Перегляд вихідного коду сторінки Виведення рівняння гравітаційних хвиль в ЗТВ

== Теоретичні викладки ==

Одним із теоретичних висновків [[рівняння Ейнштейна]] для гравітаційного поля:
: <math>(1) \qquad G_{ij} = R_{ij} - {R \over 2} g_{ij} = {8 \pi G \over c^4} T_{ij}</math>
є існування гравітаційних хвиль. Ці хвилі мають зазвичай дуже малу амплітуду, винятком може бути хіба що екзотичний випадок обертання двох дуже близько розташованих чорних дірок. Ця амплітуда настільки мала, що ще і досі гравітаційні хвилі не виявлені експериментально.

== Проблема виведення рівняння гравітаційних хвиль малої амплітуди ==

Для виведення рівняння гравітаційних хвиль малої амплітуди ми можемо скористатися лінеаризованим рівнянням Ейнштейна зі статті ''[[Слабке гравітаційне поле]]'', але не відкидатимемо ніяких лінійних доданків. Для варіації [[тензор Річчі|тензора Річчі]] маємо формулу (для зручності ця формула помножена на два):

: <math>(2) \qquad 2 \delta R_{ij} = - \nabla^2 \delta g_{ij} + R_i^s h_{sj} + R_j^s h_{si} - 2 R_{\;i\;j}^{s\;p\;} h_{sp}</math>
де симетричний тензор <math>h_{ij}</math> пов'язаний з варіацією <math>\delta g_{ij}</math> метричного тензора і має до того ж нульову дивергенцію:

: <math>(3) \qquad h_{ij} = \delta g_{ij} - {1 \over 2} (g^{ps} \delta g_{ps}) g_{ij}; \qquad \nabla^j h_{ij} = 0</math>
з формули (2) легко можна одержати і варіацію тензора Ейнштейна <math>G_{ij}</math>:
: <math>(4) \qquad 2 \delta G_{ij} = \delta \left (R_{ij} - {R \over 2} g_{ij} \right ) = - \nabla^2 h_{ij} + 
R^s_i h_{sj} + R^s_j h_{si} - 2 R _{\;i\;j}^{s\;p\;} h_{sp} + \left (R^{sp} h_{sp} \right) g_{ij} - R h_{ij}</math>

Формулу (4) треба прирівняти до варіації <math>\delta T_{ij}</math> [[Тензор енергії-імпульсу|тензора енергії-імпульсу]] з відповідним (формула 1) коефіцієнтом пропорційності:
: <math>(5) \qquad - \nabla^2 h_{ij} + 
R^s_i h_{sj} + R^s_j h_{si} - 2 R _{\;i\;j}^{s\;p\;} h_{sp} + \left (R^{sp} h_{sp} \right) g_{ij} - R h_{ij} = 
{16 \pi G \over c^4} \delta T_{ij}</math>

Права частина цього рівняння становить проблему у випадку присутності матерії, тобто ненульового тензора <math>T_{ij}</math>. Дійсно, розглянемо дві ситуації, для незбуреної метрики <math>g_{ij}</math> без гравітаційних хвиль і для збуреної метрики <math>\tilde g_{ij} = g_{ij} + \delta g_{ij}, \; \delta g_{ij} \ne 0</math> в присутності гравітаційної хвилі. В обох випадках дивергенція тезора енергії-імпульсу повинна дорівнювати нулю:
: <math>(6) \qquad \nabla_j T^j_i = 0, \qquad \tilde \nabla_j \tilde T^j_i = 0</math> 
Зазначимо, що у формулах (6) різні не лише тензори <math>T^j_i</math>, але і оператори набла <math>\nabla_j</math> - оскільки в них входять залежні від метрики [[символи Крістофеля]].
Отже маємо:
: <math>(7) \qquad 0 = \delta \left ( \nabla_j T^j_i \right) = \partial_j \delta T^j_i + 
\delta \left ( \Gamma^j_{js} T^s_i \right ) - \delta \left ( \Gamma^s_{ji} T^j_s \right ) = 
\nabla_j \delta T^j_i + T^s_i \delta \Gamma^j_{js} - T^j_s \delta \Gamma^s_{ji}</math> 
Якщо тензор енергії-імпульсу не дорівнює нулю <math>T^j_i \ne 0</math> і варіація символів Крістофеля не дорівнює нулю <math>\delta \Gamma^s_{ij} \ne 0</math>, то у загальному випадку два останні доданки формули (7) теж будуть ненульовими і не компенсуються взаємно. Це означає, що і варіація <math>\delta T^j_i \ne 0</math>. Але кількість рівнянь (7) дорівнює чотирьом (<math>i = \{0, 1, 2, 3\} </math>), а тому з цих рівнянь не слідує однозначно, якими повинні бути всі десять компонент варіації тензора енергії-імпульсу <math>\delta T^j_i</math>. 

