm{Im}\,z.</math>

Комплексне число <math>z</math> називається алгебричним, якщо воно задовільняє декотрому рівнянню виду <math>a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n}=0,</math> де <math>a_{i}\in\mathbb{Z},</math> серед яких є хоча б одне відмінне від нуля. Степенем алгебричного числа <math>z</math> є найменше додатне ціле число <math>n,</math> за якого <math>z</math> задовільняє рівнянню степені <math>n.</math> Наприклад, будь-яке раціональне число є алгебричним першої степені, <math>\sqrt{2}</math> - алгебричне число другого степеня, <math>\sqrt{2}+\sqrt{3}</math> - алгебричне число степені <math>4.</math> Число, яке не є алгебричним, називається трансцендентним. 

==Дії над комплексними числами==
Додавання, віднімання, множення та ділення комплексних чисел здійснюється за наступними формулами:
* <math>\alpha+\beta=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,</math>
* <math>\alpha-\beta=(a+bi)-(c+bi)=(a-c)+(b-d)i</math>
* <math>\alpha\cdot\beta=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math>
* <math>\frac{\alpha}{\beta}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}-d^{2}}i,</math> де <math>\beta\neq0.</math>

За додавання комплексних чисел додаються окремо їх дійсні частини й окремо коефіцієнти уявних частин, а за віднімання комплексних чисел віднімаються окремо їх дійсні частини та коефіцієнти уявних частин. Комплексні числа множаться по правилу множення суми на суму. 

Розгляньмо приклади:
* <math>(1+3i)(3-2i)=1\cdot 3+3\cdot 3i-1\cdot 2i-i\cdot 2i=(3+6)+(9-2)i=9+7i.</math>
* <math>\frac{11+3i}{2-3i}=\frac{(11+7i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\frac{1+47i}{13}=\frac{1}{13}+3\frac{8}{13}i.</math>

Два комплексних числа, які відрізняються один від одного лише знаком при уявній частині, називаються спряженими. Число, спряжене із комплексним числом <math>\alpha,</math> позначається <math>\alpha^{*}.</math> Наприклад, комплексне число <math>\alpha^{*}=5+3i</math> є спряженим із комплексним числом <math>\alpha=5-3i.</math> Дійсне число <math>a</math> є спряженим із самим собою. 

Таким чином, щоб розділити комплексне число <math>a+bi</math> на комплексне число <math>c+di,</math> достатньо чисельник й знаменник дробу <math>\frac{a+bi}{c+di}</math> помножити на число <math>c-di,</math> яке є спряженим із знаменником. 

Сума та добуток спряжених комплексних чисел є дійсними числами. Нехай <math>\alpha=a+bi.</math> Тоді <math>\alpha^{*}=a-bi.</math> Одержимо:
* <math>\alpha+\alpha^{*}=(a+bi)+(a-bi)=2a</math>;
* <math>\alpha\cdot\alpha^{*}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}</math> (за <math>\alpha\neq0</math> добуток <math>\alpha\cdot\alpha^{*}</math> є додатним числом).

Якщо у сумі <math>\gamma=\alpha+\beta</math> кожний доданок замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число <math>\gamma^{*},</math> спряжене із <math>\gamma.</math> Зокрема, нехай <math>\alpha=bi</math> та <math>\beta=c+di.</math> Тоді:
* <math>\gamma=\alpha+\beta=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)</math>;
* <math>\alpha^{*}+\beta^{*}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i=\gamma^{*}.</math>

Таким чином, число, спряжене із сумою двох чисел, дорівнюєсумі чисел, спряжених із доданками.

Якщо у добутку <math>\delta=\alpha\cdot\beta</math> кожний співмножник замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число <math>\delta^{*},</math> спряжене із <math>\delta.</math> Зокрема, якщо <math>\alpha=a+bi</math> та <math>\beta=c+di,</math> тоді:
* <math>\delta=\alpha\cdot\beta=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,</math>
* <math>\alpha^{*}\cdot\beta^{*}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i=\delta^{*}.</math>

Таким чином, число, спряжене із добутком двох комплексних чисел, дорівнює добутку чисел, спряжених із співмножниками. 

