Перегляд вихідного коду сторінки Алгебраїчні рівняння/Повні квадратні рівняння

Повне квадратне рівняння — це [[Алгебраїчні рівняння|рівняння]] вигляду

<math>ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0).</math>

== Формули коренів рівняння ==
Спочатку ми розв'язуватимемо такі рівняння ''методом виділення квадратного двочлена.''

===Приклад 1===
Розв'язати рівняння: <math>x^2 + 4x - 5 = 0.</math>
===Розв'язання===
Згадаємо одну з формул скороченого множення: <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. </math> Якщо до двочлена <math>x^2 + 4x</math> додамо 4, то отримаємо квадрат двочлена <math>x + 2.</math> Тому дане рівняння рівносильне рівнянню <math>x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = 0</math>,

або <math>(x + 2)^ 2 - 9 = 0;</math>

<math>(x + 2)^ 2 = 9.</math>

Звідси <math>x + 2 = 3,</math>
<math>x = 1,</math>

або <math>x + 2 = -3,</math>
<math>x = -5.</math>

''Відповідь.'' <math>x_1 = 1; x_2 = -5.</math>

Тепер розв'яжемо цим же ж методом рівняння

<math>ax^2 + bx + c = 0.</math>

Спочатку помножимо усі члени лівої частини рівняння на <math>4a:</math>

<math>4(ax)^2 + 4axb + 4ac = 0.</math>
Тепер додамо і віднімемо <math>b^2</math>(бо <math>(2ax + b)^2 = 4(ax)^2 + 2axb + b^a</math>):

<math>(2ax)^2 + 4axb + 4ac + b^2 - b^2 = 0;</math>

<math>(2ax + b)^ 2 = b^2 - 4ac. (*)</math>

Тепер розглянемо наш результат.

Вираз у правій частині рівняння (<math>b^2 - 4ac</math>) називають ''дискримінантом'' та позначають великою літерою D.

=== D < 0 ===
Якщо дискримінант менший від нуля, то рівняння не має розв'язку. Бо відомо, що квадрат (у нашому випадку - це <math>(2ax+b)^2</math>)не може бути від'ємним числом.

''Відповідь.'' Розв'язків немає.

=== D = 0 ===
Тоді рівняння має вигляд <math>(2ax + b)^2 = 0. </math>

Розв'яжемо його.

<math>2ax + b = 0</math>

<math>2ax = -b</math>

<math>x = -\frac {b}{2a} (1)</math>  

''Відповідь.'' <math>x = -\frac {b}{2a}</math>

=== D > 0 ===
Рівняння виглядатиме як рівняння <math>(*)</math>.
Розв'яжемо і його.

<math>(2ax + b)^ 2 = b^2 - 4ac;</math>

<math>2ax + b =\pm\sqrt {b^2 - 4ac};</math>

<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} (2)</math>

Виразами <math>(1)</math> та <math>(2)</math> ми будемо користуватись досить часто при розв'язанні квадратних рівняння.

== Теорема Вієта ==
Поділимо рівняння <math>ax^2 + bx + c = 0</math> на <math>a</math>: вийде 

<math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac {c}{a} = 0.</math>

Зробимо заміну: <math>p = \frac{b}{a}; q = \frac {c}{a}.</math>

Отримаємо ''зведене квадратне рівняння'' <math>x^2 + px + q = 0.</math>

Запишемо формулу, за якою знайдемо корені рівняння (нагадаємо: перший коефіцієнт дорівнює одиниці, другий - p, а вільний член - q):

<math>x_{1,2} = \frac {-p \pm {\sqrt{p^2 - 4q}}}{2}.</math>

Тепер за допомогою цих формул ми доведемо ''теорему Вієта.''

===Теорема (Вієта)===
Сума коренів зведеного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному членові.
=== Доведення ===
Додамо та перемножимо корені.

<math>x_1 + x_2 = \frac {-p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac {-p -\sqrt{p^2 - 4q}}{2} = \frac {-2p}{2} = -p;</math>

<math>x_1 \cdot x_2 = \frac {-p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \cdot \frac {-p -\sqrt{p^2 - 4q}}{2} =</math>

<math>=\frac {(-p)^2 - (\sqrt{p^2-4q})^2}{4} = \frac {p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = \frac {4q}{4} = q.</math>

Отже, <math>x_1 + x_2 = -p; x_1 \cdot x_2 = q.</math> Щ.Т.Д.

До цієї теореми є '''обернена теорема''', яку ми теж доведемо.

=== Теорема (обернена до теореми Вієта) ===
Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n - корені рівняння <math>x^2 + px + q = 0.</math>

=== Доведення ===
Зробимо у рівнянні заміну: <math>p = -(m+n); q = mn. </math> 

Отримаємо: <math>x^2 - (m+n)x + mn = 0.</math>

Зробимо підстановку: <math>x = m.</math>

Отримаємо:

<math>m^2 - (m+n)m + mn = 0;</math>

<math>m^2 - m^2 - mn + mn = 0;</math>

<math>0 = 0.</math>

Отже, <math>m</math> є коренем даного рівняння.

Зробимо іншу підстановку: <math>x = n</math>.

<math> n^2 - (m+n)n + mn = 0;</math>

<math>n^2 - mn - n^2 + n^2 = 0;</math>

<math>0 = 0.</math>

З цього випливає, що й <math>n</math> є коренем рівняння. Щ.Т.Д.

[[Категорія:Алгебраїчні рівняння]]