Перегляд вихідного коду сторінки Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних. Однорідні тригонометричні рівняння. Розв’язування вправ|Наступна]]
__ОБОВ_ЗМІСТ__
==Обернені тригонометричні функції==
Нехай про кут <math>\phi</math> відомо лише те, що його синус дорівнює <math>\frac{1}{2}</math>:<br>
 <math>\sin \phi = \frac{1}{2}</math>. <br>
Чи можемо ми знайти цей кут? Як відомо, <math>\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}</math>. Тому можливо, що <math> \phi = \frac{\pi}{6}</math>. Разом з тим в силу періодичності синуса <math>\sin \left (\frac{\pi}{6}+2\pi\right) = \sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}</math>. Тому не виключена можливість, що <math> \phi = \frac{\pi}{6}+ 2 \pi</math>. Взагалі, яке б не було <math>n \in \mathbb{Z}</math>, <math>\sin \left (\frac{\pi}{6}+2\pi n \right) = \sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}</math>. Отже, шуканим кутом <math>\phi</math> може бути будь-який з кутів <math> \frac{\pi}{6}</math>, <math> \frac{\pi}{6} \pm 2\pi</math>, <math> \frac{\pi}{6} \pm 4\pi</math>, <math> \frac{\pi}{6} \pm 6\pi</math> і т.д. Таким чином, за означенням свого синуса кут визначається неоднозначно.<br>
''Функція, обернена до функції <math>y = \sin x</math>, заданої на кожному з проміжків <math>\left [\frac{2k-1}{2}\pi;\frac{2k+1}{2}\pi\right ]</math>, <math>k \in \mathbb{Z}</math>, називається '''арксинусом''' і позначається '''<math>y=Arcsin x</math>'''.''<br>
[[File:Арксинус.png|thumb|]]
Позначення <math>y=Arcsin x</math> від латинського ''arcus cuius sinus x est'' і означає, що у є величиною такого кута в радіанах, синус якого дорівнює <math>x</math>. Про арксинус як функцію обернену до функції синус дає змогу говорити теорема про існування і неперервність оберненої функції. Згідно неї, функція <math>f(x)</math> має обернену функцію на проміжку, якщо вона неперервна і монотонна на цьому проміжку. Дійсно, функція <math>y= \sin x</math> неперервна на всій області визначення і монотонна на кожному з проміжків <math>\left [\frac{2k-1}{2}\pi;\frac{2k+1}{2}\pi\right ]</math>, <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Крім того, на кожному з цих проміжків функція <math>y= \sin x</math> пробігає всю множину значень (від -1 до 1). Саме тому ми можемо говорити про функцію <math>y=Arcsin x</math> як обернену до функції <math>y=\sin x</math>.<br>
Найчастіше використовують функцію <math>y=Arcsin x</math> при <math>k=0</math>. Тоді говорять про '''''головне значення арксинуса''''', яке позначають <math>y=arcsin x</math>. Як відомо, графіки прямої та оберненої функції симетричні відносно прямої <math>y=x</math>. Це дає змогу легко зобразити графік функції <math>y = arcsin x</math> (''див. малюнок'')<br>
Дамо аналогічні означення інших обернених тригонометричних функцій.<br>
''Функція, обернена до функції <math>y= \cos x</math>, заданої на кожному з проміжків <math>\left [ k\pi; \left (k+1 \right ) \pi \right ] </math>,     <math>k \in \mathbb(Z)</math>, називається '''арккосинусом''' і позначається <math>y=Arccos x </math>.'' <br>
[[File:Arccosx.png|міні|ліворуч|Графік функції y=arccos x]]
[[File:Arctgx.png|thumb|Графік функції y = arctg x]]
[[File:Arcctgx.png|thumb|Графік функції y = arcctg x]]''Функція, обернена до функції <math> y=tg x </math>, заданої на кожному з проміжків <math>\left [ \frac{2k-1}{2}\pi; \frac{2k+1}{2}\pi \right ] </math>, <math>k \in \mathbb(Z)</math>, називається '''арктангенсом''' і позначається <math>y=Arctg x</math>.''<br>
''Функція, обернена до функції <math> y=ctg x </math>, заданої на кожному з проміжків <math>\left [ k\pi; \left (k+1 \right ) \pi \right ] </math>,     <math>k \in \mathbb(Z)</math>, називається '''арккотангенсом''' і позначається <math>y=Arcctg x</math>.''<br>
Так само, як і у випадку <math>y=Arcsin x</math>, функції <math>y=Arccos x</math>, <math>y=Arctg x</math>, <math>y=Arcctg x</math> монотонні і існують для кожного <math>k</math> згідно теореми про існування і неперервність оберненої функції.<br>
При <math>k=0</math> можемо говорити про '''''головні значення обернених тригонометричних функцій''''':<br>
# <math>y=arccos x</math> з множиною значень <math>\left [ 0; \pi \right ] </math>;
# <math>y=arctg x</math> з множиною значень <math>\left [ \frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right ] </math>;
# <math>y=arcctg x</math> з множиною значень <math>\left [ 0; \pi \right ] </math>.
Графіки функцій <math>y=arccos x</math>, <math>y=arctg x</math>, <math>y=arcctg x</math> зображені на малюнках.<br>
==Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування==
'''''Найпростішими тригонометричними рівняннями''''' ми будемо називати рівняння вигляду <math>\sin x=a</math>, <math>\cos x=a</math>, <math>tg x=a</math>, <math>ctg x=a</math>. Розглянемо, які корені мають ці рівняння.<br>
[[File:Корені рівняння sin x = a.png|thumb|Корені рівняння <math>\sin x=a</math>]]