Якщо у різниці <math>\varepsilon=\alpha-\beta</math> зменшуване й від'ємник замінити спряженими комплексними числами, то одержимо число <math>\varepsilon^{*},</math> спряжене із <math>\varepsilon.</math> Таким чином, число, спряжене із різницею комплексних чисел <math>\alpha</math> та <math>\beta,</math> дорівнює різниці чисел, спряжених із сислами <math>\alpha</math> та <math>\beta.</math>

Якщо у частці <math>\mu=\frac{\alpha}{\beta}</math> ділене та дільник замінити спряженими до них числами, то одержимо число <math>\mu^{*},</math> спряжене із <math>\mu.</math> Таким чином, число, спряжене із часткою від ділення числа <math>\alpha</math> на число <math>\beta,</math> дорівнює частці чисел, спряжених із числами <math>\alpha</math> та <math>\beta.</math>

Якщо довільне число <math>\alpha</math> виражається через комплексні числа <math>\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n}</math> (не обо'язково різні) за допомогою додавання, віднімання, множення та ділення, то, замінюючи у цьому виразі усі числа <math>\beta</math> спряженими, одержимо число <math>\alpha^{*},</math> спряжене із <math>\alpha.</math> Запевнимося у цьому, використовуючи математичну індукцію. У виразі числа <math>\alpha</math> через числа <math>\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n}</math> вказано, у якому порядку виконуються операції додавання, множення, віднімання та ділення. Застосуймо одну з цих операцій до числа <math>\gamma_{1},</math> яке виражається через числа <math>\beta_{i_{1}},\beta_{i_{2}},...,\beta_{i_{m}}</math> та до числа <math>\gamma_{2},</math> яке виражається через числа <math>\beta_{i_{m+1}},\beta_{i_{m+2}},...,\beta_{i_{n}}.</math> Замінімо числа <math>\beta_{i_{1}},\beta_{i_{2}},...,\beta_{i_{m}}</math> та <math>\beta_{i_{m+1}},\beta_{i_{m+2}},...,\beta_{i_{n}}</math> спряженими до них числами. Тоді за індукцією числа <math>\gamma_{1}</math> та <math>\gamma_{2}</math> також заміняться спряженими числами <math>\gamma^{*}_{1}</math> та <math>\gamma^{*}_{2},</math> а відповідно, число <math>\alpha</math> заміниться на спряжене до нього <math>\alpha^{*}.</math>

==Радикал==
На основі визначення кореня пишуть <math>(\sqrt[n]{a})^{n}=.</math> При цьому висловлюють теорему, за якою щоб піднести корінь до степеня, достатньо підкореневе число піднести до цього степеня, а показник кореня залишити без змін, тобто <math>(\sqrt[n]{a})^{k}=\sqrt[n]{a}^{k}.</math> У випадку <math>k=n,</math> одержуємо <math>(\sqrt[n]{a})^{n}=\sqrt[n]{a}^{n}.</math> Однак у цьому випадку нічого не говориться про область застосування даної теореми, і можна дійти до висновку, що <math>i^{2}=(\sqrt{-1})^{2}=\sqrt{(-1)^{2}}=\sqrt{+1}=\pm 1,</math> що є невірним, оскільки <math>i^{2}=-1.</math> Відповідно, висловлювана теорема є не завжди справедливою. Тому до даної теореми роблять зауваження про те, що мова йдеться про арифметичний корінь. 

У своїй книзі "Елементи алгебри" Ейлер пише: "Точно так само, як <math>\sqrt{a},</math> помножений на <math>\sqrt{b},</math> дає корінь <math>\sqrt{ab},</math> ми будемо мати <math>\sqrt{6}</math> для значення добутку <math>\sqrt{-3}\cdot\sqrt{-2}</math>; та <math>\sqrt{-4}</math> або <math>2</math> для значення добутку <math>\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-4}.</math> Ми бачимо, таким чином, що два уявних числа, перемножених один на одного, дають у добутку дійсне або можливе число". Далі він каже, що <math>\frac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{4}=2;</math> <math>\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{-1}</math> та що "одиниця, розділена на <math>\sqrt{-1},</math> дасть <math>\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}</math> чи <math>\sqrt{-1},</math> оскільки <math>1</math> є те саме, що й <math>\sqrt{1}</math>".

Французький математик та викладач Луї П'єр Бурдон у книзі "Алгебра" пише: "Правила дій над кореневими величинами, справедливі для арифметичних чисел, можуть зазнати декотрих змін для чисто алгебричних виразів". Далі він говорить: "Вважаймо, наприклад, що необхідно віднайти добуток <math>\sqrt{-a}</math> на <math>\sqrt{-a}</math>; тоді (за правилом 165) одержимо <math>\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-a}=\sqrt{a}^{2}=\pm a</math>". А потім доводить, що <math>\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}=-\sqrt{ab}</math> за умови, що перед кожним з чисел <math>\sqrt{-a}</math> та <math>\sqrt{-b}</math> стоїть знак <math>+.</math> 

Таким чином, за Ейлером <math>\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}=\sqrt{ab},</math> а за Бурдоном <math>\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}=-\sqrt{ab}</math>

