Перегляд вихідного коду сторінки Вступ до алгебричної геометрії/Топологія. Топологічний простір

===Топологія. Топологічний простір===
Головною ідеєю топології є суцільність, тобто неперервність. Уявіть собі суцільний шматок тіста або пластиліну у формі кулі, який можна деформувати у певну множину фігур - наприклад, у повнотілі фігурки тварин (ведмедя, зайця чи іншої тварини). Порушуючи суцільність, наприклад, проколюючи цей суцільний шматок (роблячи у ньому отвір), ми отримуємо іншу форму, яка визначає множину інших фігур - серед них, наприклад, бублик або кружка. 

[[Файл:Mug and Torus morph.gif|центр]]

Тобто фігура є частиною більш загального явища - форми, яку можна деформовувати. У топології замість слова форма застосовують словосполучення топологічний простір, а під деформаціями розуміють взаємно однозначні відрображення топологічних просторів. Якщо два топологічні простори можна деформувати один в одного, то вони називаються гомеоморфними. При цьому кажуть, що топологічні простори є однакового топологічного типу, якщо вони гомеоморфні. 

Краще розуміння поняття суцільності дає кінематичне задання лінії, поверхні та об'ємної фігури. Множина послідовних положень точки утворює лінію. Тобто, торкаючись ручкою паперу, ми утворюємо точку. При цьому потрібно зауважити, що точка не має конкретних розмірів чи структури, однак вважається геометричним об'єктом. Якщо, не відриваючи ручки від паперу, перемістити цю точку з однієї частини паперу до іншої, утвориться неперервна лінія (пряма чи крива), що складається з послідовних положень цієї точки. Таким самим чином множина послідовних положень лінії утворює поверхню. А множина послідовних положень поверхні утворює об'ємну фігуру. Такі множини називаються неперервними. Якщо розглянути окремі два положення точки на шляху її руху, то незалежно від того, наскільки ці положення точки близькі один до одного, завжди буде існувати ще одне положення точки між ними. Тобто, на якому масштабі б ми не розглядали лінію, вона не буде мати розривів - буде повністю складатися із точок у будь-якому місці на ній. Варто відзначити, що у топології з точки не можна отримати лінію чи іншу фігуру (оскільки вони складаються з множини точок), однак у зворотному напрямку можна стиснути лінію чи іншу фігуру у точку - таке стиснення називається стягуванням топологічного простору в точку.

Поняття неперервності базується на ряді аксіом, що виражають неперервність лінії. Однією з таких аксіом є аксіома Дедекінда, яка полягає у наступному: якщо усі точки відрізка прямої розбити на два класи - <math>K_{1}</math> та <math>K_{2}</math>, кожний з яких не пустий, і таким чином, що:
* кожна точка відрізка <math>AB</math> належить лише одному класу, тобто точка <math>A</math> належить першому класові, <math>A\in K_{1},</math> а точка <math>B</math> належить другому класові, <math>B\in K_{2};</math>
* кожна точка <math>x\in K_{1}</math> першого класу, відмінна від точки <math>A,</math> лежить на лінії між точкою <math>A</math> та довільною точкою <math>y\in K_{2}</math> другого класу;
* якщо кожна точка <math>y\in K_{2}</math> другого класу, відмінна від <math>B,</math> лежить між точкою <math>x\in K_{1}</math> першого класу та точкою <math>B,</math> то існує точка <math>z,</math> причому лише одна, яка належить відрізку <math>[x,y],</math> де <math>x</math> та <math>y</math> - довільні точки першого <math>K_{1}</math> та другого <math>K_{2}</math> класів відповідно. Точка <math>z</math> може належати як до <math>K_{1},</math> так і до <math>K_{2}.</math> 

====Відкриті і замкнуті множини====
Топологічна структура на множині <math>X</math> - це система <math>T=\{U_{i}\}</math> підмножин, виділених у <math>X,</math> яка задовільняє аксіомам топології (або аксіомам відкритих множин):
* будь-які об'єднання цих підмножин <math>\bigcup_{i}U_{i}</math> належать до <math>T;</math>
* скінченні перетини цих підмножин <math>\bigcap^{k}_{i=1}U_{i}</math> належать до <math>T;</math>
* сама множина <math>X</math> та підмножина <math>\emptyset</math> належать до <math>T.</math>

[[Файл:Cycclce-boundary(1).tif|міні|праворуч|Якщо множина <math>M</math> простору <math>X</math> містить усі свої граничні точки, то вона називається замкнутою (зображення ліворуч); доповненя замкнутої множини <math>\bar{M}=X\setminus M</math> - відкрита множина (внутрішність диску <math>\mathrm{Int}(M)</math> праворуч). Таким чином, довільна множина є відкритою, якщо вона співпадає зі своєю внутрішністю.]] 
Підмножини <math>U_{i}\subset X,</math> які входять до системи підмножин <math>T,</math> називаються відкритими множинами. Підмножини <math>U_{i}</math> називають також картами, а систему <math>T,</math> яка складається з цих карт та пустої множини <math>\emptyset,</math> називають атласом. Атлас складається із окремих карт, які описують окремі області топологічного простору. Наприклад, якщо під топологічним простором розуміти поверхню Землі, то слова карта та атлас набувають своїх звичних значень. 

Доповнення відкритих множин <math>F_{i}=\overline{U_{i}}=X\setminus U_{i}</math> називаються замкнутими множинами. Система замкнутих множин задовільняє двоїстим аксіомам: скінченні об'єдннання й будь-які перетини замкнутих множин, а також <math>X</math> та <math>\emptyset</math> є замкнутими множинами. 

Множина, наділена топологічною стуктурою, називається топологічним простором, а її елементи - точками. Топологічний простір позначається <math>(X,T).</math> Часто символ <math>T</math> не вживають і пишуть просто <math>X.</math> 

Відкрита множина називається околом своїх точок, а також кожної підмножини, яка належить до неї. 

Топологічна структура <math>T_{1}</math> більша від структури <math>T_{2}</math> (<math>T_{1}\succ T_{2}</math>), якщо у <math>T_{1}</math> міститься більше відкритих множин, ніж у <math>T_{2}.</math> Однак дві топології на множині <math>X</math> можуть бути непорівнюваними, якщо структури не мають спільних відкритих множин. Таким чином, множина структур <math>\{T\}</math> є частково впорядкованою.

Дві топологічні структури <math>T_{1}</math> та <math>T_{1}</math> на множині <math>X</math> співпадають, якщо відкриті множини однієї структури є відкритими множинами й у іншій структурі. Іншими словами, кожний окіл з однієї структури містить окіл з іншої структури. У цьому випадку відкрита множина однієї структури є об'єднанням відкритих множин іншої. 

'''Аксіоми відокремлюваності'''. (Аксіома Гаусдорфа). Для кожної пари <math>(x_{1},x_{2})</math> різних точок <math>x_{1},x_{2}</math> існують такі непересічні відкриті множини <math>U_{1}</math> та <math>U_{2}</math> (<math>U_{1}\cup U_{2}=\emptyset</math>), що <math>x_{1}\in U_{1},\,\, x_{2}\in U_{2}.</math> 

Якщо у топологічному просторі <math>X</math> існують невідокремлювані пари точок (у такої пари усі околи точок є спільними), то виникає відношення еквівалентності: точки у одному класі еквівалентності попарно невідокремлювані одна від одної, і кожна відкрита множина складається із цілих класів. 

(Аксіома Колмогорова). У кожній парі точок <math>(x_{1},x_{2})</math> хоча б одна точка має околи, що не містять іншу точку. У просторі <math>X</math> виникає часткова впорядкованість, <math>x_{1}\leq x_{2},</math> якщо окіл точки <math>x_{1}</math> містить точку <math>x_{2}</math> (тобто якщо кожний окіл <math>x_{1}</math> є околом <math>x_{2}</math>). Іншими словами, якщо у множині є ієрархія, яка є транзитивною ("керівник керівника також є моїм керівником"), то у цій множині виникає топологія, якщо відкритою вважати множину, у якій кожна точка міститься разом із її підлеглими.

'''Індукована топологія'''. Кожна підмножина <math>M\subset X</math> наділена індукованою топологічною структурою: відкритими підмножинами у <math>M</math> відносно цієї структури вважаються перетини <math>U_{i}\cap M</math> відкритих підмножин <math>U_{i}\subset X.</math> При цьому говорять, що <math>U \cap M</math> відкрита відносно <math>M.</math> Підмножина із індукованою структурою називається підпростором топологічного простору <math>X.</math> Таким чином, будь-яка підмножина <math>M</math> топологічного простору <math>X</math> може розглядатися як топологічний простір, якщо в якості відкритих підмножин множини <math>M</math> прийняти перетини <math>M\cup U_{i},</math> де <math>U_{i}</math> - відкриті множини простору <math>X.</math >

Внутрішністю <math>\mathrm{Int}(M)</math> підпростору <math>M</math> у <math>X</math> називється максимальна відкрита підмножина простору <math>X,</math> що міститься у <math>M;</math> зокрема, це множина (можливо <math>\emptyset</math>) усіх точок, які містяться у <math>X</math> із своїми околами. Іноді вживають запис <math>\mathrm{Int}_{X}M</math> для позначення підпростору <math>M</math> топологічного простору <math>X.</math> Точки, які належать до <math>\mathrm{Int}(M)</math> називаються внутрішніми. 

Зовнішністю <math>\mathrm{Ext}(M)</math> підпростору <math>M\subset X</math> називється максимальна відкрита множина, яка не перетинається із <math>M;</math> зокрема, зовнішність є доповненням внутрішності, <math>\overline{\mathrm{Int}(M)}=\mathrm{Ext}(M);</math> зовнішністю є множина усіх точок, які мають окіли, які не перетинаються із <math>M.</math> Таким чином, <math>\mathrm{Int}(M)\cap\mathrm{Ext}(M)=\emptyset.</math> Точки, які належать до <math>\mathrm{Ext}(M),</math> називаються зовнішніми. 

Доповнення до об'єднання внутрішності та зовнішності <math>\partial X= \overline{\mathrm{Int}(M)\cup\mathrm{Ext}(M)}</math> називається границею підпростору <math>M\subset X.</math> Границя <math>\partial X</math> - множина усіх точок, кожний окіл яких перетинається одночасно із внутрішністю <math>\mathrm{Int}(M)</math> та зовнішністю <math>\mathrm{Ext}(M).</math> Точки, які належать до границі <math>\partial X,</math> називаються граничними. 

Замиканням <math>\bar{M}</math> підпростору <math>M\subset X</math> називається <math>\partial M\cup M</math> - множина усіх точок <math>x\in X,</math> околи яких перетинаються із <math>M.</math> Замикання <math>\bar{M}</math> підпростору є доповненням до його зовнішності (у якому кожна точка має окіл, який не перетинається із <math>M</math>); відповідно, підпростір <math>\bar{M}</math> замкнутий. 

Таким чином, якщо підпростір <math>M</math> відкритий, то <math>M=\mathrm{Int}(M).</math> Так само, підпростір <math>M</math> замнутий у <math>X,</math> якщо <math>M=\bar{M}.</math> Зокрема, замикання самого замикання є замкнутим (<math>\bar{M}=\bar{\bar{M}}</math>).

====Алгебра множин і топологія====
З аксіом загальної топології можна вивести деякі наслідки алгебри множин. У загальній топології об'єктом дослідження є непуста множина <math>\mathfrak{A},</math> яка називається простором, елементи якої є точками. Кожній підмножині <math>A</math> множини <math>\mathfrak{A}</math> відповідає множина <math>\bar{A},</math> яка називається замиканням множини <math>A,</math> що також належить множині <math>\mathfrak{A}.</math> Простір <math>\mathfrak{A}</math> є топологічним, якщо для нього справджуються наступні аксіоми:<br>
1) <math>\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}</math>;<br>
2) <math>\bar{A}=\bar{A}</math>;<br>
3) <math>A\subset \bar{A}</math>;<br>
4) <math>\emptyset=\bar{\emptyset}.</math><br>

Ці аксіоми справджуються, наприклад, якщо <math>\mathfrak{A}</math> є множиною точок площини, а операція замикання <math>\bar{A}</math> полягає у прикладанні до <math>A</math> усіх граничних точок цієї множини, таких точок <math>p,</math> що довільне коло із центром у <math>p</math> містить принаймні одну точку множини <math>A.</math> 

З даних аксіом можна вивести за допомогою законів алгебри множин різні властивості операції замикання. Зокрема, маємо <math>\mathfrak{A}=\bar{\mathfrak{A}}.</math> Справді. Для кожної <math>A</math> є відним <math>\bar{A}\subset\mathfrak{A},</math> а за третьою аксіомою <math>\mathfrak{A}\subset\bar{\mathfrak{A}}.</math> 

Далі, <math>\bar{A}\setminus\bar{B}\subset\overline{A\setminus B}.</math> Справді, з того, що <math>B\cup(A\setminus B)=A\cup B</math> за першою аксіомою отримуємо <math>\bar{B}\cup\overline{A\setminus B}=\bar{A}\cup\bar{B},</math> а звідси <math>\bar{A}\subset\bar{B}\cup\overline{A\setminus B},</math> та, таким чином, <math>\bar{A}\setminus \bar{B}\subset(\bar{B}\cup\overline{A\setminus B})\setminus\bar{B}=\bar{A}\setminus B\setminus\bar{B}\subset\overline{A\setminus B}.</math>

Розгляньмо імплікацію <math>(A\subset B)\to(\bar{A}\subset\bar{B}).</math> Включення <math>A\subset B</math> є еквівалентним рівності <math>A\cup B=B,</math> звідки за першою аксіомою отримаємо <math>\bar{A}\cup\bar{B}=\bar{B},</math> відповідно, <math>\bar{A}\subset\bar{B}.</math>

Далі, розгляньмо <math>\overline{A\cap B}\subset\bar{A}\cap\bar{B}.</math> Справді, оскільки <math>A\cap B\subset A</math> та <math>A\cap B\subset B,</math> то <math>\overline{A\cap B}\subset \bar{A}</math> та <math>\overline{A\cap B}\subset\bar{B}.</math> Перемножимо ці включення за врахування закону ідемпотентності. 