Це принципова проблема, яка ще чекає свого дослідника: для її вирішення слід залучати якісь сторонні (окрім рівняння Ейнштейна) фізичні міркування.

== Гравітаційні хвилі в пустоті ==

У пустоті <math>T_{ij} = 0</math>, а тому два останні доданки у правій частині формули (7) дорівнюють нулю. Ми можемо вважати, не входячи в суперечність з формулою (7), що при проходженні гравітаційної хвилі варіація тензора енергії-імпульса теж дорівнює нулю:
: <math>(8) \qquad \delta T_{ij} = 0</math>
Далі, із рівняння Ейнштейна (1) слідує, що в пустоті скалярна кривина <math>R</math> і тензор Річчі <math>R_{ij}</math> дорівнюють нулю:
: <math>(9) \qquad R_{ij} - {R \over 2} g_{ij} = 0</math>
: <math>(9a) \qquad g^{ij} \left ( R_{ij} - {R \over 2} g_{ij} \right ) = R - {R \over 2} 4 = - R = 0</math>
: <math>(9b) \qquad R_{ij} = {R \over 2} g_{ij} = {0 \over 2} g_{ij} = 0</math>
Підставляючи (8) і (9) в формулу (5) одержуємо рівняння гравітаційних хвиль в пустоті:
: <math>(10) \qquad \nabla^2 h_{ij} + 2 R _{\;i\;j}^{s\;p\;} h_{sp} = 0</math>

== Хвилі у плоскому просторі Мінковського ==

Рівняння (10) все ще складне, і оскільки у земних умовах гравітаційне викривлення простору невелике, то не буде великої похибки, якщо ми обмежимося плоским простором Мінковського з метрикою:
: <math>(11) \qquad (g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}</math>
Для цієї метрики тензор внутрішньої [[Кривина (математика)|кривини]] <math>R_{ijkl}</math> дорівнює нулю, коваріантні похідні <math>\nabla_i</math> збігаються з частинними похідними <math>{\partial \over \partial x^i}</math>, а лапласіан <math>\nabla^2 = g^{ij} \nabla_i \nabla_j</math> стає оператором Даламбера:

: <math>(12) \qquad \Box = {\partial^2 \over \partial (x^0)^2} - {\partial^2 \over \partial (x^1)^2} - 
{\partial^2 \over \partial (x^2)^2} - {\partial^2 \over \partial (x^3)^2} = 
{1 \over c^2}{\partial^2 \over \partial t^2} - {\partial^2 \over \partial x^2} - 
{\partial^2 \over \partial y^2} - {\partial^2 \over \partial z^2}</math>
Отже система рівняннь (10) записується так:
: <math>(13) \qquad \Box h_{ij} = 0</math>
і розпадається на десять незалежних рівнянь, по одному на кожну незалежну компоненту симетричного тензора <math>h_{ij}</math>.
Ці рівняння можна розв'язувати незалежно, а потім на загальний розв'язок накласти умову бездивергентності:
: <math>(14) \qquad \nabla^j h_{ij} = g^{jk} \nabla_k h_{ij} = \partial_0 h_{i0} - \partial_1 h_{i1} - 
\partial_2 h_{i2} - \partial_3 h_{i3} = 0</math>