Внаслідок багатозначності кореня втрачається сенс балакати про дії на коренями взагалі. Справді, що може означати добуток <math>\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}</math>? Який корінь необхідно помножити? Усі парадокси отримуються саме з того, що не враховується багатозначність кореня, підмінюючи одне значення кореня іншим. На цьому заснований відомий математичний софізм, у якому доводиться, що <math>2=3:</math>

<math>(2-\frac{3}{2})^{2}=(3-\frac{3}{2})^{2}</math> й одержують <math>2-\frac{3}{2}=3-\frac{3}{2},</math> звідки <math>2=3.</math>

Цей самий метод застосовується й для доказу теорем про корені. Зокрема, доказ теореми <math>\sqrt[n]{a}^{p}=\sqrt[nk]{a}^{pk}</math> проводиться наступним чином: обидві частини підносяться до одного й того ж степеня <math>nk,</math> після чого одержуються однакові вирази <math>a^{pk},</math> звідки робиться висновок, що числа є рівними між собою. Такий висновок можна було б зробити за єдиності кореня, однак корінь є багатозначним.

Коренем степені <math>n\in\mathbb{N}</math> з комплексного числа <math>\alpha</math> називається число <math>w,</math> для якого <math>w^{n}=\alpha,</math> й позначається <math>\sqrt[n]{\alpha}.</math>

Нехай <math>\alpha=a+bi</math> - довільне комплексне число. Припустімо, що квадратний корінь з числа <math>\alpha</math> існує і дорівнвює <math>u+iv,</math> тобто <math>\sqrt{a+bi}=u+vi.</math> Тоді <math>(u+vi)^{2}=a+bi,</math> або <math>(u^{2}-v^{2})+2uvi=a+bi.</math> Визначмо <math>u</math> та <math>v</math> прирівнявши дійсні та уявні числа обох частин, внаслідок чого одержимо: <math>\begin{cases}u^{2}-v^{2}=a,\\ 2uv=b.\end{cases}</math> Після піднесення кожного з цих рівнянь до квадрату й потім почленного їх додавання одержимо <math>(u^{2}+v^{2})^{2}=a^{2}+b^{2},</math> звідки <math>u^{2}+v^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}</math> (обераємо додатне значення кореня, оскільки числа <math>u</math> та <math>v</math> є дійсними, відповідно, <math>u^{2}+v^{2}>0</math>). 

З рівнянь <math>u^{2}-v^{2}=a</math> та <math>2uv=b</math> одержуємо: <math>\begin{matrix}u^{2}=\frac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a),\\ v^{2}=\frac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a).\end{matrix}</math> Звідси слідує, що 

<math>u=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}},\quad\quad v=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}.</math>

За будь-яких <math>a</math> та <math>b</math> підкореневі вирази у цих формулах числа є невід'ємними. Відтак усі значення <math>u</math> та <math>v</math> є дійсними. Для віднаходження <math>u+vi</math> значення <math>u</math> та <math>v</math> не можна комбінувати довільно, оскільки у <math>2uv=b</math> знак добутку <math>uv</math> повинен співпадати із знаком числа <math>b.</math> Відповідно, за <math>b>0</math> значення <math>u</math> та <math>v</math> повинні мати протилежні знаки та, відповідно, радикали необхідно брати із протилежними знаками. Таким чином, якщо корінь квадратний з комплексного числа <math>\alpha=a+bi</math> існує, то його значення визначаються формулами:

<math>\begin{matrix}\sqrt{a+bi}=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),\quad\text{якщо}\,b>0;\\ \sqrt{a+bi}=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),\quad\text{якщо}\,b<0.\end{matrix}</math>

Квадрат довільного з чисел, заданих цими формулами, дорівнює <math>a+bi.</math> Таким чином, ці числа є значеннями квадратного коленя з числа <math>\alpha=a+bi.</math> У випадку, коли <math>\alpha=0,</math> то <math>\sqrt{\alpha}=0.</math>

Таким чином, операція вилучення квадратного кореня у системі <math>\mathbb{C}</math> завжди виконувана: якщо <math>\alpha=0,</math> то <math>\sqrt{\alpha}=0,</math> а якщо <math>\alpha\neq0,</math> то <math>\sqrt{\alpha}</math> має у системі <math>\mathbb{C}</math> два значення, які відрізняються один від одного лише знаком. Зокрема, квадратний корінь з від'ємного числа у системі <math>\mathbb{C}</math> приймає два уявних значення. Справді, якщо <math>a<0</math> та <math>b=0,</math> то <math>\sqrt{a^{2}+b^{2}}=-a,</math> оскільки корінь <math>\sqrt{a^{2}+b^{2}}</math> повинен бути додатним. Відтак <math>u^{2}=0</math> та <math>v^{2}=-a,</math> тобто <math>u=0</math> та <math>v=\pm\sqrt{-a}</math> та, відповідно, <math>\sqrt{a}=u+vi=\pm\sqrt{-a}i.</math>