Якщо <math>A=\bar{A}</math> та <math>B=\bar{B},</math> то <math>\overline{A\cap B}=A\cap B.</math> Справді, <math>A\cap B\subset\overline{A\cap B}</math> згідно до третьої аксіоми, а <math>\overline{A\cap B}\subset\bar{A}\cap\bar{B}=A\cap B.</math> Тому <math>\overline{A\cap B}=A\cap B.</math> Множина, що співпадає із своїм замиканням, називається замкнутою. Силогізм у цьому абзаці означає, що добуток двох замкнутих множин є замкнутим, а формула <math>\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}</math> - що сума двох замнутих множин є замкнутою. 

Множина <math>A^{C}=A\setminus\mathfrak{A}</math> називається доповненням множини <math>A.</math> Відкриті множини мають таку характеристичну властивість: якщо точка <math>p</math> міститься у відкритій множині <math>A,</math> то існує коло із центром у точці <math>p,</math> яке повністю міститься у <math>A.</math> Множина <math>\mathrm{Int}(A)=\mathfrak{A}\setminus\overline{\mathfrak{A}\setminus A}=A^{C\setminus C}</math> називається внутрішністю множини <math>A.</math>

Розгляньмо <math>\mathrm{Int}(A)\subset A.</math> З третьої аксіоми отримуємо <math>A^{C}\subset \bar{A}^{C},</math> звідки отримуємо 

<math>\mathfrak{A}\setminus \bar{A}^{C}\subset\mathfrak{A}\setminus A^{C},</math> або <math>A^{C\setminus C}\subset A^{CC}=A.</math> 

З того, що <math>\mathrm{Int}(A)\subset A</math> слідує, що <math>\mathrm{Int}(\mathrm{Int}(A))\subset\mathrm{Int}(A).</math> Це твердження можна посилити наступним чином: <math>\mathrm{Int}(\mathrm{Int}(A))=\mathrm{Int}(A).</math> Справді, з визначення <math>\mathrm{Int}(A)</math> слідує, що <math>\mathrm{Int}(A)=A^{C\setminus C}</math> та <math>\mathrm{Int}(\mathrm{Int}(A))=[\mathrm{Int}(A)]^{C\setminus C}=[A^{C\setminus C}]^{C\setminus C}.</math>

====Неперервні відображення====
Нехай <math>f:X\to Y</math> - відображення топологічного простору <math>X</math> до топологічного простору <math>Y.</math> Відображення <math>f</math> називається неперервним у точці <math>x_{0}\in X,</math> якщо будь-якому околу <math>U</math> точки <math>f(x_{0})</math> відповідає деяка область <math>V</math> точки <math>x_{0}</math> така, що <math>f(V)\subseteq U.</math> Відображення називається неперервним, якщо воно є неперервним у кожній своїй області визначення <math>D(f)=X.</math> 

Таким чином, відображення є неперервним лише тоді, коли прообраз при цьому відображенні будь-якої відкритої множини з <math>Y</math> представляє собою відкриту множину з <math>X.</math> Якщо відображення <math>f</math> є неперервним та <math>U</math> - відкрита множина з <math>Y,</math> то множина <math>V=f^{-1}(U)</math> є окілом будь-якої точки <math>x_{0}\in X,</math> що задовільняє умові <math>f(x_{0})\in U,</math> тобто є окілом будь-якої точки, яка до нього входить, та, відповідно, відкритою множиною. Навпаки, якщо для будь-якої відкритої множини <math>U</math> (де <math>f(x_{0})\in U</math>) простору <math>Y</math> множина <math>V=f^{-1}(U)</math> простору <math>X</math> є відкритою, то відображення є неперервним у точці <math>x_{0}\in X.</math>

Відображення <math>f:X\to Y</math> є замкнутим, якщо образ будь-якої замкнутої множини за відображення <math>f</math> є замнутим (за аналогією до визначення відкритих відображень). Неперервне відображення може бути
* ні відкритим, ні замкнутим одночасно;
* відкритим, але не замкнутим;
* замкнутим, але не відкритим;
* відкритим і замкнутим одночасно. 

Відкрите відображення іноді називається також внутрішнім.

Розгляньмо взаємно однозначне й неперервне відображення, яке не є гомеоморфізмом. Нехай <math>X</math> - цілі числа із дискретною топологією, а <math>Y</math> - раціональні числа на відрізку <math>I</math> із топологією, індукованою вкладенням <math>Y\in \mathbb{R}^{1}.</math> Топологія на <math>Y</math> не є дискретною, тому не усі множини <math>U_{i}</math> є відкритими. Відтак простори <math>X</math> та <math>Y</math> не гомеоморфні. У той же час множини <math>X</math> та <math>Y</math> є зліченними, відтак існує взаємно неперервне однозначне відображення <math>f:X\to Y,</math> оскільки <math>X</math> - дискретний простір (найслабша топологія за аксіоми Колмогорова). 

Нехай <math>U</math> - довільна відкрита множина у <math>\mathbb{R}^{n}.</math> Для кожного диференційовуваного відображення <math>f:U\to\mathbb{R}^{m}</math> визначені його частинні похідні <math>D_{i}f:U\to\mathbb{R}^{m}</math> та диференціал <math>Df:U\to\mathbb{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}),</math> де <math>\mathbb{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})</math> - простір усіх лінійних відображень <math>\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}.</math> Диференціал <math>Df</math> виражається через частинні похідні за наступною формулою: <math>Df(x)a=\sum_{1\leq i\leq n}D_{i}f(x)a_{i},</math> для <math>x\in U</math> та <math>a\in\mathbb{R}^{n}.</math> 

Розгляньмо довільні множини <math>A\in\mathbb{R}^{n}</math> та <math>B\in\mathbb{R}^{m}.</math> Відображення <math>u:A\to B</math> називається відображенням класу <math>C^{\,r},</math> якщо існують такі відкриті множини <math>U\subset A</math> та <math>V\subset B</math> та таке відображення <math>f:U\to V,</math> що <math>f|_{A}=u,</math> і для будь-якого <math>s\leq r</math> усі частинні похідні <math>D_{i_{1}},...,D_{i_{s}}f</math> існують і є неперервними на <math>U.</math> Композиція <math>v\circ u:A\to C</math> відображень <math>u:A\to B</math> та <math>v:B\to C</math> класу <math>C^{\,r}</math>  є також й відображенням класу <math>C^{\,s}.</math> 

Відображення <math>u:A\to B</math> класу <math>C^{\,r}</math> називається дифеоморфізмом класу <math>C^{\,r},</math> якщо існує зворотне відображення <math>u^{-1}:B\to A,</math> яке також є відображенням класу <math>C^{\,r}.</math> 

Для будь-яких відображень <math>f:U\to V</math> й <math>g:V\to W</math> класу <math>C^{\,r}</math> справедлива наступна формула <math>D(f\circ g)(x)=(Dg)(f(x))Df(x)</math> (правило диференціювання складної функції).

====Покриття. Многовиди====
Система <math>\{U_{i}\}</math> підмножин множини <math>X</math> називається її покриттям (кажуть, що <math>\{U_{i}\}</math> покриває <math>X</math>), якщо <math>X=\bigcup_{i}U_{i}</math> (об'єднання цих множин співпадає із <math>X</math>). Якщо чисельність елементів покриття є скінченним або зліченним, то говорять, що покриття відповідно скінченне або зліченне. Якщо елементи покриття відкриті або відповідно замкнуті підпростори простору <math>X,</math> то покриття називається відповідно відкритим чи замкнутим. 

Покриття <math>\mathcal{U}</math> називається вписаним у покриття <math>U,</math> якщо кожний елемент <math>\mathcal{U}</math> міститься у деякому елементі з <math>U.</math> Нехай дана підмножина <math>M\in X,</math> a <math>U_{i}\subset M</math> - набір відкритих підмножин. Говорять, що <math>U_{i}</math> є покриттям підмножини <math>M,</math> якщо <math>M\subset\bigcup_{i}U_{i}.</math> Якщо з <math>\{U_{i}\}</math> вилучити яку-небудь кількість відкритих множин і воно залишиться покриттям, то одержане покриття називається підпокриттям. У будь-яке відкрите покриття можна вписати покриття елементами бази.

Покриття простору <math>X</math> називається фундаментальним, якщо підмножина <math>X</math> лише тоді відкрита, коли її перетин із кожним елементом покриття є відкритим (у індукованій топології). Відтак будь-яке відкрите покриття є фундаментальним. 

Покриття простору <math>X</math> називається локально скінченним, якщо довільна точка <math>x\in X</math> має окіл <math>\mathcal{U}\ni x,</math> який перетинається лише із скінченним числом елементів покриття <math>\mathcal{U}\cap\{U_{i}\}\neq\emptyset</math>. Локально скінченне покриття замкнутими множинами є фундаментальним. Наприклад, покриття множини множини точок у <math>\mathbb{R}</math> точками не є фундаментальним, однак покриття відрізка усіма зліченими підмножинами є фундаментальним. 

Значення покриттів полягає у тому, що топологія усього простору може бути влаштована доволі складно, а локально її легше вивчати. Зробити це іноді дозволяє відповідне покриття. Ця ідея систематично використовується при вивченні спеціального класу топологічних просторів, які називаються многовидами. 

Картою топологічного простору <math>X</math> називається пара <math>(U,h),</math> де <math>U</math> - відкрита підмножина простору <math>X,</math> a <math>h:U\to h(U)</math> - гомеоморфізм множини <math>U</math> на відкриту підмножину <math>h(U)\in \mathbb{R}^{n}_{+},</math> де <math>\mathbb{R}^{n}_{+}</math> - верній напівпростір простору <math>\mathbb{R},</math> тобто множина усіх точок <math>x\in\mathbb{R}^{n},</math> для яких <math>x_{n}\geq0.</math>

Атласом <math>\mathcal{A}</math> класу <math>C^{\,r}</math> топологічного простору <math>X</math> називається така система (сім'я) карт цього простору, що:
* простір <math>X</math> є об'єднанням відкритих множин <math>\{U_{i}\},</math> для яких <math>(U,h)\in\mathcal{A}.</math> 
* для будь-яких <math>(U,h),\,(V,h)\in\mathcal{A}</math> відображення <math>f\circ h^{-1}:h(U\cap V)\to f(U\cap V)</math> є відображенням класу <math>C^{r}</math> (це відображення є дифеоморфізмом класу <math>C^{\,r},</math> зворотним до якого є відображення <math>h\circ f^{-1}</math>).

Два атласи <math>\mathcal{A}</math> та <math>\mathcal{A}'</math> класу <math>C^{\,r}</math> є еквівалентними, якщо їх об'єднання <math>\mathcal{A}\cup\mathcal{A}'</math> знову є атласом класу <math>C^{\,r}.</math>

Атлас класу <math>C^{\,r}</math>  називається максимальним, якщо він не міститься у жодному більшому атласі класу <math>C^{\,r}.</math> Відношення еквівалентності атласів рефлексивне, симетричне й транзитивне, відтак кожний атлас міститься у декотрому єдиному максимальному атласі. Два атласи лише у тому випадку є еквівалентними, якщо вони містяться у одному і тому самому масимальному атласі. 

Многовидом <math>M</math> класу <math>C^{\,r}</math> називається пара, яка складається з декотрого гаусдорфового простору <math>M</math> та декотрого максимального атласу <math>\mathcal{A}</math> класу <math>C^{\,r}</math> на <math>M.</math> Атласи (класу <math>C^{\,r}</math>), які містяться у цьому максимальному атласі, називаються атласами многовиду, а їх карти - картами многовиду. Зрозуміло, що кожний атлас многовиду однозначно визначає цей многовид. 

Кожна відкрита підмножина <math>N</math> многовиду <math>M</math> класу <math>C^{\,r}</math> сама є многовидом класу <math>C^{\,r}.</math> Карти цього підмноговиду мають вигляд <math>(U\cap N,\,h|(U\cap N)),</math> де <math>(U,h)</math> - довільна карта многовиду <math>M.</math> Такий многовид <math>N</math> називається відкритим підмноговидом многовиду <math>M.</math> 

Наприклад, простори <math>\mathbb{R}^{n}</math> та <math>\mathbb{R}^{n}_{+}</math> є многовидами. Їхні максимальні атласи складаються з однієї карти - тотожного відображення <math>\mathbb{R}^{n}_{+}\to\mathbb{R}^{n}_{+}</math> у випадку простору <math>\mathbb{R}^{n}_{+},</math> та відображення виду <math>(x_{1},...,x_{n})\mapsto (x_{1},...,x_{n-1},\,\exp x_{n})</math> у випадку <math>\mathbb{R}^{n}.</math>

Краємо <math>\partial M</math> многовиду <math>M</math> називається підпростір простору <math>M,</math> який складається з усіх точок <math>x\in M,</math>  які мають ту властивість, що <math>h(x)\in\partial\mathbb{R}^{n}_{+}</math> для декотрої карти <math>(U,h)</math> із <math>x\in U.</math> Край <math>\partial M,</math> у свою чергу, сам є многовидом із картами виду <math>(U\cap \partial M,\,h|_{(U\cap\partial M)}),</math> де <math>(U,h)</math> - довільна карта многовиду <math>M.</math> 

Якщо многовид <math>M</math>  має розмірність <math>n,</math> то його край <math>\partial M</math> (якщо <math>\partial M\neq\emptyset</math>) має розмірність <math>n-1.</math> У випадку, коли <math>\partial M=\emptyset,</math> то многовид <math>M</math> називають многовидом без краю.

[[Файл:Diffeomorphism of a square.svg|міні|праворуч|Образ квадрату прямокутної сітки за деякого дифеоморфізму цього квадрату у себе. Інтуїтивно: це перетворення повинне деформувати прямокутну сітку, не розриваючи та не зклеюючи її. Будь-яка така деформація є гомеоморфізмом]]
Множина <math>G</math> гладких перетворень многовиду <math>M</math> називається групою, якщо:
* разом із будь-якими двома перетвореннями <math>g,h\in G</math> композиція <math>g\circ h</math> належить <math>G</math> (символ <math>g\circ h</math> означає, що першим застосовується перетворення <math>h,</math> а потім <math>g</math>);
* разом із будь-яким <math>g\in G</math> зворотне перетворення <math>g^{-1}\in G</math>;
У групі <math>G</math> міститься ідемпотент <math>e</math> (тотожне перетворення).

