Перегляд вихідного коду сторінки Астрономія/Акреційні диски

Багато [[Астрономія|астрономічних]] джерел описуються у рамках моделі дискової акреції розжареної плазми на компактний об'єкт. Найбільш поширена модель тонкого альфа-диску. Поверхнева густина <math> \Sigma </math> описується формулою (1)
<math>\Sigma = \rho H</math> (1)  

де <math> H </math> - товщина диску. Масу речовини яка проходить через радіус <math>r</math> можна розрахувати з виразу (2)

<math> \dot m = 2 \pi r V_r \Sigma </math> (2)

швидкість газу <math> V_\varphi </math> в акреційному диску дорівнює:

<math> V_\varphi = \Omega r </math> (3)

сила <math>F</math> яка діє на тіло у цьому полі:
 <math> F = \eta S \frac{dV_\varphi}{dr} = \eta 2 \pi r H r \frac{d \Omega}{dr}</math> (4)
в'язкість <math>\nu</math> визначається як відношення (5)
 <math> \nu = \frac{\eta}{\varphi} </math> (5)
 <math> \eta H = \nu \rho H = \nu \Sigma </math> (6)
зміна швидкості в залежності від відстані до центру можна знайти з виразу (7)
 <math> \frac{dV_\varphi}{dr} = \frac{d}{dr} (\Omega r) =\Omega + r \frac{\partial \Omega}{\partial r}</math> (7)
момент сили <math>M</math>:
 <math> M = F r = 2 \pi r^3 \eta H \frac{d \Omega}{dr} = 2 \pi r^3 \nu \Sigma \frac{d \Omega}{dr}</math> (8)
момент імпульсу <math>L</math>:
 <math> L = m V_\varphi r </math> (9)
підставляючи у вираз (9) масу <math>m</math> визначену у виразі (2), отримуємо ось таке співвідношення для моменту сили:
 <math> M = \frac{dL}{dt} = \dot m V_\varphi r = 2 \pi r^3 \Sigma V_r \Omega </math> (10)
 <math> \frac{dM}{dr} = 2 \pi \frac{d}{dr}(r^3 \Sigma V_r \Omega )</math> (11)
 <math> M = 2 \pi r^3 \Sigma V_r \Omega + C </math> (12)
враховуючи формулу (8) маємо:
 <math> V \Sigma \frac{d \Omega}{d r} = \Sigma V_r \Omega + \frac{C}{2 \pi r^3} </math> (13)
константа <math> C </math>, може бути знайдена шляхом узгодження швидкості обертання зірки до швидкості обертання на внутрішному краю акреційного диску
 при <math> r = r_* , </math> <math> M = 0 : </math> 
 <math> C = -2 \pi r^3 \Sigma V_r \Omega </math> де  <math> \Omega = \sqrt{G M r^3} </math> (14)
беручи до уваги, що маса <math> m = const </math> на любій відстані:  
 <math> C = - \dot m \sqrt{G M_* r_*} </math> (15)
константа <math> C </math> являє собою швидкість передачі кутового моменту в граничний шар. У самому ж диску швидкості близькі до Кеплерівських, тому підставляючи (2) і (15) у формулу (13) отримуємо:
 <math> \nu \Sigma = \frac{ \dot m}{3 \pi} (1 - \sqrt{\frac{r_*}{r}}) </math> (16)
наступним результатом буде отримання швидкості дисипації енергії в'язких сил що діють на диск.
 <math> - \frac{dE}{dt} = \nu \sigma r^2 (\frac{d \Omega}{dr})^2 = \frac{G \dot m m_*}{4 \pi r^3} (1 - \sqrt{\frac{r_*}{r}}) </math> (17)
в стаціонарному стані, ця теплова енергія розсіюється у вигляді випромінювання, тому світність диску можна знайти шляхом інтегрування швидкості розсіювання тепла:
 <math> L = \int\limits_r^\infty (- \frac{dE}{dt}) 2 \pi r dr = \frac{G \dot m M_*}{2 r_*} </math> (18)
в'язкість <math> \nu </math> пропорційна швидкості звуку <math> C_s </math>, і визначається як:
 <math> \nu = \alpha C_s H \Rightarrow \eta = \alpha C_s \rho H \Rightarrow F = \alpha C_s \rho H S \frac{d \nu}{dr} \Rightarrow \frac{dV}{dt} = C_s \frac{dV}{dr} </math> (19)
Виведення з (17)
 <math> S = H dt r \frac{d \Omega}{dr} dS ,\ dV = drS ,\ F = \eta S \frac{dV_\varphi }{dr} ,\ \triangle E = \frac{F dt r \frac{d \Omega}{dr} dr}{\triangle V} = \frac{F dt dV_\varphi}{\triangle V} ,\ \frac{dE}{dt} = \eta r^2 \frac{d \Omega}{d r} ,\ \frac{dV_\varphi}{dr} = \eta (\frac{dV_\varphi}{dr})^2 = \eta r^2 (\frac{d \Omega}{dr})^2</math> (20)
[[Категорія:Астрономія]]