Наприклад, розгляньмо квадратний корінь <math>\sqrt{-5-12i}=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{169}-5}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{169}+5}{2}})=\pm(2-3i).</math> Розгляньмо також <math>\sqrt{-4}=\pm\sqrt{4}i=\pm 2i.</math>

Цей метод вилучення квадратного кореня з комплексного числа не можна застосовувати на корені більш високого степеня, оскільки вилучити корінь вищого (більшого, ніж другого) степеня з комплексного числа у алгебричній формі неможливо. Наприклад, вже для кубічного кореня з припущення <math>\sqrt[3]{a+bi}=x+yi</math> одержуємо систему рівнянь <math>\begin{cases}x^{3}-3xy^{2}=a,\\ 3x^{2}y-y^{3}=b,\end{cases}</math> для вирішення якої необхідно уміти знаходити корені кубічного рівняння. 

Припущення про те, що корінь непарного степеня з додатного числа має лише одне додатне значення, а корінь парного степеня з додатного числа має два значення, є невірним. 

Питання про вилучення кореня будь-якого степеня <math>n</math> з комплексного числа можна вирішити, якщо скористатися тригонометричною формою числа <math>\alpha.</math>

==Геометричний зміст комплексного числа==
Кожне комплексне число <math>z=x+iy,</math> де <math>i</math> - уявна одиниця (<math>i^{2}=-1</math>), зручно зображувати точкою <math>M</math> площини із декартовими координатами <math>x,y.</math> Із кожною точкою <math>M</math> площини пов'язаний взаємно однозначно вектор <math>r</math> із початком у точці <math>O</math> координат (тобто проводиться від початкової точки). Такий вектор називають радіус-вектором точки <math>M,</math> а координати точки <math>M</math> називаються компонентами радіус-вектора. Тому комплексне число <math>z=a+ib</math> геометрично можна зобразити за допомогою радіус-вектора із координатами <math>(x,y).</math> Точку <math>(x,y)</math> із декартовими координатами називають афіксом (лат. affixus - прикріплений, причеплений). 

[[Файл:Rvector123.tif|центр]]

Якщо <math>z_{1}=x_{1}+iy_{1}</math> та <math>z_{2}=x_{2}+iy_{2}</math> - два комплексних числа, а <math>r_{1}</math> та <math>r_{2}</math> - відповідні їм радіус-вектори, то формули для чисел <math>z_{1}-z_{2}</math> та <math>z_{1}+z_{2}</math> за визначенням наступні: <math>z_{1}+z_{1}=(x_{1}+y_{2})+i(y_{1}+y_{2})</math> та <math>z_{1}-z_{2}=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).</math> З правил додавання й віднімання векторів (правило паралелограму) слідує, що вектори <math>r_{1}+r_{2}</math> та <math>r_{1}-r_{2}</math> мають координати <math>x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}</math> та <math>x_{1}-x_{2},\,y_{1}-y_{2}</math> відповідно. Тому сумі й різниці комплексних чисел відповідають радіуси вектори, які є сумою та різницею радіусів-векторів, які позначають дані комплексні числа.

[[Файл:Paralelocomp.tif|центр]]

Число <math>z^{*}=x-iy</math> є числом, спряженим <math>z=x+iy.</math> Нехай <math>M</math> є кінцем радіус-вектора <math>r,</math> який відповідає числу <math>z=x+iy,</math> a <math>M_{1}</math> є кінцем радуса-вектора <math>r_{1},</math> який відповідає спряженому <math>z^{*}=x-iy.</math> Оскільки точки <math>M</math> та <math>M_{1}</math> мають відповідно координати <math>x,y</math> та <math>x,-y,</math> то <math>M_{1}</math> одержується з <math>M</math> відбиттям у осі <math>x.</math> 

[[Файл:Iversijacomp.tif|центр]]

Нехай <math>z</math> - декотре комплексне число та <math>r</math> - радіус-вектор, який зображує це число. Позначмо через <math>|z|</math> довжину вектора <math>r,</math> а через <math>\varphi</math> кут, відлічуваний від додатної частини осі <math>x</math> до вектора <math>r</math> проти годинкової стрілки. Число <math>|z|</math> називається модулем комплексного числа, а кут <math>\varphi</math> - його аргументом. Модуль позначають літерою <math>\rho,</math> а аргумент <math>\varphi=\mathrm{arg}\,z.</math> Таким чином, для комплексного числа <math>z=x+iy</math> одержимо <math>x=\rho\cos\varphi</math> та <math>y=\rho\sin\varphi.</math> Звідси <math>z=x+iy=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi).</math> Запис числа <math>z=x+iy</math> у вигляді <math>z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math> називається тригонометричною формою комплексного числа.