Гладка функція (або неперервно-диференційовна функція) - це функція, що має неперервну похідну на всій області визначення. Група <math>G</math> називається групою Лі, якщо <math>G</math> має гладку структуру та якщо наведені у переліку перетворення є гладкими. 

Область - множина, яка містить кожну точку разом із своїм околом; дві точки цієї множини можна сполучити ламаною лінією, яка складається з точок цієї множини. Аналітична функція, відмінна від сталої, здійснює деформування кожної області у область. 

Дифеоморфізм - взаємно однозначне і неперервно диференційовне відображення <math>g:M\to N</math> гладкого многовиду <math>M</math> у гладкий многовид <math>N</math>, обернене відображення <math>g^{-1}:N\to M</math> до якого теж є неперервно диференційовним. Якщо для <math>M</math> та <math>N</math> існує дифеоморфізм, то говорять, що <math>M</math> й <math>N</math> дифеоморфні та пишуть <math>M\cong N.</math> Дифеоморфними можуть бути лише многовиди однакової розмірності.

Нехай <math>X</math> — топологічний простір та <math>A</math> — його підпростір. Неперервне відображення <math>f\colon X \to A</math> називається ретракцією, якщо звуження функції <math>f</math> на множину <math>A</math> є тотожним відображенням на <math>A</math>, тобто <math>f(a)=a</math> для усіх <math>a\in A.</math>

Нехай рівняння <math>f(x)=0</math> містить <math>m</math> параметрів, значення яких є комплексними числами. Поставимо їм у відповідність <math>2m</math>-вимірний простір <math>X^{2m}.</math> Кожній точці <math>X^{2m}</math> буде відповідати <math>n</math> коренів рівняння <math>f(x)=0.</math> Сукупність таких точок називають критичним многовидом, яким відповідає хоча б один корінь рівняння <math>f(x)=0.</math> Рівняння критичного многовиду можна одержати, якщо прирівняти нулю дійсну й уявну частини виразу дискримінанту <math>f(x)=0.</math> Критичний многовид <math>X</math> буде мати розмірність <math>2m-2.</math> 

Позначмо через <math>x_{1},x_{2},...,x_{n}</math> корені рівняння <math>f(x)=0</math> й розгляньмо форму

<math>F_{S}(t_{1},t_{2},...,t_{n})=\Pi(x_{a_{1}}t_{1}+x_{a_{2}}t_{2}+...+a_{a_{n}}t_{n}),</math>

де <math>t_{1},t_{2},...,t_{n}</math> - нові змінні, а підстановки <math>\begin{pmatrix}1&2&...&n\\ a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\end{pmatrix}</math> пробігають групу Галуа рівняння. Щоб перевірити, чи належить дана точка критичному многовидові, який визначається співвідношеннями <math>x_{1}=x_{2}=...=x_{k_{1}},x_{k_{1}+1}=...=x_{k_{2}},...,</math> необхідно до виразу форми покласти <math>t_{1}+t_{2}+...+t_{k_{1}}=0,\,t_{k_{1}+1}+...+t_{k_{2}}=0,...\,.</math> Одержана форма <math>F_{s}</math> повинна прийняти значення <math>0.</math> 

Критичний многовид <math>X^{2m-2}</math>, у свою чергу, вищі критичні многовиди, у точках яких кратними є більше число коренів, а ці, у свою чергу, містять ще більш високі критичні многовиди тощо. Таким чином, маємо ланцюг <math>X^{2m-2}\supset X^{2m-4}\supset X^{2m-6}\supset...\,.</math> Якщо рівнянню <math>f(x)=0</math> відповідає хоча б один ланцюг критичних многовидів, який складається з <math>s</math> ланок, то резольвента цього рівняння не може містити менше <math>s</math> параметрів.

====Теорема Бера====
Перш ніж сформулювати цю теорему, розгляньмо подоміжні визначення. Множина <math>A</math> називається щільною у інтервалі <math>I,</math> якщо вона має непустий перетин із кожним підінтервалом з <math>I.</math> Відповідно, множина називається ніде не щільною, якщо вона не є щільною у жодному інтервалі, тобто якщо кожний інтервал містить підінтервал, який цілком належить доповненню <math>\bar{A}</math> (у цій множині "багато дірок"). Таким чином, множина <math>A</math> ніде не щільна лише тоді, 
* коли її доповнення <math>\bar{A}</math> містить щільну відкриту множину, або
* коли <math>\bar{A}</math> - замикання множини <math>A,</math> не має жодної внутрішньої точки. 

Будь-яка підмножина ніде не щільної множини є ніде не щільною. Об'єднання двох (або будь-якого скінченного числа) ніде не щільних множин є ніде не щільним. Зокрема, якщо <math>A_{1}</math> та <math>A_{2}</math> є ніде не щільними, то для кожного інтервалу <math>I</math> знайдуться інтервали <math>I_{1}\subset I\setminus A</math> та <math>I_{2}\setminus I_{1}\setminus A_{2}.</math> Відповідно, <math>I_{2}\subset\setminus(A_{1}\cup A_{2}),</math> в силу чого об'єднання <math>A_{1}\cup A_{2}</math> ніде не щільне. 

Замикання ніде не щільної множини ніде не щільне, оскільки будь-який відкритий інтервал, що міститься у <math>\bar{A},</math> міститься також й у <math>\bar{\bar{A}}.</math>

Доповненя будь-якої множини першої категорії на прямій є щільним. Наприклад, нехай <math>A=\bigcup_{n}A_{n}</math> - об'єднання ніде не щільних множин. Для довільного інтервалу <math>I</math> розгляньмо відрізок <math>I_{1}\subset I\setminus A_{1}.</math> Нехай <math>I_{2}</math> є відрізком, що належить різниці <math>I_{1}\setminus A_{2},</math> тощо. Відтак <math>\bigcap_{n}I_{n}</math> є непустою підмножиною множини <math>I\setminus A,</math> відповідно <math>\bar{A}</math> щільне. В якості послідовності можна уявити зліченну множину відрізків із раціональними кінцями, визначити <math>I_{0}=I,</math> а потім для <math>n>0</math> обрати в якості <math>I_{n}</math> член вказаної послідовності, який міститься у <math>I_{n-1}\setminus A_{n}.</math> Таким чином, жодний інтервал у <math>\mathbb{R}</math> не є множиною першої категорії. Перетин будь-якої послідовності відкритих множин є щільною множиною, що очевидно, оскільки в основі цих міркувань лежить теорема Кантора.

Множина <math>M\subset X</math> називається:
* ніде не щільною у <math>X,</math> якщо топологічний простір <math>X</math> фіксований, просто ніде не щільною, якщо будь-яка пуста відкрита множина <math>U\subseteq X</math> містить таку непусту відкриту підмножину <math>V\subseteq U,</math> що <math>M\cap V=\emptyset</math>;
* худою у <math>X</math> (множиною першої категорії), якщо вона припускає представлення у вигляді зліченного об'єднання <math>M=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_{n}</math> ніде не щільних (у даному просторі <math>X</math>) множин <math>M_{n}</math>;
* кохудою у <math>X,</math> якщо її доповнення <math>X\setminus M</math> худе;
* щільною (усюди щільною), якщо будь-яка непуста відкрита множина <math>U\subseteq X</math> містить принаймні одну точку множини <math>M.</math>

====Теорема Бореля====
Теоремою Бореля називається теорема про скінченне покриття. Вона полягає у тому, що якщо нескінченна система відрізків <math>S</math> покриває відрізок <math>[a,b],</math> то кожна точка відрізка <math>[a,b]</math> лежить всередині принаймні одного з відрізків системи <math>S.</math> При цьому з системи <math>S</math> можна виділити скінченну систему відрізків <math>S^{*},</math> яка також покриває <math>[a,b].</math>

Позначмо довжину інтервала <math>I</math> через <math>|I|.</math> Множина <math>A\subset\mathbb{R}</math> називається множиною міри нуль, якщо для будь-якого <math>\varepsilon>0</math> існує така послідовність інтервалів <math>I_{n},</math> що <math>A\subset\bigcup_{n}I_{n}</math> та <math>\sum|I_{n}|<\varepsilon.</math> Таким чином, кожна точка є множиною міри нуль та будь-яка підмножина такої множини є також множиною міри нуль. Будь-яке зліченне об'єднання множин міри нуль є також множиною міри нуль. 

Якщо скінченна (або нескінченна) послідовність інтервалів <math>I_{n}</math> покриває інтервал <math>I,</math> то сума інтервалів <math>\sum|I_{n}|\geq |I|.</math> Запевнимося у цьому, розглянувши відрізок <math>I=[a,b]</math> й вважаючи, що <math>I_{n}</math> - відкриті інтервали. Нехай <math>(a_{1},b_{1})</math> є першим у послідовності таких інтервалів, який містить точку <math>a.</math> Якщо <math>b_{i}\leq b,</math> то позначмо через <math>(a_{2},b_{2})</math> перший з інтервалів послідовності, який містить точку <math>b_{1}.</math> Якщо <math>b_{n-1}\leq b,</math> то нехай <math>(a_{b},b_{n})</math> є першим інтервалом, що містить точку <math>b_{n-1}.</math> Цей процес вибору повинен припинитися за деякого <math>b_{N}>b.</math> У протилежному випадку зростаюча послідовність <math>\{b_{n}\}</math> збігалася б до деякої границі <math>x\leq b</math> та при цьому точка <math>x</math> належала би до <math>I_{k}</math> (за якого-небудь значення <math>k</math>). Тоді у початковій послідовності інтервалові <math>I_{k}</math> повинні були б передувати усі обрані інтервали <math>(a_{n},b_{n})</math> (окрім, можливо, кінцевого числа з них, а саме ті, для яких <math>b_{n-1}\in I_{k}</math>). Це є неможливим, оскільки серед цих інтервалів немає співпадаючих. Отримуємо

<math>b-a<b_{N}-a_{1}=\sum^{N}_{i=2}(b_{i}-b_{i-1})+b_{i}-a_{i}\leq\sum^{N}_{i=2}(b_{i}-a_{i}).</math>

Зі сказаного слідує, що жодний інтервал не може бути множиною міри нуль. Згідно до теореми Кантора, жодний інтервал дійсних чисел <math>I\subset\mathbb{R}</math> не є зліченною множиною (множиною, яку можна поставити у взаємно однозначну відповідність із множиною натуральних чисел <math>\mathbb{N}</math>).

====База топології====
Набір <math>\Beta</math> відкритих підмножин топологічного простору <math>X</math> називається передбазою для топології на <math>X,</math> якщо будь-яку відкриту множину можна одержати (можливо, нескінченним) об'єднанням скінченних перетинів відкритих підмножин, що належать <math>\Beta.</math> Набір <math>\Beta</math> називається базою, якщо будь-яку відкриту множину можна одержати як об'єднання підмножин, що містяться у <math>\Beta.</math> 

Нехай <math>X</math> - топологічний простір, а <math>x\in X</math> - довільна точка. База околів точки <math>x</math> - це такий набір зліченних <math>\Beta=\{U_{i}\}</math> околів точки <math>x,</math> що будь-який окіл <math>U_{i}\ni x</math> містить який-небудь окіл з <math>\Beta.</math> Для кожної точки <math> X</math> кожного перетину <math>U_{1}\cap U_{2}\ni x</math> двох елементів з <math>\Beta</math> існує елемент <math>U_{3}\in\Beta</math> такий, що <math>U_{3}\subset U_{1}\cap U_{2}.</math> За визначенням топології, перетин двох відкритих множин повинен бути відкритим. Але якщо для двох елементів <math>U_{1}</math> та <math>U_{2}</math> існує точка <math>x\in U_{1}\cap U_{2},</math> для якої немає елемента <math>U</math> бази <math>\Beta</math> такого, що <math>x\in U\subset U_{1}\cap U_{2},</math> то не віднайдеться відкрита підмножина, яка містить точку <math>x</math> та міститься у <math>U_{1}\cap U_{2}.</math> Це означає, що перетин <math>U_{1}\cap U_{2}</math> не буде відкритою множиною. Варто зауважити, що топологія не визначається одними об'єднаннями. 

У топології на <math>X</math> є зліченна база, якщо існує база топології, що складається із зліченного набору підмножин. На <math>X</math> можна накласти дві умови зліченності.<br>
1. Якщо у кожної точки <math>X</math> віднайдеться зліченна база околів, то говорять, що у <math>X</math> справджується перша аксіома зліченності.<br>
2. Якщо у <math>X</math> віднайдеться зліченна база відкритих множин, то говорять, що для <math>X</math> справджується друга аксіома зліченності (або що <math>X</math> - простір із зліченною базою).

Підпростір <math>M\in X</math> топологічного простору <math>X</math> називається ніде не щільним, якщо у кожній відкритій множині у <math>X</math> міститься відкрита підмножина, яка не перетинається із <math>M,</math> іншими словами, <math>\mathrm{Int}(M)=\emptyset</math> (чи <math>M=\mathrm{Fr}\,M</math>). Таким чином, відкрита підмножина є усюди щільною лише у випадку, коли додаткова замкнута підмножина ніде не щільна. Відкрита множина, що не перетинається із <math>M,</math> не перетинається й з <math>\bar{M}.</math> 

Топологічний простір <math>X</math> називається сепарабельним, якщо має зліченну усюди щільну підмножину. Зокрема, простір, для якого справджується друга аксіома зліченності, є сепарабельним. Іншими словами, якщо у топологічному просторі <math>X</math> можна віднайти щільну множину, то говорять, що простір <math>X</math> є сепарабельним. Наприклад, множина точок із усіма раціональними координатами є зліченною та щільною.

Диз'юнктивна система - це система множин, які попарно неперетинаються. У сепарабельному просторі ди'юнктивна система відкритих множин є не більш ніж зліченною.