== Плоска хвиля ==

=== Загальний розв'язок ===

Розглянемо гравітаційну хвилю, що рухається вздовж однієї просторової координати <math>x^1</math>, тобто величини <math>h_{ij}</math> залежать лише від часу <math>x^0 = ct</math> і цієї координати <math>x^1</math>, і не залежать від двох інших просторових координат <math>x^2, \, x^3</math>:
: <math>(15) \qquad h_{ij} = h_{ij}(x^0, x^1)</math>
Тоді рівняння (13) стає одновимірним хвильовим рівнянням:
: <math>(16) \qquad {\partial^2 h_{ij} \over \partial (x^0)^2} -  {\partial^2 h_{ij} \over \partial (x^1)^2} = 0</math>
і як відомо, має наступний загальний розв'язок:
: <math>(17) \qquad h_{ij} = F(x^0 + x^1) + G(x^0 - x^1)</math>
Перший доданок <math>F(x^0 + x^1)</math> описує хвилю довільної форми, що рухається по осі <math>x^1</math> з плюс нескінченності в мінус нескінченність, причому зі швидкістю світла, оскільки <math>x^0 = ct</math>. Другий доданок описує аналогічну хвилю, яка рухається у зустрічному напрямку.

Оскільки пряма і зустрічна хвилі повністю аналогічні і не взаємодіють між собою, то у подальшому аналізі можна обмежитися тільки однією з них, і вважати всі величини <math>h_{ij}</math> функціями однієї змінної:
: <math>(18) \qquad h_{ij} = h_{ij}(\xi), \qquad \xi = x^0 + x^1</math>
Похідні по <math>\xi</math> позначатимемо штрихом, тоді:
: <math>(19) \qquad \partial_0 h_{ij} = \partial_1 h_{ij} = h_{ij}' = {d h_{ij} \over d \xi} </math>
: <math>(20) \qquad \partial_2 h_{ij} = \partial_3 h_{ij} = 0 </math>

=== Накладення умов бездивергентності ===

Рівняння (14) для хвилі з врахуванням (19) і (20) запишеться так:
: <math>(21) \qquad h_{i0}' - h_{i1}' = 0</math>
і легко інтегрується:
: <math>(22) \qquad h_{i1} = h_{i0} + c_i</math>
де <math>c_i</math> - константи інтегрування.

Отже, гравітаційна хвиля описується десятьма функціями <math>h_{ij}(\xi)</math>, чотири із яких за формулами (15) виражаються через решту. Отже маємо шість функцій і чотири константи. Покажемо, що чотири із цих шести функцій, а також усі константи можна обнулити, якщо правильно замінити систему координат.

=== Залишок свободи у виборі системи координат ===

Як відомо (дивіться статтю ''[[Метричний тензор]]''), при зміщенні системи координат <math>x^i</math> на малий вектор <math>v^i</math>:
: <math>(23) \qquad \tilde x^i = x^i + v^i</math>
Метричний тензор <math>g_{ij}</math> також змінюється:
: <math>(24) \qquad \tilde g_{ij} = g_{ij} - \nabla_i v_j - \nabla_j v_i</math>
і згідно з формулою (3), тензор <math>h_{ij}</math> змінюється так:
: <math>(25) \qquad \tilde h_{ij} = h_{ij} - \nabla_i v_j - \nabla_j v_i + \left( \nabla^s v_s \right) g_{ij}</math>
Беручи дивергенцію від (25), знаходимо:
: <math>(26) \qquad \nabla^j \tilde h_{ij} = \nabla^j h_{ij} - \nabla^j \nabla_i v_j - \nabla^2 v_i + \nabla_i \nabla^s v_s</math>
У плоскому просторі Мінковського коваріантні похідні можна переставляти, тому другий і четвертий доданки в правій частині формули (26) взаємо-знищуються і ми маємо таке рівняння:
: <math>(27) \qquad \nabla^j \tilde h_{ij} = \nabla^j h_{ij} - \nabla^2 v_i</math>
Цим рівнянням ми вже користувалися в статті [[Слабке гравітаційне поле]], щоб зробити нульовою дивергенцію від <math>h_{ij}</math>. Проте і після обнулення дивергенції залишається свобода змінювати <math>h_{ij}</math> за формулою (25), якщо вектор <math>v_i</math> задовольняє рівняння Лапласа (щоб не змінювати 27):
: <math>(28) \qquad \nabla^2 v_i = \Box v_i = 0</math> 

Тепер подумаємо, яким може бути вектор <math>v_i</math> в нашому випадку плоскої хвилі. По-перше він може бути функцією однієї змінної <math>v_i = v_i(\xi)</math>, так щоб нові величини <math>\tilde h_{ij}</math> за формулою (25) теж були функціями цієї однієї змінної. 