[[Файл:Modulzcomp.tif|центр]]

Разом із кутами, відлічуваними від додатної частини осі <math>x</math> до вектора проти годинкової стрілки, розглядають й від'ємні кути, які відлічуються від додатної частини осі <math>x</math> до вектора <math>r</math> за напрямком годинкової стрілки. 

Якщо <math>z^{*}=x-iy</math> - число, спряжене числу <math>z=x+iy=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi),</math> то <math>z^{*}=\rho(\cos\varphi-i\sin\varphi)=\rho(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))=\rho(\cos(2\pi-\varphi)+i\sin(2\pi-\varphi)).</math>

Тому в якості аргумента числа <math>z^{*}</math> можна взяти будь-який з кутів <math>-\varphi</math> чи <math>2\pi-\varphi.</math> Оскільки синус та косинус є періодичними функціями із періодом <math>2\pi,</math> то значення аргумента комплексного числа <math>z</math> визначається із точністю до цілого кратного <math>2\pi.</math> Тому виділяють серед значень аргумента так зване головне значення, яке знаходиться в межах від нуля до <math>2\pi.</math>

[[Файл:Iversjacomp.tif|центр]]

==Логарифм комплексного числа==

За будь-яких значень числа <math>z</math> під виразом <math>e^{z}</math> розуміють наступну рівність:
<math>e^{z}=1+z+\frac{z^{2}}{1\cdot 2}+\frac{z^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}+...\,.</math>

Число <math>w</math> називається логарифмом комплексного числа <math>z,</math> якщо справджується наступна рівність: <math>e^{w}=z.</math> Наприклад, нехай <math>z=0.</math> У системі дійсних чисел <math>\mathbb{R}</math> для будь-якого <math>a\in\mathbb{R}</math> рівність <math>e^{a}=0</math> є неможливою. Однак за припущення, що число <math>z=0</math> має комплексний логарифм <math>w=a+bi,</math> то <math>e^{w}=0,</math> при цьому <math>e^{a}\cdot e^{bi}=0.</math> 

За розгляду модулів обох частин одержимо <math>e^{a}=0,</math> тобто повинне існувати дійсне число <math>a\in\mathbb{R},</math> для якого <math>e^{a}=0,</math> однак це неможливо. Відтак число <math>0</math> у системі комплексних чисел <math>\mathbb{C}</math> логарифмів не має.

==Аналітична функція==
Похідна <math>f'(z)</math> функції <math>f(z)</math> у точці <math>z</math> визначається за формулою: <math>f'(z)=\lim_{d\to0}\frac{f(z+d)-f(z)}{d}.</math> Якщо <math>f(z)</math> має похідну не лише у точці <math>z,</math> але й у кожній точці з декотрого околу точки <math>Zz</math> (декотрого кола із центром у точці <math>z</math>), то функція називається аналітичною у точці <math>z.</math>

Функція <math>f(z)</math> називається аналітичною на множині <math>\mathbb{C},</math> якщо вона є аналітичною у кожній точці <math>z\in \mathbb{C}.</math> Наприклад, функція <math>f(z)=z^{2}</math> має похідну у кожній точці комплексної <math>z</math>-площини (площини із точками <math>z</math>): <math>\lim_{d\to0}\frac{f(z+d)-f(z)}{d}=\lim_{d\to0}\frac{(z+d)^{2}-z^{2}}{d}=\lim_{d\to0}(2z+d)=2z.</math> Таким чином, <math>f'(z)=2z.</math> Однак вона має похідну й у околі точки <math>z,</math> тобто функція <math>z^{2}</math> є аналітичною на усій комплексній <math>z</math>-площині. Функція ж <math>f(z)=|z|^{2}</math> має похідну лише у точці <math>z=0.</math> У цьому випадку функція <math>|z|^{2}</math> у даній точці не є аналітичною. Не є аналітичними й функції <math>|z|,\,\,\mathrm{Re}\,z,\,\,\mathrm{Im}\,z.</math>

До аналітичних функцій відносяться раціональні функції від змінної <math>z</math> (тобто відношення поліномів <math>\frac{P(z)}{\mathbb{Q}(z)}</math>) та функції, які можна визначити у деякому колі у вигляді степеневого ряду <math>\sum^{\infty}_{k=0}a_{k}z^{k}</math> чи <math>\sum^{\infty}_{k=0}a_{k}(z-a)^{k}.</math>