====Декартовий добуток топологічних просторів====

Базою топології на <math>X</math> є система підмножин <math>\{U_{i}\}\subset 2^{X}</math> така, що будь-яка відкрита пімножина одержується як набір елементів цієї системи. Запис <math>2^{X}</math> позначає множину усіх підмножин у <math>X</math> і називається булеаном. Відповідно, передбазою на <math>X</math> є система відкритих підмножин <math>\{U_{i}\}\subset 2^{X}</math> така, що усеможливі їх скінченні об'єднання утворюють базу топології. Таким чином, система множин <math>\{U_{i}\}\subset 2^{X},</math> для якої <math>\bigcup_{i}U_{i}=X,</math> є передбазою деякої топології <math>T</math> на <math>X.</math> Базою деякої топології <math>T</math> на <math>X</math> є система множин <math>\{U_{i}\}\subset 2^{X},</math> яка є замкнутою відносно скінченних перетинів та задовільняє умові <math>\bigcup_{i}U_{i}=X.</math> Замкнутість <math>\{U_{i}\}</math> відносно скінченних перетинів означає, що для будь-якої скінченної системи <math>U_{1},...,U_{k}\in\{U_{i}\}</math> перетин <math>\bigcap_{j}U_{j}</math> належить <math>\{U_{i}\}.</math>

Розгляньмо <math>\mathbb{X}=X\times \mathcal{X}</math> із топологією, заданою базою відкритих підмножин виду <math>U\times\mathcal{U},</math> де <math>U\in X</math> та <math>\mathcal{U}\in\mathcal{X}</math> є відкритими. Одержаний таким чином топологічний простір <math>\mathbb{X}</math> називається декартовим добутком просторів <math>X</math> та <math>\mathcal{X}.</math> Пригадаймо, що гаусдорфовий топологічний простір - це такий простір, що будь-які дві його точки мають околи, які не перетинаються між собою. Добуток гаусдорфових топологічних просторів є гаусдорфовим топологічним простором. Справді, нехай <math>(x,\mathfrak{x})</math> та <math>(y,\mathfrak{y})</math> є двома різними точками у просторі <math>\mathbb{X}.</math> Тоді або <math>x\neq y,</math> або <math>\mathfrak{x}\neq\mathfrak{y}.</math> Нехай вірним є перше. Тоді візмемо непересічні околи <math>U</math> та <math>\mathcal{U}</math> точок <math>x,y</math>; у цьому випадку множини <math>U\times\mathcal{X}</math> та <math>\mathcal{U}\times \mathcal{X}</math> містять <math>(x,\mathfrak{x})</math> та <math>(y,\mathfrak{y})</math> й не перетинаються. 

Відображення <math>\Delta:X\to X\times X</math> (тобто <math>x\to (x,x)</math>) називається діагональним вкладенням, а його образ - діагоналлю <math>D</math>.

Нехай на <math>X</math> задані дві топології <math>T_{1}</math> та <math>T_{2}.</math> Говорять, що топологія <math>T_{1}</math> є слабшою від топології <math>T_{2},</math> а <math>T_{2}</math> - сильнішою від топології <math>T_{1},</math> якщо тотожне відображення <math>(X,T_{2})\to (X,T_{1})</math> є неперервним. Деколи більш слабкою називається топологія, яка називається сильнішою. Чим слабкіша топологія, тим більше збіжних послідовностей, менше неперервних функцій й менше відкритих множин. Топологія добутку є найслабшою топологією.

Нехай <math>F</math> - функція, значеннями якої є підмножини множини <math>X,</math> а область визначення - множина <math>T\neq\emptyset.</math> Декартовий добуток <math>\prod_{t\in T}F_{t}</math> - це множиа таких функцій <math>f</math> із областю визначення <math>T,</math> що <math>f(t)\in F_{t}</math> для кожного <math>t\in T,</math> тобто <math>\prod_{t\in T}F_{t}=\{f\in \Phi\,|\, \bigwedge_{t\in T}[f(t)\in F_{t}]\},</math> де <math>\Phi=X^{T}.</math>

Якщо <math>T=\mathbb{N}\cup\{0\},</math> то замість <math>\prod_{n\in\mathbb{N}} F_{n}</math> записують <math>\prod^{\infty}_{n=0}F_{n}.</math> Елементами цього декартового добутку будуть такі послідовності <math>\phi,</math> що <math>\phi_{n}\in F_{n}</math> для усіх <math>n\in\mathbb{N}.</math>

Якщо усі співмножники <math>F_{t}</math> є рівними між собою, <math>F_{t}=Y,</math> то <math>\prod_{t\in T}F_{t}=Y^{T}.</math> Тут <math>\prod_{t\in T}F_{t}</math> є множиною значень <math>Y.</math> Множина <math>Y^{T}</math> називається декартовим степенем множини <math>Y.</math>

Визначмо проекцію <math>Y^{t}</math> для <math>Y\in\prod_{t\in T}F_{t}</math> множини <math>Y</math> на <math>F_{t},</math> тобто <math>Y^{t}=\{f(t)\,|\,f\in Y\}.</math> Зрозуміло, що <math>Y_{1}\subset Y_{2}\Rightarrow Y^{t}_{1}\subset Y^{t}_{2}</math> для кожного <math>t\in T.</math>

Якщо <math>T=\{1,2\},</math> то декартові добутки <math>\prod_{t\in T}F_{t}</math> та <math>F_{1}\times F_{2}</math> не співпадають, оскільки перший має в якості елементаів послідовності довжини <math>2,</math> а другий - впорядковані пари. Відмінність між цими двома добутками не є суттєвою, оскільки кожній впорядкованій парі <math>(x,y)\in F_{1}\times F_{2}</math> можна поставити в взаємно однозначну відповідність послідовність <math>\{(1,x),\,(2,y)\}\in\prod_{t\in T}F_{t}.</math> 

Якщо <math>F_{t_{0}}=\emptyset</math> для декотрого <math>t_{0},</math> то <math>\prod_{t\in T}F_{t}=0.</math> Справді, якщо <math>f\in \prod_{t\in T}F_{t},</math> то <math>f(t_{0})\in F_{t_{0}},</math> тобто <math>F_{t_{0}}\neq\emptyset.</math>

Нехай тепер <math>F_{t}</math> для кожного <math>t\in T</math> є топологічним простором. Через <math>C_{t}X</math> позначмо замикання у просторі <math>F_{t}</math> множини <math>X\in F_{t}.</math> Таким чином, <math>C</math> є такою функцією, що <math>C_{t}\in(2^{F_{t}})^{2^{F_{t}}}</math> для кожного <math>t.</math>

Нехай <math>S</math> - скінченна підмножина множини <math>T,</math> а <math>G</math> - відкрита множина у просторі <math>F_{s}</math> для кожного <math>s\in S.</math> Околом, який визначається множиною <math>S</math> й відкритими підмножинами <math>G_{s}</math> називається підмножина <math>U=\{f\in\Pi\,|\,\bigwedge_{s\in S}f(s)\in G_{s}\}</math> декартового добутку <math>\Pi=\prod_{t\in T}F_{t}.</math> 

Добуток двох околів або пустий, або є також околом. Справді, якщо окіл <math>U</math> визначається скінченною множиною <math>S</math> й відкритими множинами <math>G_{s},</math> де <math>s\in S,</math> а окіл <math>\mathcal{U}</math> визначається скінченною множиною <math>\mathfrak{S}</math> й відкритими множинами <math>\mathcal{G}_{\mathfrak{s}},</math> де <math>\mathfrak{s}\in\mathfrak{S},</math> то 

<math>U\cap\mathcal{U}=\{f\in\prod\,|\,\bigwedge_{s\in S}\,\,\bigwedge_{\mathfrak{s}\in\mathfrak{S}}(f(s)\in G_{s})\land (f(\mathfrak{s})\in\mathcal{G}_{\mathfrak{s}})\}=\{f\in\Pi\,|\, \bigwedge_{s\in S\setminus\mathfrak{S}}(f(s)\in G_{s})\land\bigwedge_{\mathfrak{s}\in\mathfrak{S}\setminus S}(f(\mathfrak{s})\in\mathcal{G}_{\mathfrak{s}})\land\bigwedge_{s\in S\cap\mathfrak{S}}(f(s)\in G_{s}\cap\mathcal{G}_{\mathfrak{s}})\}.</math>

Множина <math>U\cap \mathcal{U}</math> або пуста, або є околом, який визначається скінченною множиною <math>S\cup\mathfrak{S}</math> та відкритими множинами

<math>\mathfrak{G}_{t}=\begin{cases}G_{t}\,\text{для}\,t\in S\setminus\mathfrak{S},\\ \mathcal{G}_{t}\,\text{для}\,t\in \mathfrak{S}\setminus S, \\ G_{t}\cap\mathcal{G}_{t}\,\text{для}\,t\in S\cap\mathfrak{S}.\end{cases}</math>

====Метрика. Метричний простір====
Метричні простори були винайдені Морісом Фреше у 1906 році для вивчення топологічних просторів функцій. 

Метричним простором називається множина <math>X</math> із визначеною на ній такой функцією <math>d:X\times X\to\mathbb{R},</math> що:
* для будь-яких точок <math>x_{1},x_{2}\in X</math> справджується нерівність <math>d(x_{1},x_{2})\geq 0,</math> причому рівність має місце лише тоді, коли <math>x_{1}=x_{2}</math>;
* <math>d(x_{1},x_{2})=d(x_{2},x_{1})</math> (симетричність);
* для будь-яких <math>x_{1},x_{2},x_{3}\in X</math> виконується нерівність <math>d(x_{1},x_{3})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})</math> (нерівність трикутника).

Функція, що задовільняє цим умовам, називається метрикою, а дійсне число <math>d(x_{1},x_{2})</math> називається відстанню між точками <math>x_{1}</math> та <math>x_{2}.</math>

Нехай <math>\mathbb{R}^{\geq0}</math> - множина усіх невід'ємних дійсних чисел. Нехай <math>(X,d)</math> та <math>(\mathcal{X},\mathfrak{d})</math> - метричні простори, а <math>\rho:(\mathbb{R}^{\geq0})^{2}\to\mathbb{R}^{\geq0}</math> є функцією, що задовільняє наступним умовам:

* невиродженість, <math>\rho(\lambda,\mu)=0\Leftrightarrow \lambda=\mu=0</math>;
* субадитивність, <math>\rho(x+y)\leq\rho(x)+\rho(y)</math>;
* монотонність, <math>\rho(a,b)\geq\rho(a_{1},b_{1}),</math> якщо <math>a\geq a_{1}</math> та <math>b\geq b_{1}.</math>

У цьому випадку кажуть, що функція <math>d_{\rho}((x,\mathfrak{x}),\,(y,\mathfrak{y})):=\rho(d(x,y),\,\mathfrak{d}(\mathfrak{x},\mathfrak{y}))</math> задає метрику на <math>X\times\mathcal{X}</math> (де <math>x,y\in X</math> та <math>\mathfrak{x},\mathfrak{y}\in\mathcal{X}</math>).

<math>d_{\rho}</math> є симетричною й невиродженою (невиродженість <math>\rho</math>). Нерівність трикутника можна вивести наступним чином:

<math>d_{\rho}((x,\mathfrak{x}),\,(z,\mathfrak{z}))=\rho(d(x,y),\,\mathfrak{d}(\mathfrak{x},\mathfrak{z}))\leq\rho(d(x,y)+d(y,z),\, \mathfrak{d}(\mathfrak{x},\mathfrak{y})+\mathfrak{d}(\mathfrak{y},\mathfrak{z}))\leq\rho(d(x,y), \mathfrak{d}(\mathfrak{x},\mathfrak{y})+\rho(d(y,z),\,\mathfrak{d}(\mathfrak{y},\mathfrak{z}))=d_{\rho}((x,\mathfrak{x}),\,(y,\mathfrak{y}))+d_{\rho} ((y,\mathfrak{y}),\,(z,\mathfrak{z}),</math>

де <math>x,y,z\in X</math> та <math>\mathfrak{x},\mathfrak{y},\mathfrak{z}\in\mathcal{X}.</math> Перша нерівність слідує з монотонності, а друга - із субадитивності.

Розгляньмо функцію <math>\rho_{2}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.</math> Ця функція монотонна, субадитивна й невироджена, а тому задає метрику <math>d_{\rho_{2}}</math> на добутку метричних просторів. Така метрика називається метрикою добутку. Добуток <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times...\times\mathbb{R}</math> є ізометричним <math>\mathbb{R}^{n}.</math>

''Метричний простір є групою''. Нехай <math>G</math> - вільна група, а <math>S</math> - множина породжуючиї її елементів. Кожний елемент <math>g</math> групи <math>G</math> є представним (багатьма способами) у вигляді слова виду <math>g=x^{\varepsilon_{1}}_{1}\cdot\cdot\cdot x^{\varepsilon_{n}}_{n},</math> де <math>x_{1},...,x_{n}\in S</math> та <math>\varepsilon_{i}=\pm 1.</math> Ціле число <math>n\geq0</math> називається довжиною слова (пусте слово має довжину <math>0</math> і відповідає одиниці групи). Для <math>g,h\in G</math> визначмо величину <math>d_{S}(g,h),</math> яка дорівнює довжині найкоротшого слова, яке представляє елемент <math>g^{-1}h.</math> 

Функція <math>d_{S}</math> задає на <math>G</math> метрику. За визначенням функція <math>d_{S}</math> є невід'ємною та, крім того, <math>d_{S}(g,h)=0</math> лише у випадку, коли слово <math>g^{-1}h</math> представне пустим словом, тобто <math>g^{-1}h=e,</math> звідки <math>g=h.</math> 

Симетричність відстані слідує з тотожності <math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.</math> Справді, якщо <math>x^{\varepsilon_{1}}_{1}\cdot\cdot\cdot x^{\varepsilon_{n}}_{n}</math> є словом мінімальної довжини, яке представляє елемент <math>g^{-1}h,</math> то <math>h^{-1}g=x^{-\varepsilon_{n}}_{n}\cdot\cdot\cdot x^{-\varepsilon_{1}}_{1},</math> тому <math>d_{S}(h,g)\leq d_{S}(g,h).</math> 

Нерівність трикутника <math>d_{S}(g,h)+d_{S}(h,k)\geq d_{S}(g,k)</math> слідує із тотожності <math>g^{-1}k=(g^{-1}h)(h^{-1}k),</math> виконаної для довільного слова <math>h\in G.</math> Справді, якщо <math>x^{\varepsilon_{1}}_{1}\cdot\cdot\cdot x^{\varepsilon_{n}}_{n}</math> та <math>y^{\delta_{1}}_{1}\cdot\cdot\cdot y^{\delta_{m}}_{nm}</math> - слова мінімальної довжини, які представляють елементи <math>g^{-1}h</math> та <math>h^{-1}k,</math> то слово <math>x^{\varepsilon_{1}}_{1}\cdot\cdot\cdot x^{\varepsilon_{n}}_{n}y^{\delta_{1}}_{1}\cdot\cdot\cdot y^{\delta_{m}}_{m}</math> представляє елемент <math>g^{-1}k,</math> тому <math>d_{S}(g,k)\leq m+n=d_{S}(g,h)+d_{S}(h,k).</math>

=====Збіжності=====
Мова топологічних просторів є зручною для обговорення неперервних функцій (власне, для цього вони і були винайдені). До топології можна підходити або з аксіоматичної точки зору, або з точки зору геометричної інтуїції (визначаючи топологію <math>T</math> на просторі <math>X</math> посередництвом задання класу збіжних послідовностей, а неперервні відображення - як відображення, які зберігають границі). Другий підхід містить декотрі труднощі теоретико-множинного характеру - якщо у просторі немає зліченної бази, то доводиться використовувати цілком впорядковані незліченні послідовності. 