По-друге, вектор <math>v_i</math> може бути лінійною комбінацією усіх координат:
: <math>(29) \qquad v_i = a_{ij} x^j</math>
Ясно що ця лінійна функція задовольняє рівнянню Лапласа (28), а в формулу (25) вносить лише повстійні доданки, так що <math>\tilde h_{ij} = \tilde h_{ij} (\xi)</math> 
Далі, в формулі (29) ми можемо обмежитися тільки симетричною матрицею коефіцієнтів <math>a_{ij}</math>, оскільки для антисиметричної матриці маємо нульову зміну у формулі (25):
: <math>(30) \qquad -\partial_i (a_{jk} x^k) - \partial_j (a_{ik} x^k) + g_{ij} g^{ps} \partial_p (a_{sk} x^k) = - (a_{ji} + a_{ij}) + g_{ij} g^{ps} a_{ps} = 0 </math>

Підсумовуючи, ми можемо для трансформації системи координат взяти наступний вектор:
: <math>(31) \qquad v_i = u_i(\xi) + a_{ik} x^k</math>
де матриця <math>a_{ik}</math> симетрична.

=== Обнулення неістотних компонент гравітаційної хвилі ===

Спочатку для використання в наступних формулах знайдемо дивергенцію формули (31):
: <math>(32) \qquad \nabla^i v_i = g^{ij} \partial_j v_i = u_0' - u_1' + a_{00} - a_{11} - a_{22} - a_{33}</math>

Підставимо в формулу (25) вектор (31), і розпишемо одержане рівняння покомпонентно, враховуючи також формули (22). Маємо наступні десять рівнянь:
: <math>(33.1) \qquad \tilde h_{00} = h_{00} - 2 \partial_0 v_0 + g_{00} \nabla^i v_i = 
(h_{00} - u_0' - u_1') - a_{00} - a_{11} -a_{22} - a_{33}</math>
: <math>(33.2) \qquad \tilde h_{01} = h_{01} - \partial_0 v_1 - \partial_1 v_0 = (h_{00} - u_0' - u_1') + c_0 - 2 a_{01}</math>
: <math>(33.3) \qquad \tilde h_{11} = h_{11} - 2 \partial_1 v_1 + g_{11} \nabla^i v_i =
(h_{00} - u_0' - u_1') + c_0 + c_1 - a_{00} - a_{11} + a_{22} + a_{33}</math>

: <math>(33.4) \qquad \tilde h_{02} = h_{02} - \partial_0 v_2 - \partial_2 v_0 = (h_{02} - u_2') - 2 a_{02}</math>
: <math>(33.5) \qquad \tilde h_{03} = h_{03} - \partial_0 v_3 - \partial_3 v_0 = (h_{03} - u_3') - 2 a_{03}</math>
: <math>(33.6) \qquad \tilde h_{12} = h_{12} - \partial_1 v_2 - \partial_2 v_1 = (h_{02} - u_2') + c_2 - 2 a_{12}</math>
: <math>(33.7) \qquad \tilde h_{13} = h_{13} - \partial_1 v_3 - \partial_3 v_1 = (h_{03} - u_3') + c_3 - 2 a_{13}</math>

: <math>(33.8) \qquad \tilde h_{22} = h_{22} - 2 \partial_2 v_2 + g_{22} \nabla^i v_i =
(h_{22} - u_0' + u_1') - a_{00} + a_{11} - a_{22} + a_{33}</math>
: <math>(33.9) \qquad \tilde h_{33} = h_{33} - 2 \partial_3 v_3 + g_{33} \nabla^i v_i =
(h_{33} - u_0' + u_1') - a_{00} + a_{11} + a_{22} - a_{33}</math>