==Основна теорема алгебри==

За основною теоремою алгебри, будь-який поліном із показником степеня <math>n>0</math> має хоча б один корінь (комплексний чи дійсний). Іншими словами, у системі <math>\mathbb{C}</math> не лише квадратний поліном <math>x^{2}=a+bi,</math> але й будь-який поліном <math>P(z),</math> який не є константою, має корені. Якщо б поліном <math>P(z)</math> не мав жодного комплексного кореня, то <math>\frac{1}{P(z)}=f(z)</math> була б функцією, регулярною в усій площині комплексної змінної <math>z</math> та обмеженою (навіть збігалася б до нуля) за <math>z\to\infty</math> (за теоремою Ліувіля - константною). Тоді й <math>P(z)</math> був би константою. 

===Геометричний зміст основної теореми алгебри===
Основна теорема алгебри була доведена Гаусом у 1799 році для часткового випадку поліномів із дійсними коефіцієнтами. Математик Л.С.Понтрягін запропонував несуворий, але геометрично наочний її доказ, який полягає у наступному. На відміну від системи дійсних чисел <math>\mathbb{R},</math> система комплексних чисел <math>\mathbb{C}</math> є алгебрично замкнутою: розглядаючи корені поліномів у системі <math>\mathbb{C}</math> не можна одержати нових чисел. Система <math>\mathbb{C}</math> слідує з системи дійсних чисел <math>\mathbb{R}</math> приєднанням лише одного кореня рівняння <math>z^{2}+1=0.</math> 

Якщо вважати, що точка <math>z</math> у площині <math>P</math> комплексної змінної переміщується у часі, тоді час <math>t</math> змінюється у межах <math>t_{0}\leq t\leq t_{1}.</math> Таким чином можна вважати, що у площині <math>P</math> заданий шлях. Розгляньмо функцію <math>z(t)</math> дійсної змінної <math>t.</math> Ця функція приймає комплексні значення, задані на відрізку <math>D(z)=[t_{0},t_{1}]:</math> 

<math>z(t),\quad\quad t_{0}\leq t\leq t_{1}.</math>

Ця формула задає шлях точки <math>z</math> без стрибків, відтак <math>z(t)</math> є неперервною функцією. Варто відзначити, що шлях - це процес руху, а не лінія, яка описує рух точки. 

[[Файл:Zfunccyc.tif|центр]]

У процесі руху точка <math>z(t)</math> може у різні моменти часу повертатися у одну й тусаму точку площини, відтак можлива рівність <math>z(t_{2})=z(t_{3})</math> за <math>t_{2}\neq t_{3}.</math> Відтак шлях може мати самоперетин. Точка <math>z(t_{0})=z_{0}</math> називається початком шляху, а точка <math>z(t_{1})=z_{1}</math> - кінцем шляху. Якщо <math>z_{0}=z_{1},</math> то шлях називається замкнутим. 

[[Файл:Geofzcyc.tif|центр]]

Будемо вважати, що шлях не проходить через початок координат, тобто значення функції <math>z(t)</math> не набуває значення <math>0</math> ні за якого значення <math>t.</math> Для будь-якого значення <math>t</math> визначений аргумент <math>\varphi(t)</math> комплексного числа <math>z(t)</math> із точністю до доданка <math>2k\pi,</math> де <math>k</math> є індексом замкнутого шляху у площині комплексної змінної <math>z.</math> Індекс можна визначити лише за умови, якщо шлях не проходить через початок координат. Оберімо початкове значення аргумента <math>\varphi(t_{0})=\varphi_{0}.</math> Якщо аргумент <math>\varphi(t)</math> точки <math>z(t)</math> змінюється разом із плином <math>t</math> неперервно, то функція <math>\varphi(t)</math> є неперервною (без стрибків). Якщо початкове значення аргумента замінити на <math>2k\pi,</math> то він буде відрізнятися від попереднього рівно на <math>2k\pi</math> на протязі виміру <math>t.</math> Таким чином, за такого задання функції <math>\varphi(t)</math> величина <math>\varphi(t_{1})-\varphi(t_{0})</math> є незалежною від довільного обраного початкового значення аргумента числа <math>z_{0}.</math> Якщо точки <math>z_{0}</math> та <math>z_{1}</math> співпадають, то шлях замкнутий, відповідно, їх аргументи <math>\varphi(t_{0})</math> та <math>\varphi(t_{1})</math> можуть відрізнятися лише на <math>2k\pi.</math> Тому у випадку замкнутого шляху різниця <math>\varphi(t_{1})-\varphi(t_{1})=2k\pi.</math>

Уведімо у розгляд поняття деформації шляху. Вважаймо, що шлях деформується, якщо він поступово змінюється без стрибків в залежності від декотрого параметра. Оберімо у площині <math>P</math> пряму, паралельну осі <math>Oy.</math> Ця пряма має рівняння <math>x=a,</math> де <math>a</math> - фіксоване число. Вважаймо, що <math>a\neq0.</math> Для точок прямої маємо <math>z=a+yi,</math> де <math>-\infty<y<+\infty.</math> Нехай <math>w=u+vi</math> для точок площини <math>\tilde{P},</math> які відповідають точкам прямої <math>x=a.</math> Визначмо залежності <math>u=a^{2}-y^{2},\,v=2ay,</math> де <math>-\infty< y<+\infty.</math> Коли <math>y</math> пробігає усі дійсні числа, то точка <math>w=u+vi</math> опише деяку фігуру. Виключимо з останніх двох рівнянь <math>y,</math> виразивши <math>y=\frac{v}{2ay}.</math> Відтак для <math>u=a^{2}-y^{2}</math> одержимо <math>u=a^{2}-\frac{v^{2}}{4a^{2}}.</math> Це рівняння задає у <math>\tilde{P}</math> деяку параболу. Віссю <math>\tilde{P}</math> є дійсна вісь, а гілки цієї параболи спрямовані ліворуч. Знайдімо її точки перетину із осями координат: якщо <math>v=0,</math> то <math>u=a^{2}</math>; якщо <math>u=0,</math> то <math>v^{2}=4a^{4}</math> та <math>v=\pm 2a^{2}.</math> Таким чином, функція <math>w=z^{2}</math> деформує пряму, паралельну <math>Oy,</math> у параболу. Множина прямих, паралельних уявній осі (тобто прямі, задані рівняннями <math>x=a</math>), перетворюється у множину парабол, чиї гілки йдуть ліворуч. За будь-якого <math>a\neq 0</math> пряма із рівнянням <math>x=a</math> та пряма із рівнянням <math>x=-a</math> (вони є симетричними відносно уявної осі) переходять у одну і ту саму параболу. Із наближенням прямої <math>x=a</math> до уявної осі (із зменшенням числа <math>|a|</math>) відповідна парабола все ближче прилягає до від'ємному променю дійсної осі.

Так само можна показати, що та сама функція <math>w=z^{2}</math> деформує кожну пряму <math>y=b</math> (де <math>b</math> - деяка фіксована величина, причому <math>b\neq0</math>) у параболу <math>u=\frac{v^{2}}{4b^{2}}-b^{2}.</math> У цьому випадку функція <math>w=z^{2}</math> деформує множину прямих <math>y=b</math> у множину парабол, гілки яких спрямовані праворуч. 

Кожна парабола першої множини (із гілками ліворуч) перетинає кожну параболу другої множини (із гілками праворуч). На наступному малюнку показані параболи, у які функція <math>w=z^{2}</math> деформує прямі, паралельні осям ординат.

[[Файл:Paraboladefornliniya.tif|центр]]

Якщо числове значення комплексної змінної <math>w</math> можна віднайти, знаючи значення іншої комплексної змінної <math>z,</math> то змінна <math>w</math> називається функцією змінної <math>z</math> й записується <math>w=f(z).</math> Якщо комплексна функція <math>f(z)</math> комплексної змінної <math>z</math> має похідну, то вона називається аналітичною функцією. 

Розгляньмо поліном <math>w=f(z)=z^{n}+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n},</math> де <math>a_{1},a_{2},...,a_{n}</math> є комплексними коефіцієнтами, а степінь полінома <math>n</math> - невід'ємне ціле число. Головна ідея полягає у тому, щоб запевнитися, що цей поліном має корінь, тобто рівняння <math>f(z)=0</math> за <math>n>0</math> має рішення.

Переконаймося у існуванні такого рішення, розглянувши шлях <math>f[r(\cos\alpha+i\sin\alpha)],</math> де <math>\alpha\in[0,2\pi].</math> Цей шлях описує замкнутий шлях <math>r(\cos\alpha+i\sin\alpha),</math> де <math>\alpha\in[0,2\pi].</math> Він залежить від параметра <math>r</math> та за його зміни деформується. За <math>r=0</math> число <math>z</math> дорівнює <math>0</math> і шлях <math>f(z)</math> складається із нерухомої точки <math>a_{n}.</math> Відтак його індекс за <math>r=0</math> дорівнює <math>0.</math> Якщо взяти параметр <math>r</math> достатньо великим, то цей шлях буде дорівнювати <math>n.</math> Випадок, коли вільний член <math>a_{n}</math> дорівнює нулю, є тривіальним, оскільки поліном <math>f(z)</math> має відповідно корінь <math>f(z)=0.</math> Якщо <math>n\neq0,</math> то за зміни числа <math>r\to 0,</math> шлях, деформуючись, пройде за деякого значення <math>r</math> через початок координат, а це означає, що за деякого значення <math>z</math> поліном <math>f(z)</math> буде рівним нулю, тобто корінь у цього полінома існує.

[[Файл:Gweqg2g2g.tif|центр]]

Продеформуймо шлях <math>(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> у більш простий. Для цього розкладімо поліном <math>f(z)</math> на суму двох поліномів <math>f(z)=z^{n}+g(z),</math> де <math>g(z)</math> задається формулою <math>g(z)=a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{n-2}+...+a_{n-1}z+a_{n}.</math> Оскільки коефіцієнти <math>a_{1},a_{2},...,a_{n}</math> полінома <math>f(z)</math> є визначеними числами, то усі вони не перебільшують по модулю деяку константу <math>C.</math> За правилом паралелограму <math>z_{1}+z_{2}</math> - це діагональ паралелограму, побудованого на векторах <math>z_{1}+z_{2}.</math> Звідси слідує нерівність <math>|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|.</math> За <math>|z|>1</math> одержимо <math>|g(z)|\leq nc|z^{n-1}|.</math>

Розгляньмо поліном <math>f(z,s),</math> який залежить від параметра <math>s,</math> де <math>s\in[0,1].</math> Він задається формулою <math>f(z,s)=z^{n}+sg(z).</math> Маємо рівність <math>z^{n}=f(z,s)-sg(z),</math> звідки <math>|z^{n}|\leq|f(z,s)| +|-sg(z)|\leq|f(z,s)|+nc|z^{n-1}|s\leq |f(z,s)|+nc|z^{n-1}|,</math> звідки слідує <math>|f(z,s)|\geq|z^{n}|-nc|z^{n-1}|.</math>

Якщо <math>|z|</math> позначити через <math>r,</math> одержимо нерівність <math>|f(z,s)|\geq r^{n}-ncr^{-1}=r^{n-1}(r-cn).</math> Відтак за <math>r>cn</math> права частина попередньої нерівності є додатною. Відповідно, модуль функції <math>f(z,s)</math> не набуває нульового значення за будь-якого значення параметра <math>s,</math> якщо лише <math>r>cn.</math> 

За <math>s=0</math> поліном <math>f(z,s)</math> перетворюється на поліном <math>z^{n}.</math> Індекс шляху <math>z^{n},</math> коли <math>z</math> описує коло <math>r(\cos\alpha+i\sin\alpha)</math> дорівнює <math>n.</math> За <math>s=1</math> поліном <math>f(z,s)</math> перетворюється на поліном <math>f(z),</math> та замкнутий шлях <math>f[r(\cos\alpha+i\sin\alpha)],\,\,\alpha\in[0,\,2\pi]</math>, який ним описується, має індекс <math>n</math> за <math>r>cn.</math> Якщо вважати, що за зміни <math>r</math> від <math>0</math> до <math>cn+\varepsilon,</math> де <math>\varepsilon>0,</math> цей шлях перетворюється у одну точку та його індекс дорівнює <math>0,</math> а за <math>r=cn+\varepsilon</math> його індекс дорівнює <math>n.</math> Таким чином, у процесі зміни <math>r</math> шлях за деякого значення <math>r</math> проходить через початок координат, а це значить, що поліном <math>f(z)</math> за деякого значення <math>z,</math> <math>|z|\leq cn+\varepsilon,</math> набуває нульового значення.

==Резольвенти==
Резольвентою рівняння <math>f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0</math> степені <math>n,</math> незвідним у системі <math>\mathbb{C},</math> називається рівняння <math>g(x)=0</math> (де <math>g(x)</math> - поліном) таке, що приєднання одного з коренів рівняння <math>g(x)=0</math> до системи <math>\mathbb{C}</math> дає систему, яка містить усі корені рівняння <math>f(x)=0.</math> Коефіцієнти алгебричного рівняння <math>g(x)=0</math> раціонально залежать від коефіцієнтів <math>f(x),</math> тому знання коренів рівняння <math>g(x)=0</math> дозволяє віднайти корені <math>f(x)=0.</math>

Поняття резольвенти було уведене у зв'язку із задачею рішення довільного рівняння степені <math>n.</math>
{{Гортання сторінок|Дійсні числа|}}
[[Категорія:Основні числові системи]]