Завдяки першій аксіомі зліченності, у метричному просторі можна визначити поняття границі послідовності. Нехай <math>X</math> - топологічний простір, <math>a\in X.</math> Говорять, що у точці <math>a</math> має місце перша аксіома зліченності, якщо у цієї точки є зліченна (або скінченна) сім'я відкритих околів <math>\{U_{i}\},</math> які скадають базу відкритих околів даної точки. Це означає, що для будь-якого відкритого околу <math>U</math> точки <math>a</math> знайдеться такий окіл <math>U_{i},</math> що <math>U_{i}\subset U.</math> 

Сенс першої аксіоми зліченності полягає у тому, що якщо послідовність <math>\{x_{n}\}</math> збігається до <math>a</math> за <math>n\to\infty,</math> то у довільноу просторі визначення границі необхідно перевіряти для будь-якого відкритого околу точки <math>a</math>; якщо у цій точці <math>a</math> справджується перша аксіома зліченності, то визначення границі необхідно перевірити лише для базисних околів. 

З першоъ аксіоми зліченності слідує друга аксіома зліченності. Зокрема, нехай <math>\{U_{i}\}</math> - зліченна база відкритих множин топологічного простору <math>X,</math> а <math>a\in X</math> - довільна точка. Розгляньмо ті елементи бази <math>\{U_{i}\},</math> які містять точку <math>a.</math> Отримаємо набір <math>U_{i_{1}},U_{i_{2}},...,</math> який є не більш ніж зліченним. Побудований таким чином набір - це зліченна база відкритих околів точки <math>a.</math> Справді, розгляньмо довільний окіл <math>V</math> точки <math>a.</math> Оскільки <math>a\in V=\bigcup_{U_{i}\in V}U_{i},</math> то існує такий номер <math>j,</math> що <math>U_{j}\subset V</math> та <math>U_{j}\ni a.</math> За визначенням послідовності <math>\{U_{i_{k}}\}</math> маємо <math>U_{j}\in\{U_{i_{k}}\}.</math>

====Теорема Тихонова====
Система <math>S</math> підмножин <math>X</math> називається центрованою, якщо перетин будь-якого скінченного числа множин з <math>S</math> є непустим, <math>\bigcap_{i\in I}S_{i}\neq\empty.</math> Топологічний простір називається компактним, якщо кожна центрована система його замкнутих підмножин має непустий перетин. Це означає, що топологічний простір є компактним лише у випдку, коли кожна система відкритих множин, об'єднання яких складає <math>X,</math> містить скінченну підсистему, об'єднання множин якої також дорівнює <math>X.</math> 

''Теорема Тихонова''. Якщо для кожного <math>t\in T</math> простір <math>F_{t}</math> є компактним, то простір <math>P=\prod_{t\in T}F_{t}</math> також компактний. 

Якщо <math>S_{0}</math> - центрована система підмножин простору <math>X,</math> то існує максимальна центрована система <math>S\subset 2^{X},</math> яка містить <math>X,</math> тобто така, що кожна система підмножин простору <math>X,</math> відмінна від <math>S</math> та яка містить <math>S_{0},</math> містить скінченну підсистему, яка має пустий перетин. 

Розгляньмо дві властивості центрованих максимальних множин.<br>
1. Якщо <math>A\in S</math> та <math>B\in S,</math> то <math>A\cap B\in S.</math> Справі, у протилежному випадку система, одержана з <math>S</math> включенням до неї <math>A\cap B,</math> не була б центрованою та, це знажить, що вона містила б скінченну підсистему із пустим перетином. Зрозуміло, що перетин <math>A\cap B</math> повинен належати цій підсистемі, а звідси слідує, що існує така скінченна підсистема <math>\mathcal{S}\subset S,</math> що <math>A\cap B\cap\bigcup_{Y\in\mathcal{S}}Y=\emptyset,</math> що суперечить центрованості системи <math>S.</math> <br>
2. Якщо <math>A\subset X</math> та <math>A\cap Y\neq \emptyset</math> для кожного <math>Y\in S,</math> то <math>A\in S.</math> Справді, у протилежному випадку система <math>S\cup\{A\}</math> не була б центрованою, відповідно існувала б така скінченна підсистема <math>\mathcal{S}\subset S,</math> що <math>A\cap \bigcup_{Y\in\mathcal{S}}Y=\emptyset.</math> В силу першої властивості добуток <math>\bigcap_{Y\in\mathcal{S}}Y</math> належить системі <math>S,</math> не дивлячись на те, що <math>A\cap Y\neq\emptyset</math> для кожного <math>Y\in S.</math>

Нехай тепер <math>S_{0}</math> - центрована система замкнутих підмножин простору <math>P.</math> Через <math>S</math> позначмо деяку центровану максимальну систему підмножин простору <math>P,</math> що містить <math>S_{0}.</math> Для доведення теореми досатньо встановити, що <math>\bigcap_{Y\in S}\bar{Y}\neq\emptyset.</math>

Розгляньмо довільну підмножину <math>Z\subset P</math> та <math>Z^{t}</math> - її проекцію на <math>F_{t}.</math> Вважаймо <math>S^{t}=\{\bar{Y}^{t}\,|\,Y\in S\}.</math> Система <math>S^{t}</math> складається із замкнутих підмножин простору <math>F_{t}.</math> Якщо множини <math>\bar{Y}^{t}_{j},</math> де <math>j<n,</math> належить до <math>S^{t},</math> причому <math>Y_{j}\in S,</math> то <math>\bigcap_{j<n}Y_{j}\neq\emptyset,</math> оскільки система <math>S</math> центрована. Звідси слідує, що <math>\bigcap_{j<n}Y^{t}_{j}\neq \emptyset</math> і тим паче <math>\bigcap_{j<n}\bar{Y}^{t}_{j}\neq\emptyset.</math> Відповідно, система <math>S^{t}</math> центрована. Оскільки усі <math>F_{t}</math> є компактними, то <math>\bigcap_{Y\in S}\bar{Y}^{i}\neq\emptyset.</math> За аксіомою вибору існує така функція <math>f\in P,</math> що <math>f(t)\in\bigcap_{Y\in S}\bar{Y}^{t}</math> для кожного <math>t\in T.</math> 

Функція <math>f</math> належить перетинові <math>\bigcap_{Y\in S}\bar{Y}.</math> Запевнимося у цьому, розглянувши множину <math>Y\in S</math> та окіл <math>U,</math> який містить <math>f.</math> Для цього необхідно дійти до того, що <math>U\cap Y=\neq \emptyset.</math> Нехай <math>U</math> визначається як скінченна множина <math>M\in T</math> та відкриті множини <math>G_{m}\subset F_{m},</math> де <math>m\in M.</math> Зрозуміло, що <math>f(m)\in G</math> для <math>m\in M.</math> Вважаючи <math>U_{s}=\{g\,|\, g(m)\in G_{m}\},</math> одержуємо <math>M=\bigcap_{m\in M}U_{m}.</math>

Якщо <math>Z</math> - довільна множина з <math>S,</math> то <math>f(m)\in\bar{Z}_{m},</math> відповідно, <math>G_{m}\cap Z_{m}\neq \emptyset.</math> Відтак існує такий елемент <math>z_{m}\in G_{m},</math> що <math>g(m)=z,</math> для декотрої функції <math>g\in Z</math> та, відповідно, <math>g\in U_{m}.</math> Таким чином, <math>U_{m}\cap Z\neq \emptyset</math> для будь-якої <math>Z\in S.</math>

З огляду на другу властивість, звідси отримуємо <math>U_{m}\in S,</math> а згідно до першої властивості <math>\bigcap_{m\in M}U_{m}\in S,</math> тобто <math>U\in S,</math> звідки <math>M\cap Y\neq\emptyset.</math> Таким чином, довільний окіл, що містить <math>f,</math> має спільні елементи із <math>Y</math> та, відповідно, <math>f\in\bar{Y}.</math>

====Зв'язність====
Розгляньмо топологічний простір <math>X.</math> Підмножина <math>A\subset M</math> називається відкрито-замкнутою, якщо вона є одночасно відкритою та замкнутою. Простір <math>X</math> називається зв'язним, якщо будь-яка його відкрито-замкнута підмножина - це або пуста множина <math>\emptyset,</math> або сама множина <math>X.</math> Підмножина <math>B\subset X</math> називається зв'язною, якщо вона зв'язна у індукованій топології. 

Розбиттям топологічного простору <math>X</math> на підмножини <math>U_{i}\subset X</math> називається представлення <math>X</math> у вигляді об'єднання <math>\bigcup_{i}U_{i}=X,</math> де підмножини <math>U_{i}</math> попарно непересічні та непусті. Топологічний простір є зв'язним у тому випадку, якщо його не можна розбити на дві відкритих підмножини.

Областю називається відкрита зв'язна множина. Пригадаймо, що множина <math>X</math> є відкритою, якщо кожна її точка має окіл <math>x\in U,</math> який цілком належить множині <math>X,</math> тобто <math>U\subset X.</math> Таким чином, відкрита множина <math>X</math> є зв'язною, якщо кожні її дві точки <math>x</math> та <math>y</math> можна з'єднати неперервною кривою, яка складається з точок множини <math>X.</math> Точка <math>x\in X</math> називається точкою накопичення, якщо у будь-якому її околі <math>U\subset U'\subset U''\subset ...</math> міститься принаймні одна точка множини <math>X.</math> З цього слідує, що у будь-якому околі <math>U</math> точки <math>x</math> міститься нескінченне число точок множини <math>X.</math> 

[[Файл:Limitpointfewfwe221.tif|центр]]

Наприклад, граничничними точками множини внутрішніх точок кола на площині є усі внутрішні точки кола та усі точки кола, які обмежують коло. 

Область називається однозв'язною, якщо її границя складається з однієї замкнутої кривої. Область називається <math>n</math>-зв'язною, якщо її границя складається з <math>n</math> замкнутих кривих (або точок). На наступному малюнку зображені одно-, двох-, та трьохзв'язні області. 

[[Файл:Zvjaznistkregjwr.tif|центр]]

За допомогою <math>n-1</math> розрізу <math>n</math>-зв'язна область може бути перетворена на однозв'язну. 

[[Файл:Hirurgvrewvjw.tif|центр]]

Розгляньмо у просторі <math>X</math> усі звязні замкнуті підмножини <math>U_{i}.</math> Їх об'єднання є замкнутим та зв'язним. Приналежніть двох точок <math>x</math> та <math>y</math> до однієї зв'язної підмножини виявляється відношенням еквівалентності <math>x\sim y,</math> а простір <math>X</math> розбивається на диз'юнктивне об'єднання замкнутих зв'язних підмножин, які називаються компонентами зв'язності. Компонентами дискретного простору (наділеного аксіомою відокремлюваності Колмогорова) є точки. Компонентами множини раціональних або іраціональних чисел на прямій також є точки. Простори, компоненти яких є точками, називається цілком незв'язними. У просторі <math>\mathbb{R}^{n},</math> наприклад, такими є зліченні множини (алгебричні числа) або множина точок, у яких усі координати є іраціональними. 

Компактний простір <math>X</math> є цілком незв'язним лише у випадку, коли він нульвимірний. Справді, нехай <math>X</math> цілком не зв'язний топологічний простір, а <math>U_{1}\subset X</math> - довільна відкрита підмножина, яка містить точку <math>x\in U_{1}.</math> Для кожної <math>y\in U_{2}</math> існує відкрита та замкнута множина <math>S(y),</math> яка містить <math>y</math> та не містить <math>x.</math> Але за умовою <math>U_{2}</math> є компактною (оскільки простір <math>X</math> є компактним); відповідно, <math>U_{2}</math> повинна міститися у декотрому скінченному об'єднанні <math>S(y_{1})\cup...\cup S(y_{n}).</math> Його доповнення <math>S^{C}(y_{i})</math> буде околом точки <math>x\in U,</math> яка має границею пусту множину <math>\emptyset.</math> Існування такого доповнення означає, в силу визначення, що простір <math>X</math> є нульвимірним.

Інтервал <math>I\subset\mathbb{R}</math> - це множина усіх чисел між двома даними <math>a</math> та <math>b</math> кінцями <math>I,</math> із можливим включенням до <math>I</math> одного чи обох кінців, причому можливо, що <math>a=-\infty</math> та <math>b=\infty.</math> Можливо також, що <math>a=b,</math> тобто точки вважаються інтервалами. Інтервали - це зв'язні підмножини на числовій прямій <math>\mathbb{R}.</math>

Шлях в топологічному просторі <math>X</math> — це безперервне відображення <math>f</math> з одиничного відрізка <math>I=[0,1]</math> до <math>X,</math> тобто <math>f:I\to X.</math> Початковою точкою шляху є <math>f(0)</math>, а кінцевою точкою - <math>f(1)</math>. Зауважимо, що шлях — це не просто підмножина <math>x\times I</math> (гомеоморфна <math>I</math>), де <math>x\in X,</math> яка "виглядає як" крива, шлях також включає параметризацію. Відтак шлях називається також параметризованою кривою. 

Простір <math>X</math> називається лінійно зв'язним, якщо дві довільні його точки <math>x</math> та <math>y</math> сполучені шляхом (тобто <math>x</math> та <math>y</math> є кінцями відрізку <math>I</math>). 

[[Файл:Ppaathaas.tif|центр]]

Якщо <math>X=U_{1}\cup U_{2},</math> де <math>U_{i}</math> є відкритими та не перетинаються, <math>U_{1}\cap U_{2}=\emptyset,</math> a <math>f:[0,1]\to X</math> є шляхом у <math>X,</math> причому <math>f(0)\in U_{1}</math> та <math>f(1)\in U_{2},</math> то відрізок <math>[0,1]</math> розбивається на дві непусті відкриті непересічні підмножини <math>f^{-1}(U_{1})</math> та <math>f^{-1}(U_{2}).</math> 

Нехай <math>X</math> та <math>Y</math> - топологічні простори, <math>A\subset Y</math> та <math>\varphi:A\to X</math> - неперервне відображення. Топологічна сума <math>X \# Y</math> просторів - це топологічний простір, який складений з просторів <math>X</math> та <math>Y</math> як з двох непересічних шматків, <math>X\cap Y=\emptyset.</math> Здійснімо у одержаному топологічному просторі ототожнення: будь-яку точку <math>a\in A\subset Y</math> ототожнимо із точкою <math>\varphi(a)\in X.</math> Одержаний простір позначається через <math>X\cup_{\varphi} Y,</math> а процедура його побудови називається приєднанням (приклеюванням) простору <math>Y</math> до простору <math>X</math> посередництвом <math>\varphi.</math>

Розгляньмо підмножини у <math>\mathbb{R}^{3},</math> зображені на наступному малюнку. 
[[Файл:Homekgrjejq.tif|центр]]

Ці підмножини є гомеоморфними. Справді, розгляньмо шматок <math>\pi</math> площини, до якого приєднані ручки <math>p_{1}</math> та <math>p_{2},</math> а також частину його границі <math>\alpha.</math>

[[Файл:Shmatokewq.tif|центр]]

Прочавімо частину <math>\alpha</math> границі шматка <math>\pi</math> всередину <math>\pi.</math> 

[[Файл:Prochavimogr.tif|центр]]

Для того, щоб одержати множину, зображену на малюнку <math>\textbf{c},</math> необхідно прочавити два шматка краю області <math>\pi</math> всередину.

[[Файл:Finrgergew.tif|центр]]

====Бікомпактна множина====
Системи множин <math>U_{a}</math> (де <math>a\in A</math>) покриває множину <math>X,</math> якщо <math>X</math> міститься в якості підмножини у об'єднанні <math>\bigcup_{a\in A}U_{a}.</math> Підмножина <math>M</math> топологічного простору <math>X</math> називається бікомпактною, якщо будь-яка система відкритих множин простору <math>X,</math> що покриває <math>M,</math> містить скінченну підсистему, яка покриває множину <math>M.</math> Іншими словами, підмножина топологічного простору є бікомпактною, якщо вона є бікомпактною як топологічний простір із індукованою топологією. З цього слідує, що неперервний образ бікомпактної множини є бікомпактним. 

Бікомпактні підмножини топологічного простору є замкнутими. Припустімо, що бікомпактна множина <math>M</math> топологічного простору <math>X</math> має граничну точку <math>x_{0}\notin M.</math>  За аксіомою відокремлюваності Гаусдорфа для будь-якої точки <math>m\in M</math> існують непересічні відкриті множини <math>U_{m, x_{0}}</math> та <math>U_{x_{0},m}</math> простору <math>X,</math> такі, що <math>m\in U_{m,x_{0}}</math> та <math>x_{0}\in U_{x_{0},m}.</math> Система множин <math>\{U_{m,x_{0}}\,|\, m\in M\}</math> покриває <math>M.</math> Через бікомпактність <math>M</math> існує скінченна підсистема <math>\{U_{m_{i},x_{0}}\,|\,i=\overline{1,n}\},</math> що покриває <math>M.</math> Тоді множина <math>\bigcap^{n}_{i=1}U_{x_{0},m_{i}}</math> не перетинається із <math>M.</math> Але оскільки <math>x_{0}</math> - гранична точка множини <math>M,</math> то відкрита множина <math>\bigcap^{n}_{i=1}U_{x_{0},m_{i}},</math> що містить <math>x_{0},</math> повинна містити деяку точку <math>m\in M,</math> відмінну від <math>x_{0}.</math> Таким чином, маємо суперечливість, і тому множина <math>M</math> повинна бути замкнутою.

Наприклад, відрізок <math>[a,b]</math> не є бікомпактним топологічним простором, оскільки з його покриття <math>[\frac{1}{n},\,1],</math> <math>n=1,2,...,\infty</math> не можна виділити скінченне підпокриття. 

Підмножина <math>N</math> у просторі <math>\mathbb{R}^{n}</math> називається бікомпактною лише тоді, коли <math>N</math> є обмеженою й замкнутою. 

Нехай <math>f:X\to Y</math> - неперервне відображення топологічного простору <math>X</math> у топологічний простір <math>Y,\,\, M\subset X.</math> Тоді <math>f(M)\subset Y</math> є бікомпактною підмножиною у <math>Y.</math> Запевнимося у цьому, розглянувши покриття <math>\{U_{i}\},\,\,i\in I,</math> простору <math>f(M).</math> Тоді <math>\{f^{-1}(U_{i})\,|\, i\in I\}</math> є відкритим покриттям підмножини <math>M</math> (в силу неперервності відображення <math>f</math>). Простір <math>M</math> є бікомпактним, відповідно, можна виділити скінченне підпокриття <math>f^{-1}(U_{i_{1}}),...,f^{-1}(U_{i_{k}})</math> простору <math>M.</math> У цьому випадку <math>U_{i_{1}},...,U_{i_{k}}</math> - відкрите покриття множини <math>M,</math> тобто <math>f(M)</math> - бікомпактний простір. 

Якщо <math>M</math> є замкнутим бікомпактним топологічним простором, а <math>F\subset M</math> - замкнута підмножина, то <math>F</math> також бікомпактний простір. Нехай <math>\{U_{i}\},\,\,i\in I,</math> - відкрите покриття простору <math>F.</math> Побудуймо відкрите покриття <math>\{F,U_{i}\,|\,i\in I\}</math> простору <math>M.</math> Оскільки <math>M</math> бікомпактний, то з цього покриття можна виділити скінченне підпокриття <math> F^{C},U_{i_{1}},...,U_{i_{m}}.</math> Тоді <math>U_{i_{1}},...,U_{i_{m}}</math> - покриття множини <math>F,</math> тобто простір <math>F</math> є бікомпактним. 

Нехай тепер <math>X</math> - бікомпактний топологічний простір, а <math>A=\{x_{1},x_{2},x_{3},...,\infty\}</math> - зліченна підмножина у <math>X.</math> У такому випадку у <math>A</math> існує хоча б одна гранична точка. Уявімо тепер собі протилежне, тобто що у <math>A</math> немає жодної граничної точки. У цьому випадку <math>A</math> буде замкнутою. Справді, <math>\bar{A}=A\cup \partial A,</math> де <math>\partial A=\emptyset,</math> тому <math>\bar{A}=A,</math> a <math>\bar{A}</math> є замкнутою. Будь-яка точка <math>x_{i}\in A</math> не гранична, тому існує такий відкритий окіл <math>V_{i}\ni x_{i},</math> що <math>A\cap V_{i}=x_{i}.</math> Отримаємо покриття <math>\{V_{i}\}</math> простору <math>A,</math> з якого виділимо підпокриття, яке складається із скінченного числа елементів, відповідно, <math>A</math> - скінченна множина, що суперечить умові. 

Бікомпактні топологічні простори із зліченною базою відкритих множин є недостатньо добрими об'єктами для геометрії, оскільки, наприклад, у таких просторах послідовність мое мати дві границі. Розгляньмо у зв'язку із цим приклад. Нехай <math>[x_{1},y_{1}]</math> та <math>[x_{2},y_{2}]</math> - два відрізки. Зклеїмо напівінтервали <math>[x_{1},a)</math> та <math>[x_{2},b),</math> в результаті чого отримаємо топологічний простір <math>X.</math> На відрізках <math>[x_{1},y_{1}]</math> та <math>[x_{2},y_{2}]</math> топологія є звичайною. Нехай <math>\{x_{n}\}\subset [x_{1},a)</math> довільна послідовність точок, яка збігається у точці <math>a.</math> Ця послідовність точок породжує послідовність у <math>X,</math> яка збігається як до точки <math>a,</math> так й до точки <math>b.</math> Побудований простір <math>X</math> є бікомпактним із зліченною базою, але із ''патологією'', яка полягає у тому, що точки <math>a</math> та <math>b</math> не мають непересічних околів.

[[Файл:Toppatholo.tif|центр]]

Топологічний простір <math>X</math> називається секвенціально компактним, якщо з довільної послідовності його точок <math>x_{1},x_{2},x_{3},...\in X</math> такої, що <math>x_{i}\neq x_{j}</math> (за <math>i\neq j</math>) можна виділити збіжну послідовність <math>x_{i_{1}},...,x_{i_{k}},...\to a\in X.</math> У випадку "добрих" просторів секвенціальна компатність та бікомпактність співпадають.

====Фактортопологія====
Завдяки поняттю топології ототожнення (тобто фактортопології) конструктивізується розуміння процесу утворення нового топологічного простору посередництвом ототожнення у даному топологічному просторі певних його точок. Це поняття також відповідає уявленню про об'єднання двох чи більшого числа топологічних просторів. 

Нехай <math>X</math> - топологічний простір, <math>Y</math> - деяка множина та <math>f:X\to Y</math> - відображення простору на <math>Y.</math> Фактортопологією на <math>Y,</math> яка задається відображенням <math>f,</math> визначається наступним чином: множина <math>U\subset Y</math> є відкритою лише тоді, коли зворотне <math>f^{-1}(U)</math> відображення є відкритою підмножиною простору <math>X.</math>

Наприклад, розгляньмо відношення еквівалентності <math>\sim</math> (рефлексивне, симетричне й транзитивне) на топологічному просторі <math>X,</math> тоді <math>X/\sim</math> - множина усіх класів еквівалентності та <math>f:X\to X/\sim</math> - відображення, яке ставить у відповідність кожній точці на <math>X</math> її клас еквівалентності. На <math>X/\sim</math> уводиться фактортопологія відображенням <math>f</math>; наділений цією топологією простір <math>X/\sim</math> зазвичай називають факторпростором простору <math>X</math> за модулем <math>\sim.</math> 

''Топологія фактора''. Нехай <math>M</math> - топологічний простір та <math>x_{1},x_{2}\in M</math> є його точками. Нехай також на <math>M</math> визначене відношення еквівалентності. Множина усіх класів еквівалентності (тобто множина суміжних класів), як і раніше, позначається <math>M/\sim.</math> На <math>M/\sim</math> визначається топологія фактора: відкриті підмножини простору <math>M/\sim</math> - це такі підмножини, прообраз яких у <math>M</math> є відкритим. Зокрема, якщо на просторі <math>M</math> діє група <math>G,</math> то виникає відношення еквівалентності <math>x_{1}\sim x_{2},</math> якщо існує такий елемент <math>g\in G,</math> що справджується рівність <math>g\cdot x_{1}=x_{2}.</math> Фактор простору <math>M</math> по відношенню <math>\sim</math> називається фактопростором <math>M</math> по дії групи <math>G</math> й позначається <math>M/G.</math> Класи еквівалентності називаються <math>G</math>-орбітами у <math>M</math>; клас еквівалентності позначається <math>Gx=\{gx\,|\,g\in G\}.</math> Тобто множина усіх орбіт називається фактором множини <math>M</math> по дії групи <math>G.</math> Клас еквівалентності точки <math>x\in M</math> складається з усіх точок, які можна отримати з <math>x,</math> застосовуючи усеможливі перетворення з групи <math>G.</math> 

У випадку, якщо <math>X=\mathbb{R}</math> є дійсною прямою та <math>R</math> є відношенням еквівалентності "<math>x\equiv y\mod R</math> лише тоді, коли число <math>(x-y)\in\mathbb{Z}</math>". У цьому випадку <math>X/R</math> є гомеоморфним колу. 

Нехай тепер <math>U</math> - розбиття топологічного простору <math>X,</math> тобто множина непустих попарно непересічних множин, які покривають <math>X.</math> Якщо <math>\sim</math> є відношенням еквівалентності на <math>X,</math> то множина класів еквівалентності утворює саме таке розбиття. Та навпаки, будь-яке розбиття визначає відношення еквівалентності: за визначенням точки <math>x_{1}</math> та <math>x_{2}</math> є еквівалентними, якщо вони належать до одного й того ж елемента розбиття (класу еквівалентності). 

Нехай також <math>f:X\to U</math> - відображення, що ставить у відповідність кожній точці <math>x\in X</math> єдиний елемент розбиття <math>U,</math> що містить <math>x.</math> Тоді на <math>U</math> уводиться топологія факторпростору (фактортопологія) посередництвом відображення <math>f</math>; наділене цією топологією розбиття <math>U</math> називається простором розбиття. 

Варто зауважити, що якщо <math>X</math> та <math>Y</math> є топологічними просторами та <math>f</math> - неперервне відображення з <math>X</math> на <math>Y,</math> то це зовсім не означає, що <math>Y</math> має фактортопологію, що задається відображенням <math>f.</math> Однак якщо <math>f</math> є замкнутим або відкритим відображенням, то простір <math>Y</math> обов'язково буде мати фактортопологію. 

Задання фактортопології узагальнюється наступним чином. Нехай <math>Y</math> - множина, <math>\{X_{i}\,|\,i\in I\}</math> - сім'я топологічних просторів та <math>\{f_{i}:X_{i}\to Y\,|\,i\in I\}</math> - довільна сім'я відображень. У цьому випадку <math>Y</math> наділяється найсильнішою топологією, у якій усі відображення <math>f_{i}</math> є неперервними. Ця топологія задається наступним чином: множина <math>U\subset Y</math> є відкритою, якщо <math>f^{-1}_{i}(U)</math> відкриті для усіх <math>i\in I.</math> Іншими словами, множина <math>A\subset Y</math> замкнута лише тоді, коли <math>f^{-1}_{i}(A)</math> замкнуті для усіх <math>i\in I.</math> Якщо кожне з відображень <math>f_{i}:X_{i}\to Y</math> взаємно однозначне, а образи <math>f_{i}(X_{i})</math> попарно непересічні та їх об'єднання покриває <math>Y,</math> то <math>Y</math> називається топологічною сумою сім'ї <math>\{X_{i}\}.</math> 

'''Гаусдорфовий факторпростір'''. Нехай <math>f:X\to Y</math> - неперервне відображення. Якщо <math>Y</math> є гаусдорфовим простором, то <math>\{(x_{1},x_{2})\in X\times X\,|\, f(x_{1})=f(x_{2})\}</math> - замкнута підмножина у <math>X\times X.</math> Простір <math>Y</math> є гаусдорфовим лише тоді, коли діагональ <math>D=\{(y_{1},y_{2})\in Y\times Y\,|\, y_{1}=y_{2}\}</math> є замкнутою підмножиною у <math>Y\times Y.</math>

Розгляньмо відображення <math>f\times f:X\times X\to Y\times Y.</math> Це відображення є неперервним, а <math>(f\times f)^{-1}(D)</math> є якраз тою множиною <math>\{(x_{1},x_{2})\in X\times X\,|\,f(x_{1})=f(x_{2})\}.</math> Прообраз замкнутої множини за неперервного відображення є замкнутим. 

Сказане не означає, що простір <math>Y</math> наділений фактортопологією. Воно лише дає необхідну умову існування деякої гаусдорфової топології на <math>Y,</math> у якій відображення <math>f</math> є неперервним. 

Нехай тепер відображення <math>f:X\to Y</math> неперервний гомоморфізм. Якщо множина <math>\{(x_{1},x_{2})\in X\times X\,|\, f(x_{1})=f(x_{2})\}</math> є замкнутим, то <math>Y</math> - гаусдорфовий простір. Запевнимося у цьому, розглянувши знову відображення <math>f\times f:X\times X\to Y\times Y,</math> яке є відкритим. Припустімо, множина <math>\{(x_{1},x_{2})\in X\times X\to Y\times Y\,|\, f(x_{1})\neq f(x_{2})\}</math> є відкритою у <math>X\times X</math>; тому її образ за відрбраження <math>f\times f</math> є відкритим у <math>Y\times Y.</math> Але це - доповнення діагоналі <math>D\subset Y\times Y.</math> Відповідно, <math>D</math> - замкнута множина, а простір <math>Y</math> - гаусдорфовий. 

'''Послідовна факторизація'''. Нехай <math>X</math> - деяка множина, а <math>R_{1}</math> та <math>R_{2}</math> - відношення еквівалентності на ній, <math>R</math> - відношення еквівалентності, що породжене <math>R_{1}</math> та <math>R_{2}.</math> Наступні способи факторизації співпадають.<br>
1. На <math>X/R</math> індукується відношення еквівалентності <math>R_{2}/R_{1},</math> яке є породженим наступними тотожностями: <math>(x\mod R_{1}\sim y\mod R_{1})\mod R_{2}/R_{1},</math> якщо у <math>R_{1}</math>-класах <math>x</math> та <math>y</math> можна віднайти представники <math>[x]</math> та <math>[y],</math> які є <math>R_{2}</math>-еквівалентними. <br>
Після цього можна побудувати фактормножину <math>(X/R_{1})/(R_{2}/R_{1}).</math><br>
2. Аналогічно визначається <math>(X/R_{2})/(R_{1}/R_{2}).</math><br>
3. Крім того, маємо <math>X/R.</math><br>

Усі ці фактормножини є ізоморфіними й одержати їх можна наступним чином: два елемента <math>x,y\in X</math> попадають до одного класу, якщо існує послідовність <math>x=(x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{n})=y</math> така, що для кожного <math>i</math> маємо або <math>x_{i}\sim x_{i+1}\mod R_{1},</math> або <math>x_{i}\sim x_{i+1}\mod R_{2}.</math>

Якщо <math>X</math> - топологічний простір, а фактори наділені найслабкішою топологією, у якій відображення факторизації є неперервним, то усі три факторпростори, що визначені вище, гомеоморфні відносно їх ототожнення. Справді, підмножина у будь-якому з них є відкритою, якщо її повний прообраз у <math>X</math> є відкритим.

====Топологічна група====
Топологічною групою називається топологічний простір <math>G</math> (для якого справедлива аксіома відокремлюваності Гаусдорфа), на якому заданий неперервний добуток <math>G\times G\to G</math> (за відповідністю <math>(a,b)\to ab</math>), яке перетворює простір <math>G</math> на групу, та таке, що відображення <math>G\to G,</math> яке задається оберненням <math>g\to g^{-1},</math> є неперервним. У <math>G</math> міститься одиниця <math>e.</math> 

Для будь-якого <math>g\in G</math> визначається відображення лівого зсуву <math>L_{g}:G\to G</math> на елемент <math>g</math> за формулою <math>L_{g}(h)=gh.</math> Таким чином, <math>L_{gh}=L_{g}\cdot L_{h}</math> та <math>L_{g^{-1}}=(L_{g})^{-1},</math> тому <math>L_{g}</math> для кожного <math>g\in G</math> є гомоморфізмом групи <math>G</math> на себе. Таким самим чином можна визначити правий зсув: <math>R_{g}:G\to G</math> за формулою <math>R_{g}(h)=hg^{-1},</math> одержимо, що <math>R_{g}\cdot R_{h}=R_{gh},</math> a <math>R_{g^{-1}}=(R_{g})^{-1},</math> тому <math>R_{g}</math> для кожного <math>g\in G</math> є гомоморфізмом. 

Оскільки <math>L_{g}</math> є гомоморфізмом, то множина <math>gU</math> є околом елемента <math>g</math> лише тоді, коли <math>U</math> є околом одиниці <math>e,</math> відтак такими є й множини <math>U^{-1}</math> та <math>U\cap U^{-1}.</math> Окіл <math>gU</math> називається симетричним, якщо <math>U=U^{-1}.</math> Симетричні околи утворюють базис послідовності вкладень (фільтру) околів одиниці; цей базис повністю визначає топологію групи <math>G.</math>

Для будь-якого <math>g\in G</math> та довільного околу <math>gU</math> існує такий окіл <math>eV,</math> що <math>VeV\subset U.</math> Розгляньмо добуток <math>G\times G\times...\times G\to G.</math> Для будь-якого околу <math>eU</math> й будь-якого цілого числа <math>m</math> існує такий окіл <math>eV,</math> що <math>V^{m}\subset U.</math>

Функція <math>f</math> від <math>n</math> змінних <math>g_{1},g_{2},...,g_{n}</math> групи <math>G</math> із значеннями у <math>G</math> називається мультиплікативною, якщо <math>f</math> може бути представлена у вигляді <math>f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x^{\alpha_{1}}_{i_{1}}x^{\alpha_{2}}_{i_{2}}\cdot\cdot\cdot x^{\alpha_{m}}_{i_{m}},</math> де <math>\alpha_{j}\pm 1</math> та <math>i_{j}=\overline{1,n}.</math> Якщо <math>G</math> є топологічною групою та <math>A\subset G</math> - підмножина її елементів, множина <math>A</math> називається елементарно алгебричною, якщо існує така мультиплікативна функція <math>f(a_{1},...,a_{n+1})</math> та такі елементи <math>a_{1},...,a_{n}\in G,</math> що множина <math>A</math> буде множиною тих значень <math>x\in G,</math> для яких <math>f(a_{1},...,a_{n},x)=1.</math> Сума скінченного числа елементарно алгебричних множин називається адитивно алгебричною. Перетин довільного числа адитивно-алгебричних множин називається алгебричним. Елементарно алгебричні множини за будь-якої топології <math>G</math> є замкнутими.

Дійсна функція <math>N(g),</math> визначена на групі <math>G,</math> називається нормою, якщо:
* <math>N(e)=0</math>
* <math>N(xy^{-1})<N(x)+N(y).</math>

Система норм <math>g_{i}(g)</math> називається мультинормою, якщо:
* сума довільних двох її норм є знову нормою
* усі перетворені норми <math>N_{i}(a^{-1}ga)</math> належать до <math>N_{i}(g)</math>
* для кожного <math>a\in G</math> у системі існує норма, значення якої у точці <math>a</math> є відмінним від нуля. 

Кожна мультинорма породжує топологізацію <math>G,</math> за якої усі норми мультинорми є неперервними. Більше того, будь-яка топологізація <math>G</math> може бути здійснена цим способом, відтак дослідження топологізацій <math>G</math> можна замінити на дослідження мультинорм. 

У теорії груп Лі окрім звичайних топологічних груп розглядають також так звані групові ядра. Прикладом локальної групи може бути довільний окіл одиниці <math>U(e)</math> звичайної топологічної групи. 

У теорії топологічних груп фундаментальну роль відіграє інваріантна міра. Нехай <math>G</math> - топологічна група. Дійсна функція <math>\mu(M),</math> визначена на усіх відкритих множинах <math>M</math> у <math>G</math> називається лівою інваріантною мірою у <math>G,</math> якщо 

* <math>0\leq\mu(M)\leq +\infty</math> та <math>\mu(M)>0</math> для непустої множини <math>M,</math> 
* <math>\mu(M)<+\infty,</math>
* для хоча б однієї <math>M_{1}</math> справджується <math>\mu(M_{1})\geq\mu(M_{2})</math> для <math>M_{1}\supset M_{2},</math>
* <math>\mu(gM)=\mu(M),</math> де <math>g\in G,</math> 
* <math>\mu(M_{1}+M_{2})=\mu(M_{1})+\mu(M_{2}),</math> якщо у <math>G</math> існує такий окіл одиниці <math>eU_{1}</math> такий, що <math>M_{1}U\cap M_{2}U=\emptyset.</math>

Якщо у <math>G</math> існує окіл одиниці <math>eU,</math> яка має таку властивість, що для кожного околу одиниці <math>eV</math> у <math>G</math> віднайдеться скінченне число елементів <math>g_{1},...,g_{k},</math> для яких <math>eU=\bigcup_{i}g_{i}V</math>; у цьому випадку <math>G</math> називається локально обмеженою. Якщо замість <math>U</math> взяти <math>G,</math> то <math>G</math> буде називатися обмеженою. Обмеженість групи <math>G</math> є рівносильною існуванню міри <math>\mu(G),</math> яка є інваріантною зліва та справа, для якої <math>\mu(M)=\mu(M^{-1}).</math>

Топологічна група <math>G</math> називається локально евклідовою, якщо у <math>G</math> існує окіл одиниці <math>U,</math> який припускає бієктивне й неперервне відображення на <math>n</math>-вимірний куб дійсного евклідового простору. Нехай у <math>U</math> обрані настільки близькі до одиниці елементи <math>x,y,</math> що їхній добуток <math>z=xy</math> все ще міститься у <math>U.</math> Через <math>(x_{1},...,x_{n};\,\,y_{1},...,y_{n};\,\,z_{1},...,z_{n})</math> позначмо координати точок кубу <math>K,</math> які відповідають елементам <math>(x,y,z).</math> Тоді <math>z_{1},...,z_{n}</math> будуть функціями від <math>(x_{1},...,x_{n},\,y_{1},...,y_{n}):</math>

<math>z_{i}=f_{i}(x_{1},...,x_{n},\,y_{1},...,y_{n}),</math>

де <math>i=\overline{1,n}.</math>

У загальному випадку функції <math>f_{i}</math> є неперервними. Якщо відображення <math>U</math> на <math>K</math> обрати таким, що функції <math>f_{i}</math> будуть аналітичними, то <math>G</math> називається групою Лі. Будь-яка неперервна група є групою Лі.

====Топологічний векторний простір====
Евклідовим простором називається лінійний простір <math>(V,X),</math> якщо у <math>V</math> уведений скалярний добуток, тобто <math>V</math> є евклідовим векторним простором. Іншими словами, евклідовий простір - скінченновимірний лінійний простір <math>V</math> над полем <math>P,</math> у якому для кожної пари векторів <math>a,b\in V</math> визначений скалярний добуток, тобто <math>(a\cdot b)</math> із значеннями з поля <math>P,</math> який має наступні властивості:
* <math>(a+b)c=ac+bc</math>;
* <math>(a\lambda)b=\lambda(ab),</math> де <math>\lambda\in P</math>;
* <math>a(b+c)=ab+ac</math>
* <math>a(\lambda b)=\lambda(ab),</math> або (у випадку комплексних чисел) <math>a(\lambda b)=\lambda^{*}(ab),</math> за <math>\lambda \in P</math>;
* <math>ab=ba,</math> або (у випадку комплексних чисел) <math>ab=(ba)^{*}</math> 
* <math>a\neq\theta\Rightarrow a^{2}>0.</math>

Відтак пара <math>(V,X)</math> є евклідовим простором, де геометричні числа (вектори) - елементи множини <math>V</math> та точки - елементи множини <math>X.</math> У множині <math>X</math> уводять метричні поняття (відстані, кути тощо). Зокрема, нехай <math>x</math> та <math>y</math> - точки простору <math>X.</math> Відстанню між точками <math>x</math> та <math>y</math> називається довжина вектора <math>\overrightarrow{xy}</math>; позначається відстань або <math>\rho(x,y),</math> або <math>|x-y|,</math> тобто <math>\rho(x-y)=|x-y|=|\overrightarrow{xy}|,</math> або <math>||a||</math> (якщо <math>a=\overrightarrow{xy}</math>). Довжину вектора називають також нормою. 

Нехай тепер <math>x,y,z\in X,</math> причому <math>y\neq x</math> та <math>y\neq z.</math> У цьому випадку вектори <math>\overrightarrow{ya}</math> та <math>\overrightarrow{yz}</math> є відмінними від нульового вектора <math>\theta.</math> Кут між цими векторами позначається <math>\angle xyz.</math> Необхідно відзначити, що за такого визначення кута завжди справджується нерівність <math>0\leq\angle xyz\leq \pi.</math>

Якщо <math>p_{1}</math> та <math>p_{2}</math> - два променя із спільним початком у точці <math>y,</math> то під кутом <math>\angle (p_{1},p_{2})</math> між цими променями розуміють кут між спрямовуючими векторами променів <math>p_{1}</math> та <math>p_{2},</math> тобто кут <math>\angle xyz,</math> де <math>a\in p_{1}</math> та <math>z\in p_{2},</math> причому <math>x\neq y</math> та <math>y\neq z.</math>

[[Файл:Xvect.tif|центр]]

У евклідовому просторі кут <math>\varphi</math> між векторами <math>a</math> та <math>b</math> визначається за наступною рівністю:

<math>\cos\varphi=\frac{ab}{||a||\cdot||b||},</math>

де <math>a,b\in V</math> та <math>(a\cdot b),\,||a||,\,||b|| \in P.</math>

Будь-який евклідовий векторний простір є метричним простором, тобто скалярний добуток векторів має наступні властивості:
* <math>\rho(x,x)=0,\quad \rho(x,y)>0</math> за <math>x\neq y</math>; 
* <math>\rho(x,y)=\rho(y,x)</math>;
* <math>\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq\rho(x,z)</math> (нерівність трикутника).

Справді, співвідношення <math>\rho(x,x)=0</math> означає, що <math>|\overrightarrow{xx}|=0,</math> тобто що довжина нульового вектора дорівнює нулю, тобто <math>\theta=0.</math> Нерівність <math>\rho(x,y)>0</math> за <math>x\neq y</math> означає, що <math>|a|>0</math> за <math>a=\overrightarrow{xy}\neq \theta.</math>

Далі, нерівність <math>\rho(x,y)=\rho(y,x)</math> означає, що <math>|\overrightarrow{xy}|=|\overrightarrow{yx}|,</math> тобто що <math>(-a)^{2}=a^{2}.</math>

Що стосується третьої властивості, то нерівність <math>\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq\rho(x,z)</math> означає, що <math>|\overrightarrow{xy}|+|\overrightarrow{yz}|\geq|\overrightarrow{xz}|.</math> Оскільки <math>\overrightarrow{xz}=\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz},</math> то нерівність можна записати у вигляді <math>|\overrightarrow{xy}|+|\overrightarrow{yz}|\geq|\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz}|.</math>

До трьох вищезгаданих властивості додаються дві наступні:
* <math>|ab|\leq ||a||\cdot ||b||</math> (нерівність Коші-Буняковського);
* <math>||a+b||^{2}+||a-b||^{2}=2(||a||^{2}+||y||^{2})</math> - закон паралелограму. 

Розгляньмо нерівність Коші-Буняковського <math>(\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}\beta_{i})^{2}\leq (\sum^{n}_{i=1}\alpha^{2}_{i})(\sum^{n}_{i=1}\beta^{2}_{i}),</math> де <math>\alpha_{i}</math> та <math>\beta_{i}</math> (за <math>i=\overline{1,n}</math>) - довільні дійсні числа, тобто <math>\alpha,\beta\in P,</math> де <math>P=\mathbb{R}.</math> З нерівності <math>\sum^{n}_{i=1}(\alpha_{i}\lambda+\beta_{i})^{2}\geq0</math> одержуємо невід'ємний за усіх значень <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> квадратний тричлен <math>\lambda^{2}\sum^{n}_{i=1}\alpha^{2}_{i}+2\lambda\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}\beta_{i}+\sum^{n}_{i=1}\beta^{2}_{i}\geq 0,</math> відтак одержимо:

<math>(\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}\beta_{i})^{2}-(\sum^{n}_{i=1}\alpha^{2}_{i})(\sum^{n}_{i=1}\beta^{2}_{i})\leq 0.</math>

Випадок <math>(\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}\beta_{i})=(\sum^{n}_{i=1}\alpha^{2}_{i})(\sum^{n}_{i}\beta^{2}_{i})</math> має місце тоді, коли <math>\alpha_{i}\lambda+\beta_{i}=0</math> за <math>i=\overline{1,n},</math> тобто коли існує таке число <math>\zeta\neq0,</math> за якого <math>\beta_{i}=\zeta\alpha_{i}</math> за <math>i=\overline{1,n}</math> (іншими словами, коли усі <math>\alpha_{i}</math> або усі <math>\beta_{i}</math> дорівнюють нулю).

Нехай <math>O</math> - довільна точка евклідового простору <math>(V,X)</math> та <math>r</math> - додатне число, <math>r>0.</math> Множина усіх точок <math>S\in X,</math> які задовільняють умові <math>\rho(O,S)<r,</math> називається відкритою кулею із центром у точці <math>O</math> та радіусом <math>r,</math> яку будемо позначати <math>U_{r}(O).</math> 

Розгляньмо підмножину <math>A</math> множини <math>X.</math> Точка <math>O</math> називається внутрішньою точкою множини <math>A,</math> якщо існує додатне число <math>r,</math> за якого <math>U_{r}(O)\subset A.</math> Підмножина <math>B\in X</math> називається відкритою у топологічному просторі <math>X,</math> якщо кожна точка <math>S\in B</math> є внутрішньою точкою цієї множини. Пусту множину також вважають відкритою. Наприклад, будь-яка відкрита куля <math>U_{r}(O)</math> у просторі <math>X</math> є відкритою множиною. Справді, нехай <math>S\in U_{r}(O),</math> тобто <math>\rho(O,S)<r.</math> Розгляньмо різницю <math>r'=r-\rho(O,S)</math>; число <math>r'</math> є додатним, тому можна розглядати кулю <math>U_{r'}(S)</math> і центром у <math>S</math> та радіусом <math>r'.</math> Для довільної точки <math>x\in U_{r'}(S)</math> будемо мати <math>\rho(S,x)<r',</math> відтак 

<math>\rho(O,x)\leq\rho(O,S)+\rho(S,x)<\rho(O,S)+r'=\rho(O,S)+(r-\rho(O,S))=r.</math>

Тому <math>\rho(O,x)<r,</math> тобто <math>x\in U_{r}(O).</math> Тим самим було доведено, що <math>U_{r}(O)(S)\subset U_{r}(O)</math> (тобто куля <math>U_{r}(O)</math> є відкритою множиною). 

Множина <math>M\subset X</math> називається замкнутою, якщо її доповнення <math>\bar{M}=X\setminus M</math> не є відкритою множиною. Наприклад, куля із центром у точці <math>O</math> та радіусом <math>r</math> є множиною усіх точок <math>S\in X,</math> яка задовільняє умові <math>\rho(O,S)\leq r,</math> є замкнутою множиною. Справді, доповнення цієї замкнутої кулі є множина <math>B</math> усіх точок <math>S\in X</math> за умови <math>\rho(O,S)>r.</math> Нехай <math>S\in B,</math> тобто <math>\rho(O,S)>r.</math> Вважаймо <math>r'=\rho(O,S)-r.</math> Число <math>r'</math> є додатним, тому можна розглядати кулю <math>U_{r'}(S).</math> У випадку, якщо <math>M\in U_{r'}(S),</math> тобто <math>\rho(S,M),</math> тоді 

<math>\rho(O,M)=\rho(O,M)+\rho(M,S)-\rho(M,S)\geq \rho(O,S)-\rho(M,S)=\rho(O,S)-\rho(S,M)>\rho(O,S)-r'=\rho(O,S)-(\rho(O,S)-r)=r.</math>

Відтак <math>\rho(O,M)>r,</math> a тому <math>M\in B.</math> З цього стає зрозуміло, що <math>U_{r'}(S)\subset B,</math> тому множина <math>B</math> є відкритою. Точка <math>S\in X</math> називається граничною точкою множини <math>A\subset X,</math> якщо за будь-якого <math>r>0</math> куля <math>U_{r}(S)</math> містить як точки, які належать до множини <math>A,</math> так і точки, які не належать цій множині. Множина, яка складається з усіх граничних точок множини <math>A,</math> називається границею множини <math>A</math> й позначається <math>\partial A.</math> За визначенням <math>\bar{A}=A\cup\partial A,</math> тобто операція замикання означає приєднання до множини її граничних точок.

Нехай тепер <math>(V,X)</math> та <math>(S,Y)</math> - евклідові простори та <math>A\subset X.</math> Уявімо, що задане відображення <math>f:A\to Y,</math> тобто кожній точці <math>S\in A</math> поставлена у відповідність декотра точка <math>f(S)</math> простору <math>Y.</math> Множина <math>A</math> називається областю визначення відображення <math>f.</math> Відображення <math>f:A\to Y</math> називається неперервним, якщо для кожної точки <math>S\in A</math> та довільного числа <math>\varepsilon>0</math> можна підібрати число <math>\delta>0</math> таке, що <math>f(A\cap U_{\delta}(S))\subset U_{\varepsilon}(f(S)).</math> Це значить, що кожна точка <math>M\in A</math> знаходиться на відстані від <math>S</math> менш ніж на <math>\delta,</math> тобто <math>|S-M|<\delta</math> за <math>M\in A.</math> Відповідно, образ <math>f(M)</math> точки <math>M</math> знаходиться на відстані від <math>f(S)</math> менш ніж на <math>\varepsilon,</math> тобто <math>|f(S)-f(M)|<\varepsilon.</math> Необхідно відзначити, що <math>\delta(S,\varepsilon),</math> тобто <math>\delta</math> залежить й від <math>\varepsilon.</math>

Евклідовий простір надалі будемо позначати просто літерою <math>E.</math> Нехай <math>E</math> - векторний простір над полем <math>P</math> (<math>\mathbb{C}</math> чи <math>\mathbb{R}</math>). Топологія у <math>E</math> узгоджується із алгебричною структурою, якщо алгебричні операції у <math>E</math> є неперервними, тобто <math>x+y</math> є неперервною фунцією пари змінних <math>(x,y),</math> та <math>\lambda a</math> - неперервна функція пари змінних <math>\lambda</math> та <math>a.</math> Топологічний векторний простір над полем <math>P</math> - це векторний простір <math>E</math>, наділений топологією, яка узгоджується із його алгебричною структурою. 

Для кожного <math>a\in E</math> паралельне перенесення <math>f(x)=x+a</math> є гомеоморфізмом простору <math>E</math> на себе. Зокрема, якщо <math>U</math> - базис околів початку <math>\theta,</math> то <math>U+a</math> - базис околів точки <math>a.</math> Зокрема, якщо <math>f(x)=x+a=y,</math> то <math>f^{-1}(y)=x=y-a.</math> Таким чином, <math>f</math> є взаємно однозначним відображенням простору <math>E</math> на себе, неперервним разом із зворотним до нього <math>f^{-1}.</math> Відповідно, <math>f</math> є гомеоморфізмом. Таким чином, топологічна стурктура простору <math>E</math> визначається базисом околів початку. Якщо <math>U</math> є околом (початку), то <math>U+a</math> - відповідний окіл точки <math>a</math> та <math>x\in U+a</math> лише у випадку, коли <math>x-a\in U.</math>

Для кожного <math>\alpha\in P,</math> де <math>\alpha\neq 0,</math> відображення <math>f(x)=\alpha x</math> є гомеоморфізмом простору <math>E</math> на себе. Зокрема, якщо <math>U</math> є околом, то <math>\alpha U</math> - також окіл для кожного <math>\alpha\neq0.</math> Зрозуміло, що якщо <math>f(x)=\alpha x=y,</math> тоді <math>f^{-1}(x)=x=\alpha^{-1}y.</math> Відтак <math>f</math> є взаємно неперервним відображенням, а тому гомеоморфізмом. 

Якщо <math>\mathcal{U}</math> - база околів (початку), то для кожного околу <math>U\in\mathcal{U}</math> справджуються наступні умови:
* <math>U</math> є поглинаючою множиною;
* існує окіл <math>\mathfrak{U}\in\mathcal{U},</math> для якого <math>\mathfrak{U}+\mathfrak{U}\in U</math>;
* існує врівноважений окіл <math>\mho\in U.</math> 

Зокрема, якщо <math>a\in E</math> та <math>f(\xi)=\xi a,</math> тоді відображення <math>f</math> є неперервним у точці <math>\xi=0</math> і тому існує окіл <math>\{\xi\,|\,\,\,\,|\xi|\leq\varepsilon\}</math> точки <math>0,</math> який відображається до <math>U.</math> Відтак <math>\xi a\in U</math> за <math>|\xi|\leq\varepsilon</math> та <math>a\in\zeta U</math> за <math>|\zeta|\geq\varepsilon^{-1}.</math> 

Нехай тепер <math>g(x,y)=x+y.</math> Відображення <math>g</math> є неперервним у точці <math>(x,y)=(0,0),</math> а відтак існують околи <math>\mathfrak{U}_{1}</math> та <math>\mathfrak{U}_{2},</math> за яких <math>x+y\in U</math> для усіх <math>x\in \mathfrak{U}_{1}</math> та <math>y\in \mathfrak{U}_{2}.</math> Існує окіл <math>\mathfrak{U}\in\mathcal{U}</math> такий, що <math>\mathfrak{U}\subset \mathfrak{U}_{1}\cap \mathfrak{U}_{2},</math> відтак <math>\mathfrak{U}+\mathfrak{U}\subset U.</math>

Нарешті, нехай <math>h(\xi,x)=\xi x</math>; відображення <math>h</math> є неперервним у точці <math>(\xi,x)=(0,0),</math> а відтак існують окіл <math>\mathfrak{U}</math> та число <math>\varepsilon>0,</math> за яких <math>\xi x\in U</math> для усіх <math>\xi</math> за <math>|\xi|\leq\varepsilon</math> та усіх <math>x\in \mathfrak{U}.</math> Відповідно, <math>\xi x\in U</math> для усіх <math>\xi</math> за <math>|\xi|\leq\varepsilon</math> і тому <math>\varepsilon U\subset\zeta U</math> для усіх <math>\zeta</math> за <math>|\zeta|\geq 1.</math> Таким чином, <math>\varepsilon \mathfrak{U}\subset \mho=\bigcap_{|\zeta|\geq 1}\zeta U.</math> Однак <math>\varepsilon \mathfrak{U}</math> є околом, тому й <math>\mho</math> є околом. Якщо <math>x\in \mho</math> та <math>0<|\xi|\leq 1,</math> то <math>x\in\frac{\zeta}{\xi}U</math> для усіх <math>\zeta</math> за <math>|\zeta|\geq 1,</math> а це означає, що <math>\xi x\in\zeta U</math> для усіх <math>\xi</math> за <math>|\xi|\leq 1</math> та усіх <math>\zeta</math> за <math>|\zeta|\geq 1</math> Доходимо до висновку, що <math>\xi x\in \mho,</math> відтак <math>\mho</math> є врівноваженим околом, який міститься у <math>U.</math> З цього робиться висновок, що у кожному топологічному векторному просторі міститься базис врівноважених околів. У найбільш вживаних (фізиками) топологічних векторних просторах існує також базис опуклих околів початку (такі простори називається локально опуклими).



[[Категорія:Вступ до алгебричної геометрії]]