: <math>(33.10) \qquad \tilde h_{23} = \left ( h_{23} \right ) - \partial_2 v_3 - \partial_3 v_2 = h_{23} - 2 a_{23}</math>
У правих частинах всіх цих рівнянь дужками виділено функціональну складову (від <math>\xi = x^0 + x^1</math>), а далі йдуть повтійні доданки. Як видно, серед функціональних складових трапляються однакові, наприклад у формулах (33.1 - 33.3). Тому ми можемо вибором функцій <math>u_i = u_i(\xi)</math> обнулити ці складові в семи перших рівняннях (33.1 - 33.7), а також в наступному рівнянні, що є півсумою (33.8) і (33.9):
: <math>(34) \qquad {\tilde h_{22} + \tilde h_{33} \over 2} = \left ({h_{22} + h_{33} \over 2} - u_0' + u_1' \right) - a_{00} + a_{11}</math>
Отже маємо систему чотирьох рівнянь:
: <math>(35.1) \qquad h_{00} - u_0' - u_1' = 0</math> 
: <math>(35.2) \qquad h_{02} - u_2' = 0</math> 
: <math>(35.3) \qquad h_{03} - u_3' = 0</math> 
: <math>(35.4) \qquad {h_{22} + h_{33} \over 2} - u_0' + u_1' = 0</math> 
яка лекго розв'язується:
: <math>(36.1) \qquad u_0 = u_0(\xi) = \int {2 h_{00} + h_{22} + h_{33} \over 4} d \xi</math> 
: <math>(36.2) \qquad u_1 = u_1(\xi) = \int {2 h_{00} - h_{22} - h_{33} \over 4} d \xi</math> 
: <math>(36.3) \qquad u_0 = u_0(\xi) = \int h_{02} d \xi</math> 
: <math>(36.4) \qquad u_0 = u_0(\xi) = \int h_{03} d \xi</math> 
Постійні складові цих же восьми рівнянь (33.1 - 33.7), (34) також можуть бути обнулені належним вибором десяти коефіцієнтів <math>a_{ij}</math>. Маємо наступні вісім рівнянь, накладені на коефіцієнти:
: <math>(37.1) \qquad - a_{00} - a_{11} - a_{22} - a_{33} = 0</math>
: <math>(37.2) \qquad c_0 - a_{01} = 0</math>
: <math>(37.3) \qquad c_0 + c_1 - a_{00} - a_{11} + a_{22} + a_{33} = 0 </math>
: <math>(37.4) \qquad - 2 a_{02} = 0</math>
: <math>(37.5) \qquad - 2 a_{03} = 0</math>
: <math>(37.6) \qquad c_2 - 2 a_{12} = 0</math>
: <math>(37.7) \qquad c_3 - 2 a_{13} = 0</math>
: <math>(37.8) \qquad - a_{00} + a_{11} = 0</math>
із яких слідує:
: <math>(38.1) \qquad a_{00} = a_{11} = (c_0 + c_1) / 4</math>
: <math>(38.2) \qquad a_{22} + a_{33} = - (c_0 + c_1) / 2</math>
: <math>(38.3) \qquad a_{02} = a_{03} = 0; \qquad a_{12} = c_2 /2; \qquad a_{13} = c_3 / 2</math>

=== Дві поляризації гравітаційної хвилі ===

Отже нам вдалося підбором системи координат (вектор <math>v_i</math>) обнулити всі компоненти <math>h_{ij}</math>, крім наступних трьох: <math>h_{22}, h_{33}, h_{23}</math>. Причому <math>h_{22} + h_{33} = 0</math>. Тобто тензор <math>h_{ij}</math> у плоскій гравітаційній хвилі має такий вигляд:
: <math>(39) \qquad (h_{ij}) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & h_{22} & h_{23} \\ 0 & 0 & h_{23} & -h_{22} \end{bmatrix}</math>
Компонента <math>h_{23}</math> не може бути обнулена, бо у формулі (33.10) можна підбирати лише константу <math>a_{23}</math>, яка не здатна знищити функціональну залежність. Те саме стосується компоненти <math>h_{22} = - h_{33}</math>, яку можна знайти як піврізницю формул (33.8) і (33.9):
: <math>(40) \qquad \tilde h_{22} = {h_{22} - h_{33} \over 2} - a_{22} + a_{33}</math>