Розглянемо рівняння <math>\sin x=a</math>.<br>
Кожен корінь рівняння <math>\sin x=a</math> можна розглядати як абсцису якоїсь точки перетину синусоїди <math>y = \sin x</math> з прямою <math>y = a</math> і, навпаки, абсциса кожної такої точки перетину є одним з коренів даного рівняння.<br>
При <math>\left | a \right | > 1</math> синусоїда <math>y = \sin x</math> не перетинається з прямою <math>y = a</math>. У цьому випадку рівняння <math>\sin x=a</math> коренів не має.<br>
Нехай <math>0< a < 1</math>. Тоді на проміжку <math>0 \le x \le \pi</math> маємо дві точки перетину <math>A</math> і <math>B</math>.<br>
Точка <math>A</math> попадає і на проміжок <math>\left [ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right ] </math>. Тому її абсциса дорівнює <math> x_1 = arcsin a </math>. Що ж до точки <math>B</math>, то її абсциса, як легко побачити з малюнка, дорівнює <math> x_2 = \pi - arcsin a </math>. Всі інші точки перетину синусоїди <math>y = \sin x</math> з прямою <math>y = a</math> ми розіб’ємо на дві групи:<br>
<math>..., A_{-2}, A_{-1}, A_1, A_2, ... </math> та <math>..., B_{-2}, B_{-1}, B_1, B_2, ... </math>.<br>
Точки першої групи віддалені від <math>A</math> на відстані, кратні <math>2 \pi</math>, і тому мають абсциси <math>arcsin a + 2 n \pi</math>, <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Точки другої групи віддалені від точки <math>B</math> на відстані, кратні <math>2 \pi</math>, і тому мають абсциси <math> \pi - arcsin a + 2 k \pi = - arcsin a + \left( 2 k + 1 \right ) \pi</math> , <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Таким чином, рівняння <math>\sin x=a</math> має дві групи коренів. Легко зрозуміти, що обидві ці групи можна подати однією формулою: 
 <math> x = \left( - 1 \right ) ^m arcsin a + m \pi </math> , <math> m \in \mathbb{Z} </math>(63)
До такого ж результату можна прийти і тоді, коли <math> -1< a < 0 </math>. Ми не будемо докладно розбирати цей випадок, а пропонуємо зробити це самостійно.<br>
При <math> a = 0 </math> рівняння <math> \sin x = a </math> має корені <br>
 <math> x = m \pi </math> , <math> m \in \mathbb{Z} </math>. (64)<br>
Такий самий результат дає і формула (63) при <math> a = 0 </math>.<br>
При <math> a = 1 </math> коренями рівняння <math> \sin x = a </math> будуть числа<br>
 <math> x = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot k \pi </math> , <math> k \in \mathbb{Z} </math>. (65)<br>
Формула (63) охоплює і цей випадок. Справді, поклавши в ній <math> a = 1 </math> і врахувавши, що <math> arcsin 1 = \frac {\pi}{2}</math>, дістаємо:<br>
 <math> \left( - 1 \right ) ^m arcsin 1 + m \pi = \left( - 1 \right ) ^m \frac{\pi}{2} + m \pi </math> , <math> m \in \mathbb{Z} </math>.<br>
Якщо <math> m </math> – парне ( <math> m = 2 k </math> ), то <math> \left( - 1 \right ) ^m arcsin 1 + m \pi = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot k \pi </math> , <math> m, k \in \mathbb{Z} </math>. Якщо <math> m </math> – непарне ( <math> m = 2 k + 1 </math> ), то <math> \left( - 1 \right ) ^m arcsin 1 + m \pi = - \frac{\pi}{2} + 2 \cdot k \pi = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot k \pi </math> , <math> m, k \in \mathbb{Z} </math>. І той, і другий випадок враховується формулою (65).<br>
Якщо <math> a = -1 </math>, то коренями рівняння <math> \sin x = a </math> будуть числа: <br>
 <math> x = - \frac{\pi}{2} + 2 \cdot k \pi </math> , <math> k \in \mathbb{Z} </math>. (66)<br>
Формула (63) дає той же результат.<br>
Формули коренів рівнянь <math> \cos x = a </math>, <math> tg x = a </math>, <math> ctg x = a </math> шукаються аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Ми обмежимось тим, що занесемо корені найпростіших тригонометричних рівнянь до таблиці(<math> n </math> – довільне ціле число):<br>
{| border=1 bgcolor=#F6FFFF
 |Рівняння
 |Обмеження
 |Формули
 |-
 |<math>\sin x=a</math>
 |<math> \left | a \right | \le 1 </math>
 |<math> x = \left( - 1 \right ) ^m arcsin a + m \pi </math> , <math> m \in \mathbb{Z} </math>
 |-
 |<math>\cos x=a</math>
 |<math> \left | a \right | \le 1 </math>
 |<math> x = \pm arccos a + 2 \cdot m \pi </math> , <math> m \in \mathbb{Z} </math>
 |-
 |<math>tg x=a</math>
 |немає
 |<math> x = arctg a + m \pi </math> , <math> m \in \mathbb{Z} </math>
 |-
 |<math>ctg x=a</math>
 |немає
 |<math> x = arcctg a + m \pi </math> , <math> m \in \mathbb{Z} </math>
 |}

===Вправи=== 
Розв’язати рівняння.<br>

74. <math> \sin x = \frac{ \sqrt{2}}{2} </math>

75. <math> \cos x = \frac{1}{2} </math>

76. <math> tg x = 1 </math>

77. <math> ctg x = \sqrt{3} </math>

78. <math> tg x + ctg x = 2 </math>

79. Розв’язати вправи 74-75 за допомогою тригонометричного кола.

80. Розв’язати вправу 76 за допомогою лінії тангенсів.

[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних. Однорідні тригонометричні рівняння. Розв’язування вправ|Наступна]]
[[Категорія:Основи тригонометрії]]