Слід тензора (39) дорівнює нулю:
: <math>(41) \qquad h = g^{ij} h_{ij} = g^{22} h_{22} + g^{33} h_{33} = - h_{22} - (-h_{22}) = 0</math>
а тому варіація <math>\delta g_{ij}</math> метричного тензора збігається з тензором <math>h_{ij}</math>:
: <math>(42) \qquad \delta g_{ij} = h_{ij} - {h \over 2} g_{ij} = h_{ij}</math>
а сам метричний тензор дорівнює:
: <math>(43) \qquad (g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 + h_{22} & h_{23} \\ 0 & 0 & h_{23} & -1 - h_{22} \end{bmatrix}</math>
Якщо компонента <math>h_{22} = A \sin \xi</math> коливається, то згідно з формулою (43) простір по черзі, у одній фазі коливань, стискається по осі <math>y</math> і розтягується по осі <math>z</math>, а потім, у іншій фазі коливань, розтягується по осі <math>y</math> і стискається по осі <math>z</math>. Це одна поляризація гравітаційної хвилі.

Компонента <math>h_{23}</math> описує аналогічні коливання, але вздовж діагональних осей, що повернуті на 45° - це друга поляризація гравітаційної хвилі.

=== Викривлення простору у гравітаційній хвилі ===

Обчислимо тензор внутрішньої кривини ([[тензор Рімана]]) через варіацію метрики (43). Маємо формули:
: <math>(44) \qquad \delta R^s_{\;ijk} = \nabla_j \delta \Gamma^s_{ki} - \nabla_k \delta \Gamma^s_{ji}</math>
: <math>(45) \qquad \delta \Gamma^s_{ij} = {1 \over 2} g^{sk} \left ( \nabla_i \delta g_{kj} + 
\nabla_j \delta g_{ik} - \nabla_k \delta g_{ij} \right )</math>
тоді
: <math>(46) \qquad \delta R^s_{\;ijk} = {1 \over 2} g^{sp} \left ( [\nabla_j \nabla_k] \delta g_{pi} +
\nabla_j \nabla_i \delta g_{kp} + \nabla_k \nabla_p \delta g_{ij} - \nabla_j \nabla_p \delta g_{ik} -
\nabla_k \nabla_i \delta g_{jp} \right )</math>
У плоскому просторі комутатор <math>[\nabla_j \nabla_k]</math> дорівнює нулю, а варіація тензора кривини дорівнює самому тензору. Тому наближено коваріантний тензор Рімана дорівнює:
: <math>(47) \qquad R_{pijk} \approx {1 \over 2} \left ( \nabla_j \nabla_i \delta g_{kp} + 
\nabla_k \nabla_p \delta g_{ij} - \nabla_j \nabla_p \delta g_{ik} -
\nabla_k \nabla_i \delta g_{jp} \right )</math>
Які компоненти цього тензора можуть бути відмінні від нуля? По-перше, хоча б два індекси повинні бути числами {0, 1} щоб не було обнулення усіх других похідних. Нехай це будуть індекси <math>(p, j)</math> - тоді третій доданок у дужках формули (47) може бути відмінним від нуля. Але зважаючи на матрицю (43), варіація <math>\delta g_{ik}</math> у цьому третьому доданку повинна бути однією з наступних компонент: <math>\delta g_{22}, \delta g_{33}, \delta g_{23}</math>. Отже індекси <math>(i, k)</math> мають дорівнювати 2 або 3.
Випишемо ці ненульові компоненти тензора Рімана:
: <math>(48) \qquad R_{0202} = R_{0212} = R_{1212} = - (\delta g_{22})'' = - h_{22}''</math>
: <math>(49) \qquad R_{0303} = R_{0313} = R_{1313} = - (\delta g_{33})'' =  h_{22}''</math>
: <math>(50) \qquad R_{0203} = R_{0213} = R_{1203} = R_{1213} = - (\delta g_{23})'' = - h_{23}''</math>
Решта одинадцять компонент тензора Рімана дорівнюють